Problema de Basilea

El problema de Basilea es un problema de análisis matemático con relevancia para la teoría de números , que trata sobre una suma infinita de inversos de cuadrados. Fue planteado por primera vez por Pietro Mengoli en 1650 y resuelto por Leonhard Euler en 1734, ^{[ 1 ]} y leído el 5 de diciembre de 1735 en la Academia de Ciencias de San Petersburgo . ^{[ 2 ]} Dado que el problema había resistido los ataques de los principales matemáticos de la época, la solución de Euler le valió fama inmediata a los veintiocho años. Euler generalizó considerablemente el problema, y ​​sus ideas fueron retomadas más de un siglo después por Bernhard Riemann en su influyente artículo de 1859 « Sobre el número de primos menores que una magnitud dada », en el que definió su función zeta y demostró sus propiedades básicas. El problema recibe su nombre de la ciudad de Basilea , ciudad natal de Euler y de la familia Bernoulli , que intentó resolverlo sin éxito.

El problema de Basilea pide la suma exacta de los recíprocos de los cuadrados de los números naturales , es decir, la suma exacta de la serie infinita : $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots .}$$

La suma de la serie es aproximadamente igual a 1,644934. ^{[ 3 ]} El problema de Basilea pide la suma exacta de esta serie (en forma cerrada ), así como una prueba de que esta suma es correcta. Euler encontró que la suma exacta es${\textstyle {\pi ^{2}}/{6}}$y anunció este descubrimiento en 1735. Sus argumentos se basaban en manipulaciones que no estaban justificadas en aquel momento, aunque posteriormente se demostró que tenía razón. Presentó una prueba aceptada en 1741.

La solución a este problema se puede utilizar para estimar la probabilidad de que dos números aleatorios grandes sean coprimos . Dos enteros aleatorios en el rango de 1 a n , en el límite cuando n tiende a infinito, son primos relativos con una probabilidad que se aproxima${\textstyle {6}/{\pi ^{2}}}$, el recíproco de la solución al problema de Basilea. ^{[ 4 ]}

La derivación original de Euler del valor${\textstyle {\pi ^{2}}/{6}}$Básicamente, extendió las observaciones sobre polinomios finitos y asumió que esas mismas propiedades se cumplen para series infinitas.

Por supuesto, el razonamiento original de Euler requiere justificación (cien años después, Karl Weierstrass demostró la validez de la representación euleriana de la función seno como un producto infinito, mediante el teorema de factorización de Weierstrass ), pero incluso sin justificación, simplemente obteniendo el valor correcto, pudo verificarlo numéricamente comparándolo con sumas parciales de la serie. La concordancia que observó le dio la suficiente confianza como para anunciar su resultado a la comunidad matemática.

Para seguir el argumento de Euler, recordemos el desarrollo en serie de Taylor de la función seno.$${\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots }$$ Dividiendo por x se obtiene $${\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}=1-{\frac {x^{2}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{7!}}+\cdots .}$$

El teorema de factorización de Weierstrass muestra que el lado derecho es el producto de factores lineales dados por sus raíces, al igual que para los polinomios finitos. Euler asumió esto como una heurística para expandir un polinomio de grado infinito en términos de sus raíces, pero de hecho no siempre es cierto para polinomios generales.${\displaystyle P(x)}$. ^{[ 5 ]} Esta factorización expande la ecuación en: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\sin x}{x}}&=\left(1-{\frac {x}{\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{3\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{3\pi }}\right)\cdots \\&=\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{4\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{9\pi ^{2}}}\right)\cdots \end{aligned}}}$$

Si multiplicamos formalmente este producto y agrupamos todos los términos x ² (podemos hacerlo debido a las identidades de Newton ), vemos por inducción que el coeficiente x ^{2 de} sin x / x ⁠ es ^{[ 6 ].}$${\displaystyle -\left({\frac {1}{\pi ^{2}}}+{\frac {1}{4\pi ^{2}}}+{\frac {1}{9\pi ^{2}}}+\cdots \right)=-{\frac {1}{\pi ^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}.}$$

