Forma de conservación

La forma de conservación o forma euleriana se refiere a una disposición de una ecuación o sistema de ecuaciones , generalmente un sistema hiperbólico , que enfatiza que una propiedad representada se conserva; es decir, un tipo de ecuación de continuidad . El término se usa habitualmente en el contexto de la mecánica de medios continuos .

Las ecuaciones en forma de conservación toman la forma $${\displaystyle {\frac {\partial \xi }{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {f} (\xi )=0}$$ para cualquier cantidad conservada${\displaystyle \xi }$, con una función adecuada${\displaystyle \mathbf {f} }$Una ecuación de esta forma puede transformarse en una ecuación integral .$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{V}\xi ~dV=-\oint _{\partial V}\mathbf {f} (\xi )\cdot {\hat {\mathbf {n} }}~dS}$$ utilizando el teorema de la divergencia . La ecuación integral establece que la tasa de cambio de la integral de la cantidad${\displaystyle \xi }$sobre un volumen de control arbitrario${\displaystyle V}$viene dado por el flujo${\displaystyle \mathbf {f} (\xi)}$a través del límite del volumen de control, con${\displaystyle {\sombrero {\mathbf {n} }}}$siendo la superficie exterior normal a través del límite.${\displaystyle \xi }$no se produce ni se consume dentro de${\displaystyle V}$y por lo tanto se conserva. Una elección típica para${\displaystyle \mathbf {f} }$es${\displaystyle \mathbf {f} (\xi )=\xi \mathbf {u} }$, con velocidad${\displaystyle \mathbf {u} }$, lo que significa que la cantidad${\displaystyle \xi }$Flujos con un campo de velocidad determinado.

La formulación integral de dichas ecuaciones suele ser la más natural desde el punto de vista físico, mientras que la ecuación diferencial surge de la diferenciación. Dado que la ecuación integral también puede tener soluciones no diferenciables, la igualdad entre ambas formulaciones puede romperse en algunos casos, lo que da lugar a soluciones débiles y graves dificultades numéricas en las simulaciones de dichas ecuaciones.

Un ejemplo de un conjunto de ecuaciones escritas en forma de conservación son las ecuaciones de Euler del flujo de fluidos: $${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0}$$$${\displaystyle {\frac {\partial \rho \mathbf {u} }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} +p\mathbf {I} )=0}$$$${\displaystyle {\frac {\partial E}{\partial t}}+\nabla \cdot (\mathbf {u} (E+pV))=0}$$

Cada una de ellas representa la conservación de la masa , el momento y la energía , respectivamente.

• Derecho de conservación
• Especificación lagrangiana y euleriana del campo de flujo

• Toro, EF (1999). Solucionadores de Riemann y métodos numéricos para la dinámica de fluidos . Springer-Verlag. ISBN 3-540-65966-8.
• Randall J. LeVeque: Métodos de volumen finito para problemas hiperbólicos. Cambridge University Press, Cambridge 2002, ISBN 0-521-00924-3( Textos de Cambridge en Matemáticas Aplicadas ).