haz de fibras

En matemáticas , y particularmente en topología , un fibrado ( en inglés británico : fibre bundle ) es un espacio que localmente es un espacio producto , pero globalmente puede tener una estructura topológica diferente . Específicamente, la similitud entre un espacio${\displaystyle E}$y un espacio de productos${\displaystyle B\times F}$se define utilizando una aplicación sobreyectiva continua ,${\displaystyle \pi :E\to B,}$que en pequeñas regiones de${\displaystyle E}$se comporta igual que una proyección de regiones correspondientes de${\displaystyle B\times F}$a${\displaystyle B.}$ El mapa${\displaystyle \pi ,}$llamada proyección o inmersión del haz, se considera parte de la estructura del haz. El espacio${\displaystyle E}$se conoce como el espacio total del haz de fibras,${\displaystyle B}$como el espacio base , y${\displaystyle F}$la fibra .

En el caso trivial ,${\displaystyle E}$es solo${\displaystyle B\times F,}$y el mapa${\displaystyle \pi }$es simplemente la proyección del espacio producto al primer factor. Esto se denomina fibrado trivial . Ejemplos de fibrados no triviales incluyen la cinta de Möbius y la botella de Klein , así como espacios recubridores no triviales . Los fibrados, como el fibrado tangente de una variedad y otros fibrados vectoriales más generales , desempeñan un papel importante en la geometría diferencial y la topología diferencial , al igual que los fibrados principales .

Las aplicaciones entre espacios totales de haces de fibras que "conmutan" con las aplicaciones de proyección se conocen como aplicaciones de haces , y la clase de haces de fibras forma una categoría con respecto a dichas aplicaciones. Una aplicación de haces desde el espacio base mismo (con la aplicación identidad como proyección) a${\displaystyle E}$se llama una sección de${\displaystyle E.}$ Los haces de fibras pueden especializarse de varias maneras, la más común de las cuales es exigir que los mapas de transición entre los parches triviales locales se encuentren en un determinado grupo topológico , conocido como grupo de estructura , que actúa sobre la fibra.${\displaystyle F}$.

En topología , los términos fibra (en alemán: Faser ) y espacio fibra ( gefaserter Raum ) aparecieron por primera vez en un artículo de Herbert Seifert en 1933, ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} pero sus definiciones se limitan a un caso muy especial. La principal diferencia con la concepción actual de un espacio fibra, sin embargo, era que para Seifert lo que ahora se llama espacio base (espacio topológico) de un espacio fibra (topológico) E no era parte de la estructura, sino que se derivaba de ella como un espacio cociente de E. La primera definición de espacio fibra fue dada por Hassler Whitney en 1935 ^{[ 4 ]} bajo el nombre de espacio de esferas , pero en 1940 Whitney cambió el nombre a fibrado de esferas . ^{[ 5 ]}

La teoría de los espacios fibrados, de la cual los haces vectoriales , los haces principales , las fibraciones topológicas y las variedades fibradas son un caso especial, se atribuye a Herbert Seifert , Heinz Hopf , Jacques Feldbau , ^{[ 6 ]} Whitney, Norman Steenrod , Charles Ehresmann , ^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]} Jean-Pierre Serre , ^{[ 10 ]} y otros.

Los haces de fibras se convirtieron en objeto de estudio propio en el período 1935-1940. La primera definición general apareció en los trabajos de Whitney. ^{[ 11 ]}

Whitney llegó a la definición general de un haz de fibras a partir de su estudio de una noción más particular de un haz de esferas , ^{[ 12 ]} que es un haz de fibras cuya fibra es una esfera de dimensión arbitraria . ^{[ 13 ]}

Un haz de fibras es una tupla de 4 elementos.${\displaystyle (E,\,B,\,\pi ,\,F),}$dónde${\displaystyle E,B,}$y${\displaystyle F}$son espacios topológicos y${\displaystyle \pi :E\to B}$es una sobreyección continua que satisface una condición de trivialidad local que se describe a continuación. El espacio${\displaystyle B}$se llama elespacio base del haz,${\displaystyle E}$elespacio total y${\displaystyle F}$elfibra . El mapa${\displaystyle \pi }$se llama elmapa de proyección (oproyección de haces ). Supondremos en lo que sigue que el espacio base${\displaystyle B}$está conectado .