Pero a partir del desarrollo en serie infinita original de ⁠ sin x / x ⁠ , el coeficiente de x ² es − ⁠ 1 / 3! ⁠ = − ⁠ 1 / 6 ⁠ . Estos dos coeficientes deben ser iguales; por lo tanto, $${\displaystyle -{\frac {1}{6}}=-{\frac {1}{\pi ^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}.}$$

Multiplicando ambos lados de esta ecuación por − π ² se obtiene la suma de los recíprocos de los cuadrados positivos. ^{[ 7 ]}$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}.}$$

La función zeta de Riemann ζ ( s ) es una de las funciones más importantes en matemáticas debido a su relación con la distribución de los números primos . La función zeta se define para cualquier número complejo s con parte real mayor que 1 mediante la siguiente fórmula: $${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}.}$$

Tomando s = 2 , vemos que ζ (2) es igual a la suma de los recíprocos de los cuadrados de todos los enteros positivos: $${\displaystyle \zeta (2)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}\approx 1.644934.}$$

La convergencia se puede demostrar mediante el criterio integral o mediante la siguiente desigualdad: $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n^{2}}}&<1+\sum _{n=2}^{N}{\frac {1}{n(n-1)}}\\&=1+\sum _{n=2}^{N}\left({\frac {1}{n-1}}-{\frac {1}{n}}\right)\\&=1+1-{\frac {1}{N}}\;{\stackrel {N\to \infty }{\longrightarrow }}\;2.\end{aligned}}}$$

Esto nos da el límite superior 2, y como la suma infinita no contiene términos negativos, debe converger a un valor estrictamente entre 0 y 2. Se puede demostrar que ζ ( s ) tiene una expresión simple en términos de los números de Bernoulli siempre que s sea un entero par positivo. Con s = 2 n : ^{[ 9 ]}$${\displaystyle \zeta (2n)={\frac {(2\pi )^{2n}(-1)^{n+1}B_{2n}}{2\cdot (2n)!}}.}$$

La función sinc normalizada${\displaystyle {\text{sinc}}(x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}}$tiene una representación de factorización de Weierstrass como un producto infinito: $${\displaystyle {\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{n^{2}}}\right).}$$

El producto infinito es analítico , por lo que al tomar el logaritmo natural de ambos lados y diferenciar se obtiene $${\displaystyle {\frac {\pi \cos(\pi x)}{\sin(\pi x)}}-{\frac {1}{x}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2x}{n^{2}-x^{2}}}}$$

(por convergencia uniforme , se permite el intercambio de la derivada y la serie infinita). Después de dividir la ecuación por${\displaystyle 2x}$y reagruparse uno se obtiene $${\displaystyle {\frac {1}{2x^{2}}}-{\frac {\pi \cot(\pi x)}{2x}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}-x^{2}}}.}$$

Realizamos un cambio de variables (${\displaystyle x=-it}$): $${\displaystyle -{\frac {1}{2t^{2}}}+{\frac {\pi \cot(-\pi it)}{2it}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}+t^{2}}}.}$$

La fórmula de Euler se puede utilizar para deducir que $${\displaystyle {\frac {\pi \cot(-\pi it)}{2it}}={\frac {\pi }{2it}}{\frac {i\left(e^{2\pi t}+1\right)}{e^{2\pi t}-1}}={\frac {\pi }{2t}}+{\frac {\pi }{t\left(e^{2\pi t}-1\right)}}.}$$ o utilizando la función hiperbólica correspondiente : $${\displaystyle {\frac {\pi \cot(-\pi it)}{2it}}={\frac {\pi }{2t}}{i\cot(\pi it)}={\frac {\pi }{2t}}\coth(\pi t).}$$

Entonces $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}+t^{2}}}={\frac {\pi \left(te^{2\pi t}+t\right)-e^{2\pi t}+1}{2\left(t^{2}e^{2\pi t}-t^{2}\right)}}=-{\frac {1}{2t^{2}}}+{\frac {\pi }{2t}}\coth(\pi t).}$$

