Presión de apoyo

Hay dos maneras de obtener este resultado.

En primer lugar, podemos considerar un hemicilindro en un fluido, con una presión hidrostática uniforme . El equilibrio se alcanza cuando la fuerza resultante sobre la superficie plana es igual a la fuerza resultante sobre la superficie curva. La superficie plana es un rectángulo de dimensión D × L , por lo tanto

F = P × ( D × L )

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En segundo lugar, podemos integrar las fuerzas elementales de presión. Consideremos una pequeña superficie dS en la parte cilíndrica, paralela a una línea generatriz; su longitud es L y está delimitada por los ángulos θ y θ + dθ. Este pequeño elemento de superficie puede considerarse como un rectángulo plano cuyas dimensiones son L × (dθ × D /2). La fuerza de presión sobre la superficie es igual a

dF = P × dS = 1 / 2 × P × D × L × dθ​​

El plano ( y , z ) es un plano de simetría de reflexión, por lo que el componente x de esta fuerza se anula por la fuerza sobre el elemento de superficie simétrico. El componente y de esta fuerza es igual a:

d F _y = cos(θ) d F = ⁠ 1 / 2 ⁠ × cos(θ) × P × D × L × dθ.

La fuerza resultante es igual a

${\displaystyle F_{y}=\int _{-\pi /2}^{\pi /2}{\frac {1}{2}}\times P\times D\times L\times \cos(\theta )\times \mathrm {d} \theta ={\frac {1}{2}}\times P\times D\times L\times \left[\sin(\theta )\right]_{-\pi /2}^{\pi /2}=P\times D\times L}$

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Este cálculo es similar al caso de un recipiente cilíndrico bajo presión .

Relación entre presión, holgura y ángulo de contacto

La parte n.º 1 es el cilindro contenedor (hembra, cóncavo), la parte n.º 2 es el cilindro contenido (macho, convexo); el centro del cilindro i es O _i , y su radio es R _i .

La posición de referencia es una situación ideal donde ambos cilindros son concéntricos. La holgura, expresada como un radio (no como un diámetro), es:

j = R ₁ - R ₂ .

Bajo la carga, la parte 2 entra en contacto con la parte 1, y las superficies se deforman. Suponemos que el cilindro 2 es rígido (sin deformación) y que el cilindro 1 es un cuerpo elástico. La indentación de 2 en 1 tiene una profundidad de δ _max ; el movimiento del cilindro es e (excentricidad):

e = O ₁ O ₂ = j + δ _max .

Consideramos el sistema de referencia en el centro del cilindro 1 ( O ₁ , x , y ). Sea M un punto en la superficie de contacto; θ es el ángulo (- y , O ₁ M ). El desplazamiento de la superficie, δ, es:

δ(θ) = O ₁ M - R ₁ .

con δ(0) = δ _max . Las coordenadas de M son:

METRO (( R ₁ + δ(θ)⋅sen θ)  ; -( R ₁ + δ(θ))⋅cos θ)

y las coordenadas de O ₂ :

O ₂ (0  ; - e ).

Consideremos el sistema de coordenadas ( _O1 , _u , v ) , donde el eje u es ( O1M ) . En este sistema de coordenadas, las coordenadas son :

M ( R ₁ + δ(θ)  ; 0)

O ₂ ( mi ⋅cos θ  ; - mi ⋅sin θ )

Sabemos que

${\displaystyle {\overrightarrow {O_{1}M}}={\overrightarrow {O_{1}O_{2}}}+{\overrightarrow {O_{2}M}}}$

de este modo

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}R_{1}+\delta (\theta )&=&e\cdot \cos \theta +R_{2}\cos \varphi \\0&=&-e\cdot \sin \theta +R_{2}\sin \varphi \end{aligned}}\right.}$

Luego usamos la expresión de e y R ₁ = j + R ₂ :

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}j+R_{2}+\delta (\theta )&=&(j+\delta _{\max })\cdot \cos \theta +R_{2}\cos \varphi \\0&=&-(j+\delta _{\max })\cdot \sin \theta +R_{2}\sin \varphi \end{aligned}}\right.}$

Las deformaciones son pequeñas, ya que estamos en el dominio elástico. Por lo tanto, δ _max ≪ R ₁ y por consiguiente |φ| ≪ 1, es decir

cos φ ≃ 1

sen φ ≃ φ (en radianes )

de este modo

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}(j+\delta _{\max })\cdot \cos \theta +R_{2}-(j+R_{2}+\delta (\theta ))&=&0\\(j+\delta _{\max })\cdot \sin \theta -R_{2}\cdot \varphi &=&0\end{aligned}}\right.}$

y

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}(j+\delta _{\max })\cdot \cos \theta -j-\delta (\theta )&=&0\\(j+\delta _{\max })\cdot \sin \theta -R_{2}\cdot \varphi &=&0\end{aligned}}\right.}$

En θ = θ ₀ , δ(0) = 0 y la primera ecuación es

${\displaystyle (j+\delta _{\max })\cdot \cos \theta _{0}-j=0\Rightarrow \delta _{\max }={\frac {j(1-\cos \theta _{0})}{\cos \theta _{0}}}\Leftrightarrow \cos \theta _{0}={\frac {j}{j+\delta _{\max }}}}$

y por lo tanto

${\displaystyle \left(j+{\frac {j(1-\cos \theta _{0})}{\cos \theta _{0}}}\right)\cdot \cos \theta -j-\delta (\theta )=0}$

${\displaystyle \Longrightarrow \delta (\theta )=j\left({\frac {\cos \theta }{\cos \theta _{0}}}-1\right)}$[1] .

