polinomio de Bernstein

En el campo matemático del análisis numérico , un polinomio de Bernstein es un polinomio expresado como una combinación lineal de polinomios base de Bernstein . Esta idea recibe su nombre del matemático Sergei Natanovich Bernstein .

Bernstein utilizó por primera vez polinomios de esta forma en una demostración constructiva del teorema de aproximación de Weierstrass . Con la llegada de los gráficos por computadora, los polinomios de Bernstein, restringidos al intervalo [0, 1], adquirieron importancia en forma de curvas de Bézier .

Un método numéricamente estable para evaluar polinomios en forma de Bernstein es el algoritmo de De Casteljau .

Definición

Polinomios base de Bernstein

El $n+1$ Polinomios base de Bernstein de grado $n$ se definen como

b_{\nu ,n}(x)\ =\ {\binom {n}{\nu }}\ x^{\nu }\left(1-x\right)^{n-\nu },~~

para

~~\nu =0\ ,\ \ldots \ ,n,

dónde ${\tbinom {n}{\nu }}$ es un coeficiente binomial .

Entonces, por ejemplo, $b_{2,5}(x)\ =\ {\tbinom {5}{2}}x^{2}(1-x)^{3}\ =\ 10x^{2}(1-x)^{3}$ .

Los primeros polinomios base de Bernstein para combinar $1, 2, 3$ o $4$ valores son:

{\begin{aligned}b_{0,0}(x)&=1\ ,\\b_{0,1}(x)&=1-x\ ,&b_{1,1}(x)&=x\\b_{0,2}(x)&=(1-x)^{2}\ ,&b_{1,2}(x)&=2x(1-x)\ ,&b_{2,2}(x)&=x^{2}\\b_{0,3}(x)&=(1-x)^{3}\ ,&b_{1,3}(x)&=3x(1-x)^{2}\ ,&b_{2,3}(x)&=3x^{2}(1-x)\ ,&b_{3,3}(x)&=x^{3}.\end{aligned}}

Los polinomios base de Bernstein de grado $n$ forman una base para el espacio vectorial $\Pi _{n}$ de polinomios de grado como máximo $n$ , todos con coeficientes reales.

Polinomios de Bernstein

Una combinación lineal de polinomios base de Bernstein

B_{n}(x)\ =\ \sum _{\nu =0}^{n}\beta _{\nu }b_{\nu ,n}(x)

se denomina polinomio de Bernstein o polinomio en forma de Bernstein de grado $n$ . ^{[ 1 ]} Los coeficientes $\beta _{\nu }$ se denominan coeficientes de Bernstein o coeficientes de Bézier .

Los primeros polinomios base de Bernstein mencionados anteriormente en forma monomial son:

{\begin{aligned}b_{0,0}(x)&=1\ ,\\b_{0,1}(x)&=1-1x\ ,&b_{1,1}(x)&=0+1x\\b_{0,2}(x)&=1-2x+1x^{2},&b_{1,2}(x)&=0+2x-2x^{2}\ ,&b_{2,2}(x)&=0+0x+1x^{2}\\b_{0,3}(x)&=1-3x+3x^{2}-1x^{3}\ ,&b_{1,3}(x)&=0+3x-6x^{2}+3x^{3}\ ,&b_{2,3}(x)&=0+0x+3x^{2}-3x^{3},&b_{3,3}(x)&=0+0x+0x^{2}+1x^{3}.\end{aligned}}

Propiedades

Los polinomios base de Bernstein tienen las siguientes propiedades:

