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Duodecimal

El sistema duodecimal , también conocido como base doce o doceavo (del latín "doce "), es un sistema de numeración posicional que utiliza el doce como base . En duodecimal, el n...

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El sistema duodecimal , también conocido como base doce o doceavo (del latín "doce "), es un sistema de numeración posicional que utiliza el doce como base . En duodecimal, el número doce se denota como "10", que significa 1 doceavo y 0 unidades ; en el sistema decimal , este número se escribe como "12", que significa 1 decena y 2 unidades, y la cadena "10" significa diez. En duodecimal, "100" significa doce al cuadrado (144), "1000" significa doce al cubo (1728) y "0,1" significa un doceavo (0,08333...).   

Se han utilizado varios símbolos para representar el diez y el once en notación duodecimal; esta página utiliza A y B , como en hexadecimal , lo que hace que un conteo duodecimal del cero al doce se lea: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A , B , 10. Las Dozenal Societies of America and Great Britain (organizaciones que promueven el uso del duodecimal) utilizan dígitos invertidos en sus publicaciones: 2 o ↊ (un 2 invertido) para el diez ( dek , pronunciado /dɛk/) y 3 o ↋ (un 3 invertido) para el once ( el , pronunciado /ɛl/). Después de esos números está el doce ( do , pronunciado /doʊ/).

El número doce, un número compuesto superior , es el número más pequeño con cuatro factores no triviales (2, 3, 4, 6), y el más pequeño que incluye como factores a los cuatro números (1 a 4) dentro del rango de subitización , y el número abundante más pequeño . Todos los múltiplos de los recíprocos de los números 3-suaves ( a / 2 b · 3 c donde a, b, c son enteros ) tienen una representación terminante en duodecimal. En particular , + 1 / 4 ( 0,3) , + 1 / 3 ( 0,4 ) , + 1 / 2 ( 0,6 ) , + 2 / 3 (0,8) y + 3 / 4 ( 0,9) tienen una representación corta terminante en duodecimal. También se observa una mayor regularidad en la tabla de multiplicar duodecimal. Como resultado, el sistema duodecimal ha sido descrito como el sistema numérico óptimo. [ 1 ]     

En este sentido, el sistema duodecimal se considera superior al decimal, que solo tiene como factores el 2 y el 5, y a otras bases propuestas como el octal o el hexadecimal . El sistema sexagesimal (base sesenta) es aún mejor en este aspecto (los recíprocos de todos los números de base 5 terminan), pero a costa de tablas de multiplicar engorrosas y una cantidad mucho mayor de símbolos que memorizar.

Origen

En esta sección, los números están en formato decimal . Por ejemplo, "10" significa 9+1 y "12" significa 9+3.

Georges Ifrah especuló que el origen del sistema duodecimal se remonta a un sistema de conteo basado en los huesos de los cuatro dedos más grandes. Usando el pulgar como puntero, es posible contar hasta 12 tocando cada hueso del dedo, comenzando por el hueso más alejado del quinto dedo, y continuando contando. En este sistema, una mano cuenta repetidamente hasta 12, mientras que la otra muestra el número de repeticiones, hasta completar las quinientas docenas, es decir, las 60. Este sistema todavía se utiliza en muchas regiones de Asia. [ 2 ] [ 3 ]

Los idiomas que utilizan sistemas de numeración duodecimal son poco comunes. Se sabe que idiomas del Cinturón Medio de Nigeria , como el Janji , el Gbiri-Niragu (Gure-Kahugu), el Piti y el dialecto Nimbia de Gwandara ; [ 4 ] y el idioma Chepang de Nepal [ 5 ] utilizan numerales duodecimales.