Ahora tomamos el límite como${\displaystyle t}$se aproxima a cero y utiliza la regla de L'Hôpital tres veces. Por el teorema de Tannery aplicado a${\textstyle \lim _{t\to \infty }\sum _{n=1}^{\infty }1/(n^{2}+1/t^{2})}$, podemos intercambiar el límite y la serie infinita de modo que${\textstyle \lim _{t\to 0}\sum _{n=1}^{\infty }1/(n^{2}+t^{2})=\sum _{n=1}^{\infty }1/n^{2}}$y según la regla de L'Hôpital $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}&=\lim _{t\to 0}{\frac {\pi }{4}}{\frac {2\pi te^{2\pi t}-e^{2\pi t}+1}{\pi t^{2}e^{2\pi t}+te^{2\pi t}-t}}\\[6pt]&=\lim _{t\to 0}{\frac {\pi ^{3}te^{2\pi t}}{2\pi \left(\pi t^{2}e^{2\pi t}+2te^{2\pi t}\right)+e^{2\pi t}-1}}\\[6pt]&=\lim _{t\to 0}{\frac {\pi ^{2}(2\pi t+1)}{4\pi ^{2}t^{2}+12\pi t+6}}\\[6pt]&={\frac {\pi ^{2}}{6}}.\end{aligned}}}$$

Utilice la identidad de Parseval (aplicada a la función f ( x ) = x ) para obtener $${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }|c_{n}|^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x^{2}\,dx,}$$ dónde $${\displaystyle {\begin{aligned}c_{n}&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }xe^{-inx}\,dx\\[4pt]&={\frac {n\pi \cos(n\pi )-\sin(n\pi )}{\pi n^{2}}}i\\[4pt]&={\frac {\cos(n\pi )}{n}}i\\[4pt]&={\frac {(-1)^{n}}{n}}i\end{aligned}}}$$

para n ≠ 0 y c ₀ = 0 . Por lo tanto, $${\displaystyle |c_{n}|^{2}={\begin{cases}{\dfrac {1}{n^{2}}},&{\text{for }}n\neq 0,\\0,&{\text{for }}n=0,\end{cases}}}$$

y $${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }|c_{n}|^{2}=2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x^{2}\,dx.}$$

Por lo tanto, $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{4\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x^{2}\,dx={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$$ según sea necesario.

Dado una base ortonormal completa en el espacio${\displaystyle L_{\operatorname {per} }^{2}(0,1)}$de funciones periódicas L2 sobre${\displaystyle (0,1)}$(es decir, el subespacio de funciones de cuadrado integrable que también son periódicas ), denotado por${\displaystyle \{e_{i}\}_{i=-\infty }^{\infty }}$La identidad de Parseval nos dice que $${\displaystyle \|x\|^{2}=\sum _{i=-\infty }^{\infty }|\langle e_{i},x\rangle |^{2},}$$

dónde${\displaystyle \|x\|:={\sqrt {\langle x,x\rangle }}}$se define en términos del producto interno en este espacio de Hilbert dado por $${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{0}^{1}f(x){\overline {g(x)}}\,dx,\ f,g\in L_{\operatorname {per} }^{2}(0,1).}$$

Podemos considerar la base ortonormal en este espacio definida por${\displaystyle e_{k}\equiv e_{k}(\vartheta ):=\exp(2\pi \imath k\vartheta )}$de tal manera que${\displaystyle \langle e_{k},e_{j}\rangle =\int _{0}^{1}e^{2\pi \imath (k-j)\vartheta }\,d\vartheta =\delta _{k,j}}$Entonces, si tomamos${\displaystyle f(\vartheta ):=\vartheta }$, podemos calcular ambos que $${\displaystyle {\begin{aligned}\|f\|^{2}&=\int _{0}^{1}\vartheta ^{2}\,d\vartheta ={\frac {1}{3}}\\\langle f,e_{k}\rangle &=\int _{0}^{1}\vartheta e^{-2\pi \imath k\vartheta }\,d\vartheta ={\Biggl \{}{\begin{array}{ll}{\frac {1}{2}},&k=0\\-{\frac {1}{2\pi \imath k}}&k\neq 0,\end{array}}\end{aligned}}}$$