$b_{\nu ,n}(x)=0$ , si $\nu <0$ o si $\nu >n$ .
$b_{\nu ,n}(x)\geq 0$ para $x\in [0,\ 1]$ .
$b_{\nu ,n}\left(1-x\right)=b_{n-\nu ,n}(x)$ .
$b_{\nu ,n}(0)=\delta _{\nu ,0}$ y $b_{\nu ,n}(1)=\delta _{\nu ,n}$ dónde $\delta _{i,j}$ es la función delta de Kronecker : $\delta _{ij}={\begin{cases}0&{\text{if }}i\neq j,\\1&{\text{if }}i=j.\end{cases}}$
$b_{\nu ,n}(x)$ tiene raíz con multiplicidad $\nu$ en el punto $x=0$ (nota: cuando $\nu =0$ , no hay raíz en $0$ ).
$b_{\nu ,n}(x)$ tiene raíz con multiplicidad $\left(n-\nu \right)$ en el punto $x=1$ (nota: si $\nu =n$ , no hay raíz en $1$ ).
La derivada se puede escribir como una combinación de dos polinomios de Bernstein de menor grado: $b_{\nu ,n}'(x)=n{\bigl [}\ b_{\nu -1,n-1}(x)\ -\ b_{\nu ,n-1}(x)\ {\bigr ]}.$
La $k$ -ésima derivada en $0$ : $b_{\nu ,n}^{(k)}(0)\ =\ {\frac {n!}{(n-k)!}}{\binom {k}{\nu }}(-1)^{\nu +k}.$
La $k$ -ésima derivada en 1: $b_{\nu ,n}^{(k)}(1)\ =\ (-1)^{k}b_{n-\nu ,n}^{(k)}(0).$
La transformación del polinomio de Bernstein a monomios es $b_{\nu ,n}(x)\ =\ {\binom {n}{\nu }}\sum _{k=0}^{n-\nu }{\binom {n-\nu }{k}}(-1)^{k}x^{\nu +k}\ =\ \sum _{\ell =\nu }^{n}{\binom {n}{\ell }}{\binom {\ell }{\nu }}(-1)^{\ell -\nu }x^{\ell },$ y mediante la transformación binomial inversa , la transformación inversa es ^{[ 2 ]} $x^{k}\ =\ \sum _{i=0}^{n-k}{\frac {\binom {n-k}{i}}{\binom {n}{i}}}b_{n-i,n}(x)\ =\ {\frac {1}{\binom {n}{k}}}\sum _{j=k}^{n}{\binom {j}{k}}b_{j,n}(x).$
La integral indefinida viene dada por $\int b_{\nu ,n}(x)\ \operatorname {d} x={\frac {1}{n+1}}\sum _{j=\nu +1}^{n+1}b_{j,n+1}(x).$
La integral definida es constante para un $n$ dado : $\int _{0}^{1}b_{\nu ,n}(x)\ \operatorname {d} x={\frac {1}{n+1}}$ a pesar de $\nu =0,1,\ \dots \ ,n.$
Si $n\neq 0$ , entonces $b_{\nu ,n}(x)$ tiene un máximo local único en el intervalo $[0,\,1]$ en $x={\frac {\nu }{n}}$ Este máximo toma el valor $\nu ^{\nu }n^{-n}\left(n-\nu \right)^{n-\nu }{n \choose \nu }.$
Los polinomios base de Bernstein de grado $n$ formar una partición de la unidad : $\sum _{\nu =0}^{n}b_{\nu ,n}(x)\ =\ \sum _{\nu =0}^{n}{n \choose \nu }x^{\nu }\left(1-x\right)^{n-\nu }\ =\ \left(x+\left(1-x\right)\right)^{n}=1.$
Al tomar la primera $x$ -derivado de $(x+y)^{n}$ , tratando $y$ como constante, luego sustituyendo el valor $y=1-x$ , se puede demostrar que $\sum _{\nu =0}^{n}\nu \ b_{\nu ,n}(x)=n\ x.$
De manera similar el segundo $x$ -derivado de $(x+y)^{n}$ , con $y$ luego volvió a sustituir $y=1-x,$ muestra que $\sum _{\nu =1}^{n}\nu \left(\nu -1\right)\ b_{\nu ,n}(x)=n\left(n-1\right)\ x^{2}.$
Un polinomio de Bernstein siempre se puede escribir como una combinación lineal de polinomios de grado superior: $b_{\nu ,n-1}(x)\ =\ \left({\frac {n-\nu }{n}}\right)\ b_{\nu ,n}(x)\ +\ \left({\frac {\nu +1}{n}}\right)\ b_{\nu +1,n}(x).$
La expansión de los polinomios de Chebyshev de primera especie en la base de Bernstein es ^{[ 3 ].} $T_{n}(u)\ =\ (2n-1)!!\ \sum _{k=0}^{n}{\frac {~(-1)^{n-k}\ }{\ (2k-1)!!\ (2n-2k-1)!!\ }}\ b_{k,n}(u).$

Aproximación de funciones continuas

Sea ƒ una función continua en el intervalo [0, 1]. Consideremos el polinomio de Bernstein.