Las lenguas germánicas tienen palabras especiales para 11 y 12, como eleven y twelve en inglés . Provienen del protogermánico * ainlif y * twalif (que significan, respectivamente, uno a la izquierda y dos a la izquierda ), lo que sugiere un origen decimal en lugar de duodecimal. [ 6 ] [ 7 ] Sin embargo, el nórdico antiguo utilizaba un sistema de numeración híbrido decimal-duodecimal, con sus palabras para "ciento ochenta" que significaban 200 y "doscientos" que significaban 240. [ 8 ] En las Islas Británicas, este estilo de numeración sobrevivió hasta bien entrada la Edad Media como el centenar largo ("hundred" significaba 120).

Históricamente, las unidades de tiempo en muchas civilizaciones son duodecimales. Hay doce signos del zodiaco , doce meses en un año, y los babilonios tenían doce horas en un día (aunque en algún momento, esto se cambió a 24 ). Los calendarios, relojes y brújulas tradicionales chinos se basan en las doce Ramas Terrestres o 24 (12×2) términos solares . Hay 12 pulgadas en un pie imperial, 12 onzas troy en una libra troy, 24 (12×2) horas en un día; muchos otros elementos se cuentan por docena , gruesa (144, doce al cuadrado ) o gran gruesa (1728, doce al cubo ). Los romanos usaban un sistema de fracciones basado en 12, incluyendo la uncia , que se convirtió en las palabras inglesas ounce e inch . Históricamente, muchas partes de Europa occidental utilizaron un sistema monetario mixto vigesimal -duodecimal de libras, chelines y peniques , con 20 chelines por libra y 12 peniques por chelín, establecido originalmente por Carlomagno en la década de 780.   

Notaciones y pronunciaciones

En un sistema de numeración posicional de base n (doce para el sistema duodecimal), a cada uno de los primeros n números naturales se le asigna un símbolo numérico distinto, y luego n se denota como "10", que significa 1 por n más 0 unidades. Para el sistema duodecimal, los símbolos numéricos estándar del 0 al 9 se conservan normalmente para los números del cero al nueve, pero existen numerosas propuestas sobre cómo escribir los numerales que representan "diez" y "once". [ 9 ] Las propuestas más radicales no utilizan ningún numeral arábigo bajo el principio de "identidad separada". [ 9 ]

La pronunciación de los números duodecimales tampoco tiene un estándar, pero se han propuesto varios sistemas.

Símbolos transdecimales

Varios autores han propuesto usar letras del alfabeto para los símbolos transdecimales. Las letras latinas como ⟨ A, B ⟩ (como en hexadecimal ) o ⟨ T, E ⟩ (iniciales de Diez y Once ) son convenientes porque son ampliamente accesibles y, por ejemplo, se pueden escribir en máquinas de escribir. Sin embargo, cuando se mezclan con prosa ordinaria, podrían confundirse con letras. Como alternativa, se podrían usar letras griegas como ⟨ τ, ε ⟩ en su lugar. [ 9 ] Frank Emerson Andrews, un defensor estadounidense temprano del duodecimal, sugirió y usó en su libro de 1935 New Numbers ⟨ X , Ɛ ⟩ (X mayúscula cursiva del numeral romano para diez y una E mayúscula cursiva redondeada similar a la E abierta ), junto con los numerales cursivos 0 – 9 . [ 11 ] En 1936, Luise Lange propuso nombres para los números duodecimales mayores que doce y utilizó ⟨ ξ , ε ⟩ . [ 12 ] [ 13 ]

Edna Kramer, en su libro de 1951, The Main Stream of Mathematics, utilizó ⟨ ⚹ ⟩ y ⟨ # ⟩ ( sextil y signo de número ). [ 9 ] Estos símbolos fueron elegidos porque estaban disponibles en algunas máquinas de escribir; también se encuentran en teléfonos de botones . [ 9 ] Esta notación se utilizó en publicaciones de la Dozenal Society of America (DSA) desde 1974 hasta 2008. [ 14 ] [ 15 ]

De 2008 a 2015, la DSA utilizó ⟨ , ⟩ , los símbolos ideados por William Addison Dwiggins . [ 9 ] [ 16 ]