mediante cálculo elemental e integración por partes , respectivamente. Finalmente, por la identidad de Parseval enunciada en la forma anterior, obtenemos que $${\displaystyle {\begin{aligned}\|f\|^{2}={\frac {1}{3}}&=\sum _{\stackrel {k=-\infty }{k\neq 0}}^{\infty }{\frac {1}{(2\pi k)^{2}}}+{\frac {1}{4}}=2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{(2\pi k)^{2}}}+{\frac {1}{4}}\\&\implies {\frac {\pi ^{2}}{6}}={\frac {2\pi ^{2}}{3}}-{\frac {\pi ^{2}}{2}}=\zeta (2).\end{aligned}}}$$

Es posible demostrar el resultado utilizando cálculo elemental aplicando la técnica de diferenciación bajo el signo integral a una integral debida a Freitas: ^{[ 10 ]}$${\displaystyle I(\alpha )=\int _{0}^{\infty }\ln \left(1+\alpha e^{-x}+e^{-2x}\right)dx.}$$

Si bien la función primitiva del integrando no puede expresarse en términos de funciones elementales, al diferenciar con respecto a${\displaystyle \alpha }$llegamos a

$${\displaystyle {\frac {dI}{d\alpha }}=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x}}{1+\alpha e^{-x}+e^{-2x}}}dx,}$$ que se puede integrar mediante sustitución${\displaystyle u=e^{-x}}$y completando el cuadrado. En el rango${\displaystyle -2<\alpha <2}$La integral definida se reduce a

$${\displaystyle {\frac {dI}{d\alpha }}={\frac {2}{\sqrt {4-\alpha ^{2}}}}\left[\arctan \left({\frac {\alpha +2}{\sqrt {4-\alpha ^{2}}}}\right)-\arctan \left({\frac {\alpha }{\sqrt {4-\alpha ^{2}}}}\right)\right].}$$

La expresión se puede simplificar utilizando la fórmula de suma de arcotangente e integrar con respecto a${\displaystyle \alpha }$mediante sustitución trigonométrica , resultando en

$${\displaystyle I(\alpha )=-{\frac {1}{2}}\arccos \left({\frac {\alpha }{2}}\right)^{2}+c.}$$

La constante de integración${\displaystyle c}$se puede determinar observando que dos valores distintos de${\displaystyle I(\alpha )}$están relacionados por

$${\displaystyle I(2)=4I(0),}$$ porque al calcular${\displaystyle I(2)}$podemos factorizar${\displaystyle 1+2e^{-x}+e^{-2x}=(1+e^{-x})^{2}}$y expresarlo en términos de${\displaystyle I(0)}$utilizando el logaritmo de una identidad de potencia y la sustitución${\displaystyle u=x/2}$Esto permite determinar${\displaystyle c={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$y de ello se deduce que

$${\displaystyle I(-2)=2\int _{0}^{\infty }\ln(1-e^{-x})dx=-{\frac {\pi ^{2}}{3}}.}$$

Esta integral final se puede evaluar expandiendo el logaritmo natural en su serie de Taylor :

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\ln(1-e^{-x})dx=-\sum _{n=1}^{\infty }\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-nx}}{n}}dx=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}.}$$

Las dos últimas identidades implican

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}.}$$

Si bien la mayoría de las demostraciones utilizan resultados de matemáticas avanzadas , como el análisis de Fourier , el análisis complejo y el cálculo multivariable , la siguiente ni siquiera requiere cálculo de una sola variable (hasta que se toma un único límite al final).

Para una demostración utilizando el teorema de los residuos, consulte aquí .

La prueba

La idea principal detrás de la demostración es acotar las sumas parciales (finitas). $${\displaystyle \sum _{k=1}^{m}{\frac {1}{k^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{m^{2}}}}$$ entre dos expresiones, cada una de las cuales tenderá a ⁠ π ² / 6 ⁠ cuando m se aproxime al infinito. Las dos expresiones se derivan de identidades que involucran las funciones cotangente y cosecante . Estas identidades, a su vez, se derivan de la fórmula de De Moivre , y ahora pasaremos a establecer estas identidades.