B_{n}(f)(x)=\sum _{\nu =0}^{n}f\left({\frac {\nu }{n}}\right)b_{\nu ,n}(x).

Se puede demostrar que

\lim _{n\to \infty }{B_{n}(f)}=f

uniformemente en el intervalo [0, 1]. ^{[ 4 ]}^{[ 1 ]}^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}

Los polinomios de Bernstein proporcionan así una forma de demostrar el teorema de aproximación de Weierstrass que establece que toda función continua de valor real en un intervalo real [ a , b ] puede aproximarse uniformemente mediante funciones polinómicas sobre $\mathbb {R}$ . ^{[ 7 ]}

Una afirmación más general para una función con k ^-ésima derivada continua es:

{\left\|B_{n}(f)^{(k)}\right\|}_{\infty }\leq {\frac {(n)_{k}}{n^{k}}}\left\|f^{(k)}\right\|_{\infty }\quad \ {\text{and}}\quad \ \left\|f^{(k)}-B_{n}(f)^{(k)}\right\|_{\infty }\to 0,

dónde $(n)_{k}$ es el factorial descendente , y además

{\frac {(n)_{k}}{n^{k}}}=\left(1-{\frac {0}{n}}\right)\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\cdots \left(1-{\frac {k-1}{n}}\right)

es un valor propio de B _n ; la función propia correspondiente es un polinomio de grado k .

Prueba probabilística

Esta demostración sigue la demostración original de Bernstein de 1912. ^{[ 8 ]} Véase también Feller (1966) o Koralov y Sinai (2007). ^{[ 9 ]}^{[ 5 ]}

Motivación

Primero, explicaremos intuitivamente la demostración original de Bernstein. Una función continua en un intervalo compacto debe ser uniformemente continua. Por lo tanto, el valor de cualquier función continua puede aproximarse uniformemente mediante su valor en una red finita de puntos en el intervalo. Esta consideración hace que el teorema de aproximación sea intuitivo, dado que los polinomios deben ser lo suficientemente flexibles como para coincidir (o casi coincidir) con un número finito de pares. $(x,f(x))$ Para ello, podríamos (1) construir una función cercana a $f$ en una red, y luego (2) suavizar la función fuera de la red para hacer un polinomio.

La demostración probabilística que se presenta a continuación simplemente proporciona un método constructivo para crear un polinomio que sea aproximadamente igual a $f$ En una red de puntos de este tipo, dado que "suavizar" una función no siempre es trivial. Tomar la esperanza de una variable aleatoria con una distribución simple es una forma común de suavizar. Aquí, aprovechamos el hecho de que los polinomios de Bernstein se parecen a las esperanzas binomiales. Dividimos el intervalo en una red de n valores discretos. Luego, para evaluar cualquier f(x) , evaluamos f en uno de los n puntos de la red cercanos a x , elegidos aleatoriamente por la distribución binomial. La esperanza de esta técnica de aproximación es polinómica, ya que es la esperanza de una función de una variable aleatoria binomial. La demostración a continuación ilustra que esto logra una aproximación uniforme de f . El punto clave de la demostración es (1) justificar el reemplazo de un punto arbitrario con un punto de la red elegido binomialmente por las propiedades de concentración de una distribución binomial, y (2) justificar la inferencia de $x\approx X$ a $f(x)\approx f(X)$ por continuidad uniforme.

La prueba de Bernstein

Supongamos que K es una variable aleatoria distribuida como el número de éxitos en n ensayos de Bernoulli independientes con probabilidad x de éxito en cada ensayo; en otras palabras, K tiene una distribución binomial con parámetros n y x . Entonces tenemos el valor esperado $\operatorname {\mathbb {E} } \left[{\frac {K}{n}}\right]=x$ y

p(K)={n \choose K}x^{K}\left(1-x\right)^{n-K}=b_{K,n}(x)

Por la ley débil de los grandes números de la teoría de la probabilidad ,

\lim _{n\to \infty }{P\left(\left|{\frac {K}{n}}-x\right|>\delta \right)}=0

para todo δ > 0. Además, esta relación se cumple uniformemente en x , lo cual se puede ver en su demostración a través de la desigualdad de Chebyshev , teniendo en cuenta que la varianza de 1 ⁄ n K , igual a 1 ⁄ n x (1 − x ), está acotada superiormente por 1 ⁄ (4 n ) independientemente de x .