La Dozenal Society of Great Britain (DSGB) propuso los símbolos ⟨ 2 , 3 ⟩ . [ 9 ] Esta notación, derivada de los dígitos arábigos mediante una rotación de 180°, fue introducida por Isaac Pitman en 1857. [ 9 ] [ 17 ] En marzo de 2013, se presentó una propuesta para incluir las formas de los dígitos diez y once propagadas por las Dozenal Societies en el estándar Unicode . [ 18 ] De estas, las formas británicas/Pitman fueron aceptadas para su codificación como caracteres en los puntos de código U+218A ↊ DÍGITO DOS GIRADO y U+218B ↋ DÍGITO TRES GIRADO . Se incluyeron en Unicode 8.0 (2015). [ 19 ] [ 20 ]

Después de que los dígitos Pitman se añadieron a Unicode, la DSA realizó una votación y luego comenzó a publicar contenido PDF usando los dígitos Pitman en su lugar, pero continuó usando las letras X y E en su página web. [ 21 ] En enero de 2026, cambió sus páginas web para usar las letras A y B, mientras que usó los dígitos Pitman en The Duodecimal Bulletin y sus otras publicaciones. [ 22 ]

Notación básica

También existen diversas propuestas sobre cómo distinguir un número duodecimal de uno decimal. El método más común utilizado en las fuentes matemáticas convencionales para comparar distintas bases numéricas emplea el subíndice "10" o "12", por ejemplo, " 54 12 = 64 10 ". Para evitar ambigüedades sobre el significado del subíndice 10, este podría escribirse completo: " 54 doce = 64 diez ". En 2015, la Dozenal Society of America adoptó la abreviatura más compacta de una sola letra: z para doceal y d para decimal , " 54 z = 64 d ". [ 27 ]

Otros métodos propuestos incluyen poner en cursiva los números duodecimales " 54 = 64", añadir un "punto Humphrey" (un punto y coma en lugar de un punto decimal ) a los números duodecimales "54;6 = 64.5", anteponer un asterisco a los números duodecimales "*54  = 64", o alguna combinación de estos. La Dozenal Society of Great Britain utiliza un asterisco como prefijo para los números enteros duodecimales y un punto Humphrey para los demás números duodecimales. [ 27 ]

Pronunciación

La Dozenal Society of America sugirió que diez y once se pronunciaran como "dek" y "el", respectivamente.

Ya existen términos en inglés para algunas potencias de doce: El número doce ( 10¹² o 12¹⁰ ) también se llama docena . Doce al cuadrado ( 100¹² o 144¹⁰ ) se llama gruesa . [ 28 ] Doce al cubo ( 1000¹² o 1728¹⁰ ) se llama gran gruesa . [ 29 ]

Defensa de intereses y "dozenalismo"

William James Sidis utilizó el 12 como base para su lenguaje construido Vendergood en 1906, señalando que era el número más pequeño con cuatro factores y su prevalencia en el comercio. [ 30 ]

La defensa del sistema duodecimal se expuso extensamente en el libro de Frank Emerson Andrews de 1935, *New Numbers: How Acceptance of a Duodecimal Base Would Simplify Mathematics* . Emerson señaló que, debido a la prevalencia de múltiplos de doce en muchas unidades tradicionales de peso y medida, muchas de las ventajas computacionales que se le atribuían al sistema métrico podrían lograrse mediante la adopción de unidades de peso y medida de base diez o mediante la adopción del sistema numérico duodecimal. [ 11 ]

Una esfera de reloj duodecimal como la del logotipo de la Dozenal Society of America, utilizada aquí para representar tonalidades musicales.

Tanto la Dozenal Society of America (fundada como Duodecimal Society of America en 1944) como la Dozenal Society of Great Britain (fundada en 1959) promueven la adopción del sistema duodecimal.