Requerimos que para cada${\displaystyle x\in B}$Hay un vecindario abierto.${\displaystyle U\subseteq B}$de${\displaystyle x}$(que se denominará un vecindario trivializador) tal que existe un homeomorfismo${\displaystyle \varphi$ :\pi ^{-1}(U)\to U\times F} (donde${\displaystyle \pi ^{-1}(U)}$se le da la topología del subespacio y${\displaystyle U\times F}$es el espacio del producto) de tal manera que${\displaystyle \pi }$coincide con la proyección sobre el primer factor. Es decir, el siguiente diagrama debería conmutar :

dónde${\displaystyle \operatorname {proj} _{1}:U\times F\to U}$es la proyección natural. El conjunto de todos${\displaystyle \left\{\left(U_{i},\,\varphi _{i}\right)\right\}}$se llama untrivialización local del fibrado.

Por lo tanto, para cualquier${\displaystyle p\in B}$, la preimagen${\displaystyle \pi ^{-1}(\{p\})}$es homeomorfo a${\displaystyle F}$(ya que esto es cierto de${\displaystyle \operatorname {proj} _{1}^{-1}(\{p\})}$) y se llama la fibra sobre${\displaystyle p}$Cada haz de fibras${\displaystyle \pi :E\to B}$es un mapa abierto , ya que las proyecciones de productos son mapas abiertos. Por lo tanto${\displaystyle B}$lleva la topología cociente determinada por el mapa${\displaystyle \pi .}$

Un haz de fibras${\displaystyle (E,\,B,\,\pi ,\,F)}$a menudo se denota $${\displaystyle {\begin{matrix}{}\\F\longrightarrow E\ {\xrightarrow {\,\ \pi \ }}\ B\\{}\end{matrix}}}$$ que, por analogía con una secuencia exacta corta , indica cuál es el espacio fibra, el espacio total y el espacio base, así como la aplicación del espacio total al espacio base.

AEl haz de fibras lisas es un haz de fibras en lacategoríadecolectores lisos. Es decir,${\displaystyle E}$,${\displaystyle B}$, y${\displaystyle F}$Se requiere que sean variedades suaves y todas las funciones anteriores deben ser aplicaciones suaves .

Asección (osección transversal) de un haz de fibras${\displaystyle \pi }$es un mapa continuo${\displaystyle f:B\to E}$de tal manera que${\displaystyle \pi (f(x))=x}$para todo x en B. Dado que los haces no tienen en general secciones definidas globalmente, uno de los propósitos de la teoría es explicar su existencia. La obstrucción a la existencia de una sección a menudo se puede medir mediante una clase de cohomología, lo que conduce a la teoría de clases características en topología algebraica .

El ejemplo más conocido es el teorema de la bola peluda , donde la clase de Euler es la obstrucción al fibrado tangente de la 2-esfera que tiene una sección que no se anula en ningún punto.

A menudo, uno desea definir secciones solo localmente (especialmente cuando no existen secciones globales). Una sección local de un haz de fibras es un mapa continuo.${\displaystyle f:U\to E}$donde U es un conjunto abierto en B y${\displaystyle \pi (f(x))=x}$para todo x en U . Si${\displaystyle (U,\,\varphi )}$Si se trata de una carta de trivialización local, entonces siempre existen secciones locales sobre U. Dichas secciones están en correspondencia biunívoca con mapas continuos.${\displaystyle U\to F}$Las secciones forman un haz .