Dado que ƒ , al ser continua en un intervalo cerrado y acotado, debe ser uniformemente continua en ese intervalo, se deduce una afirmación de la forma

\lim _{n\to \infty }{P\left(\left|f\left({\frac {K}{n}}\right)-f\left(x\right)\right|>\varepsilon \right)}=0

uniformemente en x para cada $\epsilon >0$ Teniendo en cuenta que ƒ está acotada (en el intervalo dado), se encuentra que

\lim _{n\to \infty }{\operatorname {\mathbb {E} } \left(\left|f\left({\frac {K}{n}}\right)-f\left(x\right)\right|\right)}=0

uniformemente en x . Para justificar esta afirmación, utilizamos un método común en la teoría de la probabilidad para convertir la proximidad en probabilidad en proximidad en esperanza. Se divide la esperanza de $\left|f\left({\frac {K}{n}}\right)-f\left(x\right)\right|$ en dos partes divididas en función de si o no $\left|f\left({\frac {K}{n}}\right)-f\left(x\right)\right|<\epsilon$ En el intervalo donde la diferencia no excede ε , la esperanza claramente no puede exceder ε . En el otro intervalo, la diferencia todavía no puede exceder 2 M , donde M es una cota superior para | ƒ (x)| (ya que las funciones uniformemente continuas están acotadas). Sin embargo, por nuestra afirmación de "probabilidad cercana", este intervalo no puede tener una probabilidad mayor que ε . Por lo tanto, esta parte de la esperanza contribuye como máximo a 2 M veces ε . Entonces, la esperanza total no es mayor que $\epsilon +2M\epsilon$ , que puede hacerse arbitrariamente pequeño eligiendo un ε pequeño .

Finalmente, se observa que el valor absoluto de la diferencia entre las expectativas nunca excede la expectativa del valor absoluto de la diferencia, una consecuencia de la desigualdad de Hölder . Por lo tanto, utilizando la expectativa anterior, vemos que (uniformemente en x )

\lim _{n\to \infty }{\left|\operatorname {\mathbb {E} } f\left({\frac {K}{n}}\right)-\operatorname {\mathbb {E} } f\left(x\right)\right|}\leq \lim _{n\to \infty }{\operatorname {\mathbb {E} } \left(\left|f\left({\frac {K}{n}}\right)-f\left(x\right)\right|\right)}=0

Observando que nuestra aleatoriedad era sobre K mientras que x es constante, la esperanza de f(x) es simplemente igual a f(x) . Pero luego hemos demostrado que $\operatorname {\mathbb {E} _{x}} f\left({\frac {K}{n}}\right)$ converge a f(x) . Entonces habremos terminado si $\operatorname {\mathbb {E} _{x}} f\left({\frac {K}{n}}\right)$ es un polinomio en x (el subíndice nos recuerda que x controla la distribución de K ). En efecto, lo es:

\operatorname {\mathbb {E} _{x}} \left[f\left({\frac {K}{n}}\right)\right]=\sum _{K=0}^{n}f\left({\frac {K}{n}}\right)p(K)=\sum _{K=0}^{n}f\left({\frac {K}{n}}\right)b_{K,n}(x)=B_{n}(f)(x)

Tasas de convergencia uniformes entre funciones

En la demostración anterior, recordemos que la convergencia en cada límite que involucra a f depende de la continuidad uniforme de f , lo que implica una tasa de convergencia que depende del módulo de continuidad de f. $\omega$ . También depende de 'M', el límite absoluto de la función, aunque esto se puede evitar si se establecen límites. $\omega$ y el tamaño del intervalo. Por lo tanto, la aproximación solo es válida uniformemente en todo x para una f fija , pero se puede extender fácilmente la demostración para aproximar uniformemente un conjunto de funciones con un conjunto de polinomios de Bernstein en el contexto de la equicontinuidad .