El matemático y calculador mental Alexander Craig Aitken fue un defensor declarado del sistema duodecimal:

Las tablas de multiplicar duodecimales son fáciles de dominar, incluso más que las decimales; y en la enseñanza primaria serían mucho más interesantes, ya que a los niños pequeños les resultaría más fascinante trabajar con doce varillas o bloques que con diez. Cualquiera que domine estas tablas realizará estos cálculos más de una vez y media más rápido en la escala duodecimal que en la decimal. Esta es mi experiencia; estoy seguro de que la de otros será aún más similar.

— AC Aitken, "Twelves and Tens" en The Listener (25 de enero de 1962) [ 31 ]

Pero la ventaja cuantitativa final, según mi propia experiencia, es la siguiente: en cálculos variados y extensos de un tipo ordinario y no excesivamente complicado, realizados a lo largo de muchos años, llego a la conclusión de que la eficiencia del sistema decimal podría calificarse en torno a 65 o menos, si asignamos 100 al sistema duodecimal.

— AC Aitken, El caso contra la decimalización (1962) [ 32 ]

En los medios

En "Little Twelvetoes", un episodio de la serie educativa estadounidense Schoolhouse Rock!, un granjero se encuentra con un ser extraterrestre con un total de doce dedos en las manos y doce en los pies que utiliza aritmética duodecimal. El extraterrestre usa "dek" y "el" como nombres para diez y once, y la X y la E de Andrews para los símbolos de los dígitos. [ 33 ] [ 34 ]

Sistemas de medidas duodecimales

Los sistemas de medición propuestos por los docealistas incluyen el sistema TGM de Tom Pendlebury, [ 35 ] [ 36 ] el Sistema de Unidades Universales de Takashi Suga, [ 37 ] [ 36 ] y el sistema Primel de John Volan. [ 38 ]

Comparación con otros sistemas numéricos

En esta sección, los números están en formato decimal. Por ejemplo, "10" significa 9+1 y "12" significa 9+3.

La Dozenal Society of America argumenta que si una base es demasiado pequeña, se necesitan expansiones significativamente más largas para los números; si una base es demasiado grande, hay que memorizar una tabla de multiplicar extensa para realizar operaciones aritméticas. Por lo tanto, presupone que "una base numérica deberá estar entre aproximadamente 7 u 8 y aproximadamente 16, posiblemente incluyendo 18 y 20". [ 39 ]

El número 12 tiene seis factores, que son 1, 2, 3, 4, 6 y 12, de los cuales 2 y 3 son primos . Es el número más pequeño que tiene seis factores, el número más grande que tiene al menos la mitad de los números menores que él como divisores, y es solo un poco mayor que 10. (Los números 18 y 20 también tienen seis factores pero son mucho mayores). Diez, en cambio, solo tiene cuatro factores, que son 1, 2, 5 y 10, de los cuales 2 y 5 son primos. [ 39 ] Seis comparte los factores primos 2 y 3 con doce; sin embargo, al igual que diez, seis solo tiene cuatro factores (1, 2, 3 y 6) en lugar de seis. Su base correspondiente, senario , está por debajo del umbral establecido por DSA.

Ocho y dieciséis solo tienen 2 como factor primo. Por lo tanto, en octal y hexadecimal , las únicas fracciones terminantes son aquellas cuyo denominador es una potencia de dos .

Treinta es el número más pequeño que tiene tres factores primos distintos (2, 3 y 5, los tres primeros primos), y tiene ocho factores en total (1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 y 30). El sexagesimal fue utilizado por los antiguos sumerios y babilonios , entre otros; su base, sesenta, añade los cuatro factores convenientes 4, 12, 20 y 60 a 30, pero ningún factor primo nuevo. El número más pequeño que tiene cuatro factores primos distintos es 210; el patrón sigue el de los primoriales . Sin embargo, estos números son bastante grandes para usarlos como bases, y están muy por encima del umbral establecido por el DSA.

En todos los sistemas de base, existen similitudes en la representación de múltiplos de números que son uno menos o uno más que la base.

En la siguiente tabla de multiplicar, los números están escritos en formato duodecimal. Por ejemplo, "10" significa doce y "12" significa catorce.