Los fibrados suelen venir acompañados de un grupo de simetrías que describen las condiciones de correspondencia entre diagramas de trivialización locales superpuestos. Específicamente, sea G un grupo topológico que actúa continuamente sobre el espacio fibrado F por la izquierda. No perdemos nada si exigimos que G actúe fielmente sobre F, de modo que pueda considerarse como un grupo de homeomorfismos de F. Un atlas G para el fibrado${\displaystyle (E,B,\pi ,F)}$es un conjunto de diagramas de trivialización local${\displaystyle \{(U_{k},\,\varphi _{k})\}}$de tal manera que para cualquier${\displaystyle \varphi _{i},\varphi _{j}}$para los gráficos superpuestos${\displaystyle (U_{i},\,\varphi _{i})}$y${\displaystyle (U_{j},\,\varphi _{j})}$la función $${\displaystyle \varphi _{i}\varphi _{j}^{-1}:\left(U_{i}\cap U_{j}\right)\times F\to \left(U_{i}\cap U_{j}\right)\times F}$$ es dado por $${\displaystyle \varphi _{i}\varphi _{j}^{-1}(x,\,\xi )=\left(x,\,t_{ij}(x)\xi \right)}$$ dónde${\displaystyle t_{ij}:U_{i}\cap U_{j}\to G}$es un mapa continuo llamadofunción de transición . DosG-atlas son equivalentes si su unión también es unG-atlas. Un G -fibradoes un fibrado con una clase de equivalencia deG-atlas. El grupoGse llamagrupo de estructura del fibrado. Esto está relacionado con elgrupo de gaugeenfísica, que es el grupo de automorfismos delGque dejan el espacio base sin cambios.

En la categoría suave, un fibrado G es un fibrado suave donde G es un grupo de Lie y la acción correspondiente sobre F es suave y las funciones de transición son todas aplicaciones suaves.

Las funciones de transición${\displaystyle t_{ij}}$cumplir las siguientes condiciones

1. ${\displaystyle t_{ii}(x)=1\,}$
2. ${\displaystyle t_{ij}(x)=t_{ji}(x)^{-1}\,}$
3. ${\displaystyle t_{ik}(x)=t_{ij}(x)t_{jk}(x).\,}$

La tercera condición se aplica a las superposiciones triples U _i ∩ U _j ∩ U _k y se denomina condición de cociclo (de Čech) (véase también cohomología de Čech ). Su importancia radica en que las funciones de transición determinan el fibrado (si se asume la condición de cociclo).

Un fibrado principal G es aquel en el que la fibra F es un espacio homogéneo principal para la acción izquierda de G mismo (equivalentemente, se puede especificar que la acción de G sobre la fibra F es libre y transitiva, es decir, regular ). En este caso, suele ser conveniente identificar F con G y así obtener una acción (derecha) de G sobre el fibrado principal.

Es útil tener nociones de una correspondencia entre dos haces de fibras. Supongamos que${\displaystyle M}$y${\displaystyle N}$son espacios base y${\displaystyle \pi _{E}:E\to M}$y${\displaystyle \pi _{F}:F\to N}$son haces de fibra sobre${\displaystyle M}$y${\displaystyle N}$, respectivamente. Amapa de paquetes oEl morfismo de haces consiste en un par defunciones ^{continuas [ 14 ]}$${\displaystyle \varphi :E\to F,\quad f:M\to N}$$ de tal manera que${\displaystyle \pi _{F}\circ \varphi =f\circ \pi _{E}}$. Es decir, el siguiente diagrama es conmutativo :

Para haces de fibras con estructura de grupo${\displaystyle G}$y cuyos espacios totales son (derecha)${\displaystyle G}$-espacios (como un fibrado principal), también se requiere que los morfismos de fibrado sean${\displaystyle G}$- equivariante en las fibras. Esto significa que${\displaystyle \varphi :E\to F}$también lo es${\displaystyle G}$-morfismo de uno${\displaystyle G}$-espacio a otro, es decir,${\displaystyle \varphi (xs)=\varphi (x)s}$a pesar de${\displaystyle x\in E}$y${\displaystyle s\in G}$.