Si utilizamos la ley de elasticidad para un metal (α = 1):

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}P(\theta )&=&K\cdot j\left({\frac {\cos \theta }{\cos \theta _{0}}}-1\right)\\P_{\max }&=&K\cdot j\cdot {\frac {1-\cos \theta _{0}}{\cos \theta _{0}}}\end{aligned}}\right.}$[2]

La presión es una función afín de cos θ:

P(θ) = A ⋅cos θ - B

con A = K ⋅ j /cos θ ₀ y B = A ⋅cos θ ₀ .

Caso en el que se puede omitir la autorización

Si j ≃ 0 (R ₁ ≃ R ₂ ), entonces el contacto se da en todo el semiperímetro: 2θ ₀ ≃ π y cos θ ₀ ≃ 0. El valor de 1/cos θ ₀ tiende a infinito, por lo tanto

${\displaystyle \delta (\theta )\simeq j{\frac {\cos \theta }{\cos \theta _{0}}}}$

Como j y cos θ ₀ tienden a 0, la razón j /cos θ ₀ no está definida cuando j tiende a 0. En ingeniería mecánica, j = 0 es un ajuste incierto, es un sinsentido, tanto matemática como mecánicamente. Buscamos una función límite.

${\displaystyle P_{\pi /2}(\theta )=\lim _{\theta _{0}\to \pi /2}P_{\theta _{0}}(\theta )}$.

Por lo tanto, la presión es una función sinusoidal de θ:

${\displaystyle P(\theta )=K\cdot {\frac {j}{\cos \theta _{0}}}\cdot \cos \theta }$

de este modo

P (θ) = P _max ⋅cos θ

con

${\displaystyle P_{\max }=K\cdot {\frac {j}{\cos \theta _{0}}}}$.

Consideremos un elemento infinitesimal de la superficie d S delimitado por θ y θ + dθ. Como en el caso de la presión uniforme, tenemos

d F _y (θ) = cos(θ)d F = ⁠ 1 / 2 ⁠ × cos(θ) × P (θ) × D × L × dθ = ⁠ 1 / 2 ⁠ × cos ² (θ) × P _max × D × L × dθ.

Cuando integramos entre -π/2 y π/2, el resultado es:

${\displaystyle F=\int _{-\pi /2}^{\pi /2}\mathrm {d} F_{y}(\theta )\mathrm {d} \theta ={\frac {1}{2}}P_{\max }DL\int _{-\pi /2}^{\pi /2}\cos ^{2}\theta \mathrm {d} \theta }$

Sabemos que (por ejemplo, usando la fórmula de Euler ):

${\displaystyle \int _{-\pi /2}^{\pi /2}\cos ^{2}\theta \mathrm {d} \theta ={\frac {1}{4}}\left[2\theta +\sin 2\theta \right]_{-\pi /2}^{\pi /2}={\frac {1}{2}}\left[\theta +\sin \theta \cos \theta \right]_{-\pi /2}^{\pi /2}={\frac {\pi }{2}}}$

por lo tanto

${\displaystyle F={\frac {\pi }{4}}P_{\max }DL}$

y por lo tanto

${\displaystyle P_{\max }={\frac {4}{\pi }}{\frac {F}{DL}}}$

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Caso en el que no se puede descuidar la limpieza

La fuerza sobre un elemento infinitesimal de la superficie es:

d F (θ) = P (θ)d S = K δ(θ)d S = ⁠ 1 / 2 ⁠ × K × j × cos θ/cos θ ₀ - 1) × d S

${\displaystyle \mathrm {d} F_{y}={\frac {Kj}{2}}\left({\frac {\cos \theta }{\cos \theta _{0}}}-1\right)DL\cos \theta \mathrm {d} \theta }$

${\displaystyle F={\frac {KjDL}{2}}\int _{-\theta _{0}}^{\theta _{0}}\left({\frac {\cos ^{2}\theta }{\cos \theta _{0}}}-\cos \theta \right)\mathrm {d} \theta ={\frac {KjDL}{2}}\left[{\frac {\theta +\sin \theta \cos \theta }{2\cos \theta _{0}}}-\sin \theta \right]_{-\theta _{0}}^{\theta _{0}}}$

de este modo

${\displaystyle F={\frac {KjDL}{2}}\left({\frac {2\theta _{0}+2\sin \theta _{0}\cos \theta _{0}}{2\cos \theta _{0}}}-2\sin \theta _{0}\right)={\frac {KjDL}{2}}\left({\frac {\theta _{0}-\sin \theta _{0}\cos \theta _{0}}{\cos \theta _{0}}}\right)}$.

Reconocemos la identidad trigonométrica sen 2θ = 2 sen θ cos θ  :

${\displaystyle F={\frac {KjDL}{4\cos \theta _{0}}}(2\theta _{0}-\sin 2\theta _{0})}$

de este modo

${\displaystyle K={\frac {4F\cos \theta _{0}}{jDL(2\theta _{0}-\sin 2\theta _{0})}}}$

y por lo tanto:

${\displaystyle P_{\max }=Kj{\frac {1-\cos \theta _{0}}{\cos \theta _{0}}}={\frac {4F}{DL}}\times {\frac {1-\cos \theta _{0}}{2\theta _{0}-\sin 2\theta _{0}}}}$

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