Tablas de conversión a y desde decimal

Para convertir números entre bases, se puede utilizar el algoritmo de conversión general (véase la sección correspondiente en notación posicional ). Alternativamente, se pueden utilizar tablas de conversión de dígitos. Las que se proporcionan a continuación se pueden utilizar para convertir cualquier número duodecimal entre 0,1 y B B , B B B . B a decimal, o cualquier número decimal entre 0,1 y 99.999,9 a duodecimal. Para utilizarlas, el número dado debe descomponerse primero en una suma de números con un solo dígito significativo cada uno. Por ejemplo:

12.345,6 = 10.000 + 2.000 + 300 + 40 + 5 + 0,6

Esta descomposición funciona igual independientemente de la base en la que se exprese el número. Simplemente aísle cada dígito distinto de cero, rellenándolo con tantos ceros como sea necesario para preservar su valor posicional. Si los dígitos del número dado incluyen ceros (por ejemplo, 7080,9), estos se omiten en la descomposición (7080,9 = 7000 + 80 + 0,9). A continuación, se pueden usar las tablas de conversión de dígitos para obtener el valor equivalente en la base de destino para cada dígito. Si el número dado está en duodecimal y la base de destino es decimal, obtenemos:

(duodecimal) 10.000 + 2.000 + 300 + 40 + 5 + 0,6 = (decimal) 20.736 + 3.456 + 432 + 48 + 5 + 0,5

Como los sumandos ya están convertidos a decimal, se utiliza la aritmética decimal habitual para realizar la suma y recomponer el número, llegando al resultado de la conversión:

Duodecimal ---> Decimal 10.000 = 20.736 2.000 = 3.456 300 = 432 40 = 48 5 = 5 + 0,6 = + 0,5 ----------------------------- 12.345,6 = 24.677,5

Es decir, (duodecimal) 12.345,6 es igual a (decimal) 24.677,5.

Si el número dado está en decimal y la base de destino es duodecimal, el método es el mismo. Usando las tablas de conversión de dígitos:

(decimal) 10.000 + 2.000 + 300 + 40 + 5 + 0,6 = (duodecimal) 5.954 + 1,1 A 8 + 210 + 34 + 5 + 0, 7249

Para sumar estos productos parciales y recomponer el número, la suma debe realizarse con aritmética duodecimal en lugar de decimal:

 Decimal --> Duodecimal 10.000 = 5.954 2000 = 1,1 A 8 300 = 210 40 = 34 5 = 5 + 0,6 = + 0,7249 -------------------------------12.345,6 = 7.189,7249

Es decir, (decimal) 12.345,6 es igual a ( duodecimal) 7.189,7249

Conversión de dígitos duodecimales a decimales

Conversión de dígitos decimales a duodecimales

Fracciones y números irracionales

Fracciones

En las dos listas siguientes, los números están en formato duodecimal. Por ejemplo, "10" significa 9+3 y "12" significa 9+5.

Las fracciones duodecimales para números racionales con denominadores 3-suaves terminan:

  • 1 / 2 = 0,6​
  • 1 / 3 = 0,4​
  • 1/4 = 0,3​​​
  • 1/6 = 0,2​​​
  • 1/8 = 0,16​​​
  • 1 / 9 = 0,14​
  • 1/10 = 0,1 ( esto es un doceavo, 1 / A es un décimo )
  • 1/14 = 0,09 ( esto es un dieciseisavo , 1/12 es un catorceavo )

mientras que otros números racionales tienen fracciones duodecimales periódicas :

  • 1/5 = 0,2497​​​​
  • 1 / 7 = 0,186A35​​
  • 1 / A = 0,12497 (una décima parte )
  • 1 / B = 0,1(un onceavo )
  • 1/11 = 0,0B( un treceavo )​
  • 1/12 = 0,0 A35186 ( un catorceavo )
  • 1/13 = 0,09724 ( un quinceavo )​

Como se explica en decimales periódicos , siempre que una fracción irreducible se escribe en notación de punto de base en cualquier base, la fracción se puede expresar exactamente (termina) si y solo si todos los factores primos de su denominador son también factores primos de la base.

