Esquema de haces y calentamiento

En matemáticas numéricas, el esquema de Beam and Warming o esquema implícito de Beam-Warming, introducido en 1978 por Richard M. Beam y RF Warming, ^{[ 1 ] [ 2 ]} es un esquema implícito de segundo orden de precisión , utilizado principalmente para resolver ecuaciones hiperbólicas no lineales. Actualmente no se utiliza mucho.

Este esquema es un esquema ADI no iterativo, factorizado espacialmente, y utiliza el método de Euler implícito para realizar la integración temporal. El algoritmo está en forma delta , linealizado mediante la implementación de una serie de Taylor . Por lo tanto, se observa como incrementos de las variables conservadas. En este caso, se obtiene un algoritmo factorizado eficiente evaluando explícitamente las derivadas cruzadas espaciales. Esto permite la derivación directa del esquema y una solución eficiente utilizando este algoritmo computacional. La eficiencia se debe a que, aunque es un esquema de tres niveles de tiempo, solo requiere dos niveles de almacenamiento de datos. Esto resulta en una estabilidad incondicional. Está centrado y necesita el operador de disipación artificial para garantizar la estabilidad numérica . ^{[ 1 ]}

La forma delta de la ecuación resultante tiene la ventajosa propiedad de estabilidad (si existe) independiente del tamaño del paso de tiempo. ^{[ 3 ]}

Consideremos la ecuación de Burgers sin viscosidad en una dimensión.

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=-u{\frac {\partial u}{\partial x}}\quad {\text{con }}x\in R}$

La ecuación de Burgers en forma de conservación ,

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=-{\frac {\partial E}{\partial x}}}$

dónde  :${\displaystyle E={\frac {u^{2}}{2}}}$

Expansión de la serie Taylor

La expansión de  :${\displaystyle u_{i}^{n+1}}$

${\displaystyle u_{i}^{n+1}=u_{i}^{n}+{\frac {1}{2}}\left[\left.{\frac {\partial u}{\partial t}}\right|_{i}^{n}+\left.{\frac {\partial u}{\partial t}}\right|_{i}^{n+1}\right]\,\Delta t+O(\Delta t^{3})}$

Esto también se conoce como la fórmula trapezoidal .

${\displaystyle \therefore {\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{\Delta t}}=-{\frac {1}{2}}\left(\left.{\frac {\partial E}{\partial x}}\right|_{i}^{n+1}+\left.{\frac {\partial E}{\partial x}}\right|_{i}^{n}+{\frac {\partial }{\partial x}}\left[A(u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n})\right]\right)}$

${\displaystyle \because {\frac {\partial u}{\partial t}}=-{\frac {\partial E}{\partial x}}}$

Tenga en cuenta que para esta ecuación,

${\displaystyle A={\frac {\partial E}{\partial u}}=u}$

En presencia de ondas de choque, se requiere un término de disipación para ecuaciones hiperbólicas no lineales como esta. Esto se hace para mantener la solución bajo control y asegurar su convergencia.

${\displaystyle D=-\varepsilon _ {e}(u_ {i+2}^{n}-4u_ {i+1}^{n}+6u_ {i}^{n}-4u_ {i-1}^{n}+u_ {i-2}^{n})}$

Este término se agrega explícitamente en el nivel${\displaystyle n}$a la derecha. Esto se utiliza siempre para cálculos exitosos donde se observan oscilaciones de alta frecuencia y deben suprimirse.

Si solo se requiere la solución estable, entonces en la ecuación del lado derecho se agrega un término de suavizado de segundo orden en la capa implícita. El otro término en la misma ecuación puede ser de segundo orden porque no tiene influencia en la solución estable si

${\displaystyle \nabla ^{n}(U)=0}$

La adición del término de suavizado aumenta en tres el número de pasos necesarios.

Este esquema se produce combinando la fórmula trapezoidal, la linealización, la factorización, la diferenciación espacial de Padt, la propiedad homogénea de los vectores de flujo (cuando corresponda) y la diferenciación espacial híbrida, y es el más adecuado para sistemas no lineales en forma de ley de conservación. El algoritmo ADI mantiene el orden de precisión y la propiedad de estado estacionario al tiempo que reduce el ancho de banda del sistema de ecuaciones. ^{[ 5 ]} La estabilidad de la ecuación es

${\displaystyle L^{2}}$-estable bajo CFL  :${\displaystyle |a|\,\Delta t\leq 2\,\Delta x}$

El orden del error de truncamiento es

${\displaystyle O((\Delta t)^{2}+(\Delta x)^{2})}$

El resultado es suave, con un considerable sobreimpulso (que no aumenta mucho con el tiempo).