Sea x un número real con 0 < x < ⁠ π / 2 ⁠ , y sea n un entero positivo impar. Entonces, a partir de la fórmula de De Moivre y la definición de la función cotangente, tenemos $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\cos(nx)+i\sin(nx)}{\sin ^{n}x}}&={\frac {(\cos x+i\sin x)^{n}}{\sin ^{n}x}}\\[4pt]&=\left({\frac {\cos x+i\sin x}{\sin x}}\right)^{n}\\[4pt]&=(\cot x+i)^{n}.\end{aligned}}}$$

Del teorema del binomio , tenemos $${\displaystyle {\begin{aligned}(\cot x+i)^{n}=&{n \choose 0}\cot ^{n}x+{n \choose 1}(\cot ^{n-1}x)i+\cdots +{n \choose {n-1}}(\cot x)i^{n-1}+{n \choose n}i^{n}\\[6pt]=&{\Bigg (}{n \choose 0}\cot ^{n}x-{n \choose 2}\cot ^{n-2}x\pm \cdots {\Bigg )}\;+\;i{\Bigg (}{n \choose 1}\cot ^{n-1}x-{n \choose 3}\cot ^{n-3}x\pm \cdots {\Bigg )}.\end{aligned}}}$$

Al combinar las dos ecuaciones e igualar las partes imaginarias se obtiene la identidad. $${\displaystyle {\frac {\sin(nx)}{\sin ^{n}x}}={\Bigg (}{n \choose 1}\cot ^{n-1}x-{n \choose 3}\cot ^{n-3}x\pm \cdots {\Bigg )}.}$$

Tomamos esta identidad, fijamos un entero positivo m , establecemos n = 2 m + 1 , y consideramos x _r = ⁠ r π / 2 m + 1 ⁠ para r = 1, 2, ..., m . Entonces nx _r es un múltiplo de π y por lo tanto sin( nx _r ) = 0. Entonces, $${\displaystyle 0={{2m+1} \choose 1}\cot ^{2m}x_{r}-{{2m+1} \choose 3}\cot ^{2m-2}x_{r}\pm \cdots +(-1)^{m}{{2m+1} \choose {2m+1}}}$$

para cada r = 1, 2, ..., m . Los valores x _r = x ₁ , x ₂ , ..., x _m son números distintos en el intervalo 0 < x _r < ⁠ π / 2 ⁠ . Dado que la función cot ² x es inyectiva en este intervalo, los números t _r = cot ² x _r son distintos para r = 1, 2, ..., m . Por la ecuación anterior, estos m números son las raíces del polinomio de grado m .$${\displaystyle p(t)={{2m+1} \choose 1}t^{m}-{{2m+1} \choose 3}t^{m-1}\pm \cdots +(-1)^{m}{{2m+1} \choose {2m+1}}.}$$

Mediante las fórmulas de Vieta podemos calcular la suma de las raíces directamente examinando los dos primeros coeficientes del polinomio, y esta comparación muestra que $${\displaystyle \cot ^{2}x_{1}+\cot ^{2}x_{2}+\cdots +\cot ^{2}x_{m}={\frac {\binom {2m+1}{3}}{\binom {2m+1}{1}}}={\frac {2m(2m-1)}{6}}.}$$

Sustituyendo ^la identidad csc²x = ^cot²x + 1 , tenemos $${\displaystyle \csc ^{2}x_{1}+\csc ^{2}x_{2}+\cdots +\csc ^{2}x_{m}={\frac {2m(2m-1)}{6}}+m={\frac {2m(2m+2)}{6}}.}$$