Porque2×5=10{\displaystyle 2\times 5=10}En el sistema decimal, las fracciones cuyos denominadores están formados únicamente por múltiplos de 2 y 5 terminan: ⁠ 1 / 8 ⁠ = ⁠ 1 / (2×2×2) ⁠ , ⁠ 1 / 20 ⁠ = ⁠ 1 / (2×2×5) ⁠ y ⁠ 1 / 500 ⁠ = ⁠ 1 / (2×2×5×5×5) ⁠ se pueden expresar exactamente como 0,125, 0,05 y 0,002 respectivamente. ⁠ 1 / 3 ⁠ y ⁠ 1 / 7 ⁠ , sin embargo, son recurrentes (0,333... y 0,142857142857...).      

Porque2×2×3=12{\displaystyle 2\times 2\times 3=12}En el sistema duodecimal, 1/8 es exacto ; 1/20 y 1/500 son recurrentes porque incluyen 5 como factor; 1/3 es exacto y 1/7 es recurrente , al igual que en el sistema decimal .

El número de denominadores que dan fracciones finitas con un número determinado de dígitos, n , en una base b es el número de factores (divisores) debnorte{\displaystyle b^{n}}, la enésima potencia de la base b (aunque esto incluye el divisor 1, que no produce fracciones cuando se usa como denominador). El número de factores debnorte{\displaystyle b^{n}}se da utilizando su factorización prima.

Para decimal,10norte=2norte×5norte{\displaystyle 10^{n}=2^{n}\times 5^{n}}. El número de divisores se encuentra sumando uno a cada exponente de cada primo y multiplicando las cantidades resultantes entre sí, por lo que el número de factores de10norte{\displaystyle 10^{n}}es(norte+1)(norte+1)=(norte+1)2{\displaystyle (n+1)(n+1)=(n+1)^{2}}.

Por ejemplo, el número 8 es un factor de 10³ ( 1000), por lo que18{\textstyle {\frac {1}{8}}}y otras fracciones con un denominador de 8 no pueden requerir más de tres dígitos decimales fraccionarios para terminar.58=0,62510.{\estilo de texto {\frac {5}{8}}=0,625_ {10}.}

Para duodecimal,10norte=22norte×3norte{\displaystyle 10^{n}=2^{2n}\times 3^{n}}Esto tiene(2norte+1)(norte+1){\displaystyle (2n+1)(n+1)}divisores. El denominador de muestra de 8 es un factor de un bruto122=144{\textstyle 12^{2}=144}(en decimal), por lo que los octavos no pueden necesitar más de dos lugares fraccionarios duodecimales para terminar.58=0,7612.{\estilo de texto {\frac {5}{8}}=0,76_ {12}.}

Debido a que tanto diez como doce tienen dos factores primos únicos, el número de divisores debnorte{\displaystyle b^{n}}para b = 10 o 12 crece cuadráticamente con el exponente n (en otras palabras, del orden denorte2{\displaystyle n^{2}}).

Dígitos recurrentes

La Dozenal Society of America sostiene que los factores de 3 se encuentran con mayor frecuencia en problemas de división de la vida real que los factores de 5. [ 39 ] Por lo tanto, en aplicaciones prácticas, el inconveniente de los decimales repetidos se presenta con menos frecuencia cuando se utiliza la notación duodecimal. Los defensores de los sistemas duodecimales argumentan que esto es particularmente cierto en los cálculos financieros, en los que los doce meses del año suelen intervenir.

