Operador de Baskakov

En el análisis funcional , una rama de las matemáticas , los operadores de Baskakov son generalizaciones de los polinomios de Bernstein , los operadores de Szász-Mirakyan y los operadores de Lupas . Se definen por

${\displaystyle [{\mathcal {L}}_{n}(f)](x)=\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{k}{\frac {x^{k}}{k!}}\phi _{n}^{(k)}(x)f\left({\frac {k}{n}}\right)}}$

dónde${\displaystyle x\in [0,b)\subset \mathbb {R} }$(${\displaystyle b}$puede ser${\displaystyle \infty }$),${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, y${\displaystyle (\phi _{n})_{n\in \mathbb {N} }}$es una secuencia de funciones definidas en${\displaystyle [0,b]}$que tengan las siguientes propiedades para todos${\displaystyle n,k\in \mathbb {N} }$:

1. ${\displaystyle \phi _{n}\in {\mathcal {C}}^{\infty }[0,b]}$Alternativamente,${\displaystyle \phi _{n}}$tiene una serie de Taylor en${\displaystyle [0,b)}$.
2. ${\displaystyle \phi _{n}(0)=1}$
3. ${\displaystyle \phi _{n}}$es completamente monótono, es decir${\displaystyle (-1)^{k}\phi _ {n}^{(k)}\geq 0}$.
4. Hay un número entero${\displaystyle c}$de tal manera que${\displaystyle \phi _{n}^{(k+1)}=-n\phi _{n+c}^{(k)}}$cuando sea${\displaystyle n>\max\{0,-c\}}$

Reciben su nombre de VA Baskakov, quien estudió su convergencia a funciones continuas y acotadas. ^{[ 1 ]}

Los operadores de Baskakov son lineales y positivos. ^{[ 2 ]}

• Baskakov, VA (1957). Primeros operadores de líneas de posición con funciones no preestablecidas[ Un ejemplo de una secuencia de operadores lineales positivos en el espacio de funciones continuas ] . Doklady Akademii Nauk SSSR (en ruso). 113 : 249–251 .