Ahora consideremos la desigualdad ^cot²x < 1 / x² < csc²x ^{( ilustrada} geométricamente arriba ) . Si sumamos todas estas desigualdades para cada uno de los números xr = rπ/ 2m + 1 _, y si usamos las ^dos identidades anteriores, obtenemos $${\displaystyle {\frac {2m(2m-1)}{6}}<\left({\frac {2m+1}{\pi }}\right)^{2}+\left({\frac {2m+1}{2\pi }}\right)^{2}+\cdots +\left({\frac {2m+1}{m\pi }}\right)^{2}<{\frac {2m(2m+2)}{6}}.}$$

Multiplicando por ( ⁠ π / 2 m + 1 ⁠ ) ², esto se convierte en $${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}\left({\frac {2m}{2m+1}}\right)\left({\frac {2m-1}{2m+1}}\right)<{\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{m^{2}}}<{\frac {\pi ^{2}}{6}}\left({\frac {2m}{2m+1}}\right)\left({\frac {2m+2}{2m+1}}\right).}$$

Cuando m tiende a infinito, las expresiones de la izquierda y de la derecha se aproximan cada una a ⁠ π ² / 6 ⁠ , por lo que, según el teorema de compresión , $${\displaystyle \zeta (2)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}=\lim _{m\to \infty }\left({\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{m^{2}}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$$

Y con esto concluye la demostración.

También es posible una demostración asumiendo la conjetura de Weil sobre los números de Tamagawa . ^{[ 13 ]} La conjetura afirma para el caso del grupo algebraico SL ₂ ( R ) que el número de Tamagawa del grupo es uno. Es decir, el cociente del grupo lineal especial sobre los adeles racionales por el grupo lineal especial de los racionales (un conjunto compacto , porque${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {Q} )}$es una celosía en los adeles) tiene medida Tamagawa 1: $${\displaystyle \tau (SL_{2}(\mathbb {Q} )\setminus SL_{2}(A_{\mathbb {Q} }))=1.}$$

Para determinar una medida de Tamagawa, el grupo${\displaystyle SL_{2}}$consta de matrices $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x&y\\z&t\end{bmatrix}}}$$ con${\displaystyle xt-yz=1}$. Una forma de volumen invariante en el grupo es $${\displaystyle \omega ={\frac {1}{x}}dx\wedge dy\wedge dz.}$$

La medida del cociente es el producto de las medidas de${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {Z} )\setminus SL_{2}(\mathbb {R} )}$correspondientes al lugar infinito y las medidas de${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {Z} _{p})}$en cada lugar finito, donde${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$son los enteros p-ádicos .

En cuanto a los factores locales, $${\displaystyle \omega (SL_{2}(\mathbb {Z} _{p}))=|SL_{2}(F_{p})|\omega (SL_{2}(\mathbb {Z} _{p},p))}$$ dónde${\displaystyle F_{p}}$es el campo con${\displaystyle p}$elementos y${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {Z} _{p},p)}$es el subgrupo de congruencia módulo${\displaystyle p}$. Dado que cada una de las coordenadas${\displaystyle x,y,z}$mapear este último grupo en${\displaystyle p\mathbb {Z} _{p}}$y${\displaystyle \left|{\frac {1}{x}}\right|_{p}=1}$, la medida de${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {Z} _{p},p)}$es${\displaystyle \mu _{p}(p\mathbb {Z} _{p})^{3}=p^{-3}}$, dónde${\displaystyle \mu _{p}}$es la medida de Haar normalizada en${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$Además, un cálculo estándar muestra que${\displaystyle |SL_{2}(F_{p})|=p(p^{2}-1)}$Al juntar estos elementos se obtiene${\displaystyle \omega (SL_{2}(\mathbb {Z} _{p}))=(1-1/p^{2})}$.

En el lugar infinito, un cálculo integral sobre el dominio fundamental de${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {Z} )}$muestra que${\displaystyle \omega (SL_{2}(\mathbb {Z} )\setminus SL_{2}(\mathbb {R} ))=\pi ^{2}/6}$y por lo tanto la conjetura de Weil finalmente da $${\displaystyle 1={\frac {\pi ^{2}}{6}}\prod _{p}\left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right).}$$ En el lado derecho, reconocemos el producto de Euler para${\displaystyle 1/\zeta (2)}$, y así se da la solución al problema de Basilea.