Prueba elemental

La prueba probabilística también puede reformularse de forma elemental, utilizando las ideas probabilísticas subyacentes pero procediendo mediante verificación directa: ^{[ 10 ]}^{[ 6 ]}^{[ 11 ]}^{[ 12 ]}^{[ 13 ]}

Se pueden verificar las siguientes identidades:

$\sum _{k}{n \choose k}x^{k}(1-x)^{n-k}=1$ ("probabilidad")
$\sum _{k}{k \over n}{n \choose k}x^{k}(1-x)^{n-k}=x$ ("significar")
$\sum _{k}\left(x-{k \over n}\right)^{2}{n \choose k}x^{k}(1-x)^{n-k}={x(1-x) \over n}.$ ("diferencia")

De hecho, por el teorema del binomio

$(1+t)^{n}=\sum _{k}{n \choose k}t^{k},$

y esta ecuación se puede aplicar dos veces a $t{\frac {d}{dt}}$ Las identidades (1), (2) y (3) se obtienen fácilmente mediante la sustitución. $t=x/(1-x)$ .

Dentro de estas tres identidades, utilice la notación polinómica base anterior.

b_{k,n}(x)={n \choose k}x^{k}(1-x)^{n-k},

y dejar

f_{n}(x)=\sum _{k}f(k/n)\,b_{k,n}(x).

Por lo tanto, por identidad (1)

f_{n}(x)-f(x)=\sum _{k}[f(k/n)-f(x)]\,b_{k,n}(x),

de modo que

|f_{n}(x)-f(x)|\leq \sum _{k}|f(k/n)-f(x)|\,b_{k,n}(x).

|f_{n}(x)-f(x)|\leq \sum _{|x-{k \over n}|<\delta }|f(k/n)-f(x)|\,b_{k,n}(x)+\sum _{|x-{k \over n}|\geq \delta }|f(k/n)-f(x)|\,b_{k,n}(x).

La primera suma es menor que ε. Por otro lado, por la identidad (3) anterior, y dado que $|x-k/n|\geq \delta$ , la segunda suma está acotada por $2M$ veces

\sum _{|x-k/n|\geq \delta }b_{k,n}(x)\leq \sum _{k}\delta ^{-2}\left(x-{k \over n}\right)^{2}b_{k,n}(x)=\delta ^{-2}{x(1-x) \over n}<{1 \over 4}\delta ^{-2}n^{-1}.

( Desigualdad de Chebyshev )

De ello se deduce que los polinomios f _n tienden a f uniformemente.

Generalizaciones a dimensiones superiores

Los polinomios de Bernstein se pueden generalizar a $k$ dimensiones; los polinomios resultantes tienen la forma $B$ $i$ $1$ $($ $x$ $1$ $)$ $B$ $i$ $2$ $($ $x$ $2$ $) ...$ $B$ $i$ $k$ $($ $x$ $k$ $)$ . ^[¹^] En el caso más simple, solo se consideran productos del intervalo unitario $[0,1] ; pero, utilizando$ transformaciones afines de la línea, los polinomios de Bernstein también se pueden definir para productos $[$ $a$ $1$ $,$ $b$ $1$ $] \times [$ $a$ $2$ $,$ $b$ $2$ $] \times ... \times [$ $a$ $k$ $,$ $b$ $k$ $]$ . Para una función continua $f$ en el producto $k$ -ésimo del intervalo unitario , la prueba de que $f$ $($ $x$ $1$ $,$ $x$ $2$ $, ... ,$ $x$ $k$ $)$ se puede aproximar uniformemente por

\sum _{i_{1}}\sum _{i_{2}}\cdots \sum _{i_{k}}{n_{1} \choose i_{1}}{n_{2} \choose i_{2}}\cdots {n_{k} \choose i_{k}}f\left({i_{1} \over n_{1}},{i_{2} \over n_{2}},\dots ,{i_{k} \over n_{k}}\right)x_{1}^{i_{1}}(1-x_{1})^{n_{1}-i_{1}}x_{2}^{i_{2}}(1-x_{2})^{n_{2}-i_{2}}\cdots x_{k}^{i_{k}}(1-x_{k})^{n_{k}-i_{k}}

es una extensión directa de la demostración de Bernstein en una dimensión. ^{[ 14 ]}