Sin embargo, cuando aparecen fracciones recurrentes en notación duodecimal, es menos probable que tengan un período muy corto que en notación decimal, porque 12 (doce) está entre dos números primos , 11 (once) y 13 (trece), mientras que diez es adyacente al número compuesto 9. No obstante, tener un período más corto o más largo no ayuda al principal inconveniente de que no se obtiene una representación finita para tales fracciones en la base dada (por lo que el redondeo , que introduce inexactitud, es necesario para manejarlas en los cálculos), y en general es más probable tener que lidiar con dígitos recurrentes infinitos cuando las fracciones se expresan en decimal que en duodecimal, porque uno de cada tres números consecutivos contiene el factor primo 3 en su factorización, mientras que solo uno de cada cinco contiene el factor primo 5. Todos los demás factores primos, excepto el 2, no son compartidos ni por diez ni por doce, por lo que no influyen en la probabilidad relativa de encontrar dígitos recurrentes (cualquier fracción irreducible que contenga cualquiera de Estos otros factores en su denominador se repetirán en cualquiera de las bases).

Además, el factor primo 2 aparece dos veces en la factorización de doce, mientras que solo una vez en la factorización de diez; lo que significa que la mayoría de las fracciones cuyos denominadores son potencias de dos tendrán una representación final más corta y conveniente en duodecimal que en decimal:

  • 1/(2 2 ) = 0.25 10 = 0.3 12
  • 1/(2 3 ) = 0,125 10 = 0,16 12
  • 1/(2 4 ) = 0,0625 10 = 0,09 12
  • 1/(2 5 ) = 0,03125 10 = 0,046 12

La longitud del período duodecimal de 1/ n es (en decimal)

0, 0, 0, 0, 4, 0, 6, 0, 0, 4, 1, 0, 2, 6, 4, 0, 16, 0, 6, 4, 6, 1, 11, 0, 20, 2, 0, 6, 4, 4, 30, 0, 1, 16, 12, 0, 9, 6, 2, 4, 40, 6, 42, 1, 4, 11, 23, 0, 42, 20, 16, 2, 52, 0, 4, 6, 6, 4, 29, 4, 15, 30, 6, 0, 4, 1, 66, 16, 11, 12, 35, 0, ... (secuencia A246004 en la OEIS )

La longitud del período duodecimal de 1/( n -ésimo primo) es (en decimal)

0, 0, 4, 6, 1, 2, 16, 6, 11, 4, 30, 9, 40, 42, 23, 52, 29, 15, 66, 35, 36, 26, 41, 8, 16, 100, 102, 53, 54, 112, 126, 65, 136, 138, 148, 150, 3, 162, 83, 172, 89, 90, 95, 24, 196, 66, 14, 222, 113, 114, 8, 119, 120, 125, 256, 131, 268, 54, 138, 280, ... (secuencia A246489 en el OEIS )

Los números primos más pequeños con período duodecimal n son (en decimal):

11, 13, 157, 5, 22621, 7, 659, 89, 37, 19141, 23, 20593, 477517, 211, 61, 17, 2693651, 1657, 29043636306420266077, 85403261, 8177824843189, 57154490053, 47, 193, 303551, 79, 306829, 673, 59, 31, 373, 153953, 886381, 2551, 71, 73, ... (secuencia A252170 en el OEIS )

Números irracionales

Las representaciones de números irracionales en cualquier sistema numérico posicional (incluidos el decimal y el duodecimal) no terminan ni se repiten . Ejemplos:

Véase también

Referencias

  1. ↑ Dvorsky, George (18 de enero de 2013). "Por qué deberíamos cambiar a un sistema de numeración de base 12" . Gizmodo . Consultado el 21 de diciembre de 2013 .
  2. ↑ Pittman, Richard (1990). "Origen de los sistemas de numeración duodecimal y sexagesimal mesopotámicos". Philippine Journal of Linguistics . 21 (1): 97.
  3. ↑ Ifrah, Georges (2000) [1.ª ed. francesa 1981]. La historia universal de los números: desde la prehistoria hasta la invención del ordenador . Wiley. ISBN 0-471-39340-1.Traducido del francés por David Bellos, EF Harding, Sophie Wood e Ian Monk.
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    • "Sinopsis de la simbología de la DSA"
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