Este enfoque muestra la conexión entre la geometría (hiperbólica) y la aritmética, y puede invertirse para dar una demostración de la conjetura de Weil para el caso especial de${\displaystyle SL_{2}}$, supeditado a una prueba independiente de que${\displaystyle \zeta (2)=\pi ^{2}/6}$.

El problema de Basilea puede demostrarse mediante la geometría euclidiana , aprovechando la idea de que la recta real puede considerarse como un círculo de radio infinito . Aquí se presenta un esbozo intuitivo, aunque no del todo riguroso.

• Elige un número entero${\displaystyle N}$y tomar${\displaystyle N}$puntos igualmente espaciados en un círculo con circunferencia igual a${\displaystyle 2N}$El radio del círculo es${\displaystyle N/\pi }$y la longitud de cada arco entre dos puntos es${\displaystyle 2}$. Llamar a los puntos${\displaystyle P_{1..N}}$.
• Tomemos otro punto genérico${\displaystyle Q}$en el círculo, que estará situado a una fracción${\displaystyle 0<\alpha <1}$del arco entre dos puntos consecutivos (por ejemplo${\displaystyle P_{1}}$y${\displaystyle P_{2}}$sin pérdida de generalidad).
• Dibuja todos los acordes que se unen${\displaystyle Q}$con cada uno de los${\displaystyle P_{1..N}}$puntos. Ahora (esta es la clave de la demostración), calcule la suma de los inversos cuadrados de las longitudes de todas estas cuerdas, llámelas${\displaystyle sisc}$.
• La prueba se basa en el hecho notable de que (para un fijo)${\displaystyle \alpha }$), el${\displaystyle sisc}$no depende de${\displaystyle N}$. Nótese que intuitivamente, como${\displaystyle N}$A medida que aumenta, aumenta el número de cuerdas, pero su longitud también aumenta (a medida que el círculo se hace más grande), por lo que su inverso al cuadrado disminuye.
• En particular, tomemos el caso donde${\displaystyle \alpha =1/2}$, lo que significa que${\displaystyle Q}$es el punto medio del arco entre dos puntos consecutivos${\displaystyle P}$'s. El${\displaystyle sisc}$entonces se puede encontrar trivialmente a partir del caso${\displaystyle N=1}$donde solo hay uno${\displaystyle P}$y uno${\displaystyle Q}$en el lado opuesto del círculo. Entonces la cuerda es el diámetro del círculo, de longitud${\displaystyle 2/\pi }$. El${\displaystyle sisc}$es entonces${\displaystyle \pi ^{2}/4}$.
• Cuando${\displaystyle N}$Cuando tiende a infinito, el círculo se aproxima a la línea real. Si se establece el origen en${\displaystyle Q}$, los puntos${\displaystyle P_{1..N}}$están ubicados en las posiciones enteras impares (positivas y negativas), ya que los arcos tienen una longitud de 1 desde${\displaystyle Q}$a${\displaystyle P_{1}}$y 2 en adelante. Por lo tanto, se obtiene esta variación del problema de Basilea:

$${\displaystyle \sum _{z=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{(2z-1)^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{4}}}$$

• Desde aquí, puedes recuperar la formulación original con un poco de álgebra, como se muestra a continuación:

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(2n-1)^{2}}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(2n)^{2}}}={\frac {1}{2}}\sum _{z=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{(2z-1)^{2}}}+{\frac {1}{4}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}$$

eso es,

$${\displaystyle {\frac {3}{4}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{8}}}$$

o

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$$.

La independencia de la${\displaystyle sisc}$de${\displaystyle N}$se puede demostrar fácilmente con geometría euclidiana para el caso más restrictivo donde${\displaystyle N}$es una potencia de 2, es decir${\displaystyle N=2^{n}}$, lo que aún permite aplicar el argumento de limitación. La demostración procede por inducción sobre${\displaystyle n}$y utiliza el Teorema Inverso de Pitágoras , que establece que:

$${\displaystyle {\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}={\frac {1}{h^{2}}}}$$

dónde${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$son las piernas y${\displaystyle h}$es la altura de un triángulo rectángulo.