Véase también

Interpolación polinómica
Forma de Newton
forma de Lagrange
Función de masa cuadrática binomial (también conocida como ondícula de Daubechies )

Notas

1 2 3 Lorentz 1953
↑ Mathar, RJ (2018). "Función base ortogonal sobre el círculo unitario con la propiedad minimax". Apéndice B. arXiv : 1802.09518 [ math.NA ].
↑ Rababah, Abedallah (2003). "Transformación de la base polinómica de Chebyshev-Bernstein" . Métodos computacionales en matemáticas aplicadas . 3 (4): 608– 622. doi : 10.2478/cmam-2003-0038 . S2CID 120938358 .
↑ Natanson (1964) pág. 6
1 2 Talador 1966
1 2 Beals 2004
↑ Natanson (1964) pág. 3
↑ Bernstein 1912
↑ Koralov, L.; Sinaí, Y. (2007). ""Demostración probabilística del teorema de Weierstrass"". Teoría de la probabilidad y de los procesos aleatorios (2.ª ed.). Springer. pág. 29.
↑ Lorentz 1953 , págs. 5–6
↑ Goldberg 1964
↑ Akhiezer 1956
↑ Burkill 1959
↑ Hildebrandt, TH ; Schoenberg, IJ (1933), "Sobre operaciones funcionales lineales y el problema de los momentos para un intervalo finito en una o varias dimensiones" , Annals of Mathematics , 34 (2): 327, doi : 10.2307/1968205 , JSTOR 1968205

Referencias

Bernstein, S. (1912), "Démonstration du théorème de Weierstrass fondée sur le calcul des probabilités (Prueba del teorema de Weierstrass basada en el cálculo de probabilidades)" (PDF) , Comm. Matemáticas de Jarkov. Soc. , 13 : 1-2, traducción al inglés
Lorentz, GG (1953), Polinomios de Bernstein , University of Toronto Press
Akhiezer, NI (1956), Teoría de la aproximación (en ruso), traducido por Charles J. Hyman, Frederick Ungar, págs . 30–31 Edición rusa publicada por primera vez en 1940.
Burkill, JC (1959), Lecciones sobre aproximación mediante polinomios (PDF) , Bombay: Instituto Tata de Investigación Fundamental , págs . 7–8
Goldberg, Richard R. (1964), Métodos de análisis real , John Wiley & Sons, págs. 263–265
Caglar, Hakan; Akansu, Ali N. (julio de 1993). "Una técnica de diseño PR-QMF paramétrica generalizada basada en la aproximación polinómica de Bernstein". IEEE Transactions on Signal Processing . 41 (7): 2314– 2321. Bibcode : 1993ITSP...41.2314C . doi : 10.1109/78.224242 . Zbl 0825.93863 .
Korovkin, PP (2001) [1994], "Polinomios de Bernstein" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
Natanson, IP (1964). Teoría de la función constructiva. Volumen I: Aproximación uniforme . Traducido por Alexis N. Obolensky. Nueva York: Frederick Ungar. MR 0196340. Zbl 0133.31101 .
Feller, William (1966), Introducción a la teoría de la probabilidad y sus aplicaciones, Vol. II , John Wiley & Sons, págs. 149–150 , 218–222
Beals, Richard (2004), Análisis. Una introducción , Cambridge University Press , pp. 95–98 , ISBN 0521600472