En caso de que los espacios base${\displaystyle M}$y${\displaystyle N}$coinciden, entonces un morfismo de fibrado sobre${\displaystyle M}$del haz de fibras${\displaystyle \pi _{E}:E\to M}$a${\displaystyle \pi _{F}:F\to M}$es un mapa${\displaystyle \varphi :E\to F}$de tal manera que${\displaystyle \pi _{E}=\pi _{F}\circ \varphi }$Esto significa que el mapa del paquete${\displaystyle \varphi :E\to F}$cubre la identidad de${\displaystyle M}$. Eso es,${\displaystyle f\equiv \mathrm {id} _{M}}$y el siguiente diagrama conmuta:

Supongamos que ambos${\displaystyle \pi _{E}:E\to M}$y${\displaystyle \pi _{F}:F\to M}$se definen sobre el mismo espacio base${\displaystyle M}$Un isomorfismo de fibrado es una aplicación de fibrado${\displaystyle (\varphi ,\,f)}$entre${\displaystyle \pi _{E}:E\to M}$y${\displaystyle \pi _{F}:F\to M}$de tal manera que${\displaystyle f\equiv \mathrm {id} _{M}}$y tal que${\displaystyle \varphi }$También es un homeomorfismo. ^{[ 15 ]}

En la categoría de variedades diferenciables , los haces de fibras surgen naturalmente como inmersiones de una variedad en otra. No toda inmersión (diferenciable)${\displaystyle f:M\to N}$de una variedad diferenciable M a otra variedad diferenciable N da lugar a un fibrado diferenciable. Para empezar, la aplicación debe ser sobreyectiva, y${\displaystyle (M,N,f)}$Se denomina colector de fibras . Sin embargo, esta condición necesaria no es del todo suficiente, y existen diversas condiciones suficientes de uso común.

Si M y N son compactos y conectados , entonces cualquier inmersión${\displaystyle f:M\to N}$da lugar a un haz de fibras en el sentido de que existe un espacio de fibras F difeomorfo a cada una de las fibras tal que${\displaystyle (E,B,\pi ,F)=(M,N,f,F)}$es un haz de fibras. (Sobreyectividad de${\displaystyle f}$sigue de las suposiciones ya dadas en este caso.) De manera más general, la suposición de compacidad puede relajarse si la inmersión${\displaystyle f:M\to N}$se supone que es una aplicación propia sobreyectiva , lo que significa que${\displaystyle f^{-1}(K)}$es compacto para cada subconjunto compacto K de N. Otra condición suficiente, debida a Ehresmann (1951) , es que si${\displaystyle f:M\to N}$es una inmersión sobreyectiva con M y N variedades diferenciables tales que la preimagen${\displaystyle f^{-1}\{x\}}$es compacto y conectado para todos${\displaystyle x\in N,}$entonces${\displaystyle f}$admite una estructura de haz de fibras compatible ( Michor 2008 , §17) .

• La noción de haz se aplica a muchas más categorías en matemáticas, a costa de modificar adecuadamente la condición de trivialidad local; cf. espacio homogéneo principal y torsor (geometría algebraica) .
• En topología, una fibración es una aplicación${\displaystyle \pi :E\to B}$que comparte ciertas propiedades de teoría de homotopía con los fibrados. Específicamente, bajo supuestos técnicos moderados, un fibrado siempre posee la propiedad de elevación homotópica o la propiedad de recubrimiento homotópico (véase Steenrod (1951 , 11.7) para más detalles). Esta es la propiedad que define una fibración.
• Una sección de un haz de fibras es una "función cuyo rango de salida depende continuamente de la entrada". Esta propiedad se captura formalmente en la noción de tipo dependiente .

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