• En el caso base de${\displaystyle n=0}$, solo hay 1 acorde. En el caso de${\displaystyle \alpha =1/2}$, corresponde al diámetro y al${\displaystyle sisc}$es${\displaystyle \pi ^{2}/4}$como se indicó anteriormente.
• Ahora, supongamos que tienes${\displaystyle 2^{n}}$puntos en un círculo con radio${\displaystyle 2^{n}/\pi }$y centro${\displaystyle O}$, y${\displaystyle 2^{n+1}}$puntos en un círculo con radio${\displaystyle 2^{n+1}/\pi }$y centro${\displaystyle R}$El paso de inducción consiste en demostrar que estos 2 círculos tienen el mismo${\displaystyle sisc}$para un dado${\displaystyle \alpha }$.

• Comienza dibujando los círculos de manera que compartan un punto.${\displaystyle Q}$. Tenga en cuenta que${\displaystyle R}$se encuentra en el círculo más pequeño. Entonces, observe que${\displaystyle 2^{n+1}}$siempre es par, y un argumento geométrico simple muestra que se pueden elegir pares de puntos opuestos.${\displaystyle P_{1}}$y${\displaystyle P_{2}}$en el círculo más grande uniendo cada par con un diámetro. Además, para cada par, uno de los puntos estará en la mitad "inferior" del círculo (más cerca de${\displaystyle Q}$) y la otra en la mitad "superior".

• El diámetro del círculo más grande${\displaystyle P_{1}P_{2}}$corta el círculo más pequeño en${\displaystyle R}$y en otro momento${\displaystyle P}$A continuación, puede tener en cuenta lo siguiente:
  • ${\displaystyle P_{1}{\widehat {Q}}P_{2}}$es un ángulo recto, ya que${\displaystyle P_{1}P_{2}}$es un diámetro.
  • ${\displaystyle Q{\widehat {P}}R}$es un ángulo recto, ya que${\displaystyle QR}$es un diámetro.
  • ${\displaystyle Q{\widehat {R}}P_{2}=Q{\widehat {R}}P}$es la mitad de${\displaystyle Q{\widehat {O}}P}$para el Teorema del Ángulo Inscrito .
  • Por lo tanto, el arco${\displaystyle QP}$es igual al arco${\displaystyle QP_{2}}$, de nuevo porque el radio es la mitad.
  • El acorde${\displaystyle QP}$es la altura del triángulo rectángulo${\displaystyle QP_{1}P_{2}}$, por lo tanto, para el Teorema de Pitágoras Inverso:

$${\displaystyle {\frac {1}{{\overline {QP}}^{2}}}={\frac {1}{{\overline {QP_{1}}}^{2}}}+{\frac {1}{{\overline {QP_{2}}}^{2}}}}$$

• Por lo tanto, para la mitad de los puntos en el círculo más grande (los de la mitad inferior) hay un punto correspondiente en el círculo más pequeño con la misma distancia de arco desde${\displaystyle Q}$(ya que la circunferencia del círculo más pequeño es la mitad de la del círculo más grande, los dos últimos puntos más cercanos a${\displaystyle R}$debe tener también una distancia de arco de 2). Viceversa, para cada uno de los${\displaystyle 2^{n}}$puntos en el círculo más pequeño, podemos construir un par de puntos en el círculo más grande, y todos estos puntos son equidistantes y tienen la misma distancia de arco desde${\displaystyle Q}$.
• Además, el total${\displaystyle sisc}$para el círculo más grande es lo mismo que el${\displaystyle sisc}$para el círculo más pequeño, ya que cada par de puntos en el círculo más grande tiene la misma suma inversa al cuadrado que el punto correspondiente en el círculo más pequeño. ^{[ 14 ]}

Consulte los casos especiales de las identidades para la función zeta de Riemann cuando${\displaystyle s=2.}$Otras identidades y representaciones particularmente especiales de esta constante aparecen en las secciones siguientes.