Enlaces externos

Kac, Mark (1938). "Une comentario sobre los polinomes de MS Bernstein" . Estudios Matemáticos . 7 : 49– 51. doi : 10.4064/sm-7-1-49-51 .
Kelisky, Richard Paul; Rivlin, Theodore Joseph (1967). "Iterativos de los polinomios de Bernstein" . Pacific Journal of Mathematics . 21 (3): 511. doi : 10.2140/pjm.1967.21.511 .
Stark, EL (1981). "Polinoma de Bernstein, 1912-1955". En Butzer, PL (ed.). ISNM60 . págs. 443– 461. doi : 10.1007/978-3-0348-9369-5_40 . ISBN 978-3-0348-9369-5.
Petrone, Sonia (1999). "Polinomios de Bernstein aleatorios". Scand. J. Stat . 26 (3): 373– 393. doi : 10.1111/1467-9469.00155 . S2CID 122387975 .
Oruc, Halil; Phillips, George M. (1999). "Una generalización de los polinomios de Bernstein" . Actas de la Sociedad Matemática de Edimburgo . 42 (2): 403– 413. doi : 10.1017/S0013091500020332 .
Joy, Kenneth I. (2000). "Polinomios de Bernstein" (PDF) . Archivado del original (PDF) el 20 de febrero de 2012. Recuperado el 28 de febrero de 2009 .De la Universidad de California, Davis . Nótese el error en los límites de sumatoria en la primera fórmula de la página 9.
Idrees Bhatti, M.; Bracken, P. (2007). "Soluciones de ecuaciones diferenciales en una base de polinomios de Bernstein" . J. Comput. Appl. Math . 205 (1): 272– 280. Bibcode : 2007JCoAM.205..272I . doi : 10.1016/j.cam.2006.05.002 .
Casselman, Bill (2008). "De Bézier a Bernstein" .Columna de opinión de la Sociedad Matemática Estadounidense
Acikgoz, Mehmet; Araci, Serkan (2010). "Sobre la función generadora de polinomios de Bernstein". AIP Conf. Proc . AIP Conference Proceedings. 1281 (1): 1141. Bibcode : 2010AIPC.1281.1141A . doi : 10.1063/1.3497855 .
Doha, EH; Bhrawy, AH; Saker, MA (2011). "Integrales de polinomios de Bernstein: una aplicación para la solución de ecuaciones diferenciales de alto orden par" . Appl. Math. Lett . 24 (4): 559– 565. doi : 10.1016/j.aml.2010.11.013 .
Farouki, Rida T. (2012). "La base polinómica de Bernstein: una retrospectiva centenaria". Comp. Aid. Geom. Des . 29 (6): 379– 419. doi : 10.1016/j.cagd.2012.03.001 .
Chen, Xiaoyan; Tan, Jieqing; Liu, Zhi; Xie, Jin (2017). "Aproximaciones de funciones mediante una nueva familia de operadores de Bernstein generalizados" . J. Math. Ann. Applic . 450 : 244–261 . doi : 10.1016/j.jmaa.2016.12.075 .
Weisstein, Eric W. "Polinomio de Bernstein" . MundoMatemático .
Este artículo incorpora material de las propiedades del polinomio de Bernstein en PlanetMath , que está bajo la licencia Creative Commons Attribution/Share-Alike License .

[Lorentz-1] 1 2 3 Lorentz 1953

[2] Mathar, RJ (2018). "Función base ortogonal sobre el círculo unitario con la propiedad minimax". Apéndice B. arXiv : 1802.09518 [ math.NA ].

[3] Rababah, Abedallah (2003). "Transformación de la base polinómica de Chebyshev-Bernstein" . Métodos computacionales en matemáticas aplicadas . 3 (4): 608– 622. doi : 10.2478/cmam-2003-0038 . S2CID 120938358 .

[Nat6-4] Natanson (1964) pág. 6

[Feller_1966-5] 1 2 Talador 1966

[Beals_2004-6] 1 2 Beals 2004

[Nat3-7] Natanson (1964) pág. 3

[8] Bernstein 1912

[9] Koralov, L.; Sinaí, Y. (2007). ""Demostración probabilística del teorema de Weierstrass"". Teoría de la probabilidad y de los procesos aleatorios (2.ª ed.). Springer. pág. 29.

[10] Lorentz 1953 , págs. 5–6

[11] Goldberg 1964

[12] Akhiezer 1956

[13] Burkill 1959

[14] Hildebrandt, TH ; Schoenberg, IJ (1933), "Sobre operaciones funcionales lineales y el problema de los momentos para un intervalo finito en una o varias dimensiones" , Annals of Mathematics , 34 (2): 327, doi : 10.2307/1968205 , JSTOR 1968205

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ].

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]