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Convergencia de Wijsman

La convergencia de Wijsman es una variación de la convergencia de Hausdorff adecuada para trabajar con conjuntos no acotados . Intuitivamente, la convergencia de Wijsman es a la...

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La convergencia de Wijsman es una variación de la convergencia de Hausdorff adecuada para trabajar con conjuntos no acotados . Intuitivamente, la convergencia de Wijsman es a la convergencia en la métrica de Hausdorff como la convergencia puntual es a la convergencia uniforme .

Historia

La convergencia fue definida por Robert Wijsman . [ 1 ] La misma definición fue utilizada anteriormente por Zdeněk Frolík . [ 2 ] Aún antes, Hausdorff en su libro Grundzüge der Mengenlehre definió los llamados límites cerrados ; para espacios métricos propios es lo mismo que la convergencia de Wijsman.

Definición

Sea ( X , d ) un espacio métrico y sea Cl( X ) la colección de todos los subconjuntos d- cerrados de X . Para un punto x ∈ X y un conjunto A ∈ Cl( X ), se establece     

d(incógnita,A)=infa∈Ad(incógnita,a).{\displaystyle d(x,A)=\inf _{a\in A}d(x,a).}

Se dice que una sucesión (o red ) de conjuntos A i  ∈  Cl( X ) converge en el sentido de Wijsman a A  ∈  Cl( X ) si, para cada x  ∈ X , 

d(incógnita,Ai)→d(incógnita,A).{\displaystyle d(x,A_{i})\to d(x,A).}

La convergencia de Wijsman induce una topología en Cl( X ), conocida como la topología de Wijsman .

Propiedades

  • La topología de Wijsman depende en gran medida de la métrica d . Incluso si dos métricas son uniformemente equivalentes, pueden generar topologías de Wijsman diferentes.
  • Teorema de Beer : si ( X , d ) es un espacio métrico completo y separable , entonces Cl( X ) con la topología de Wijsman es un espacio polaco , es decir, es separable y metrizable con una métrica completa. 
  • Cl( X ) con la topología de Wijsman es siempre un espacio de Tychonoff . Además, se tiene el teorema de Levi-Lechicki : ( X , d ) es separable si y solo si Cl( X ) es metrizable, primeramente numerable o segundamente numerable . 
  • Si la convergencia puntual de Wijsman se reemplaza por una convergencia uniforme (uniformemente en x ), entonces se obtiene la convergencia de Hausdorff, donde la métrica de Hausdorff viene dada por
dH(A,B)=sorberincógnita∈incógnita|d(incógnita,A)−d(incógnita,B)|.{\displaystyle d_{\mathrm {H} }(A,B)=\sup _{x\in X}{\big |}d(x,A)-d(x,B){\big |}.}
Las topologías de Hausdorff y Wijsman en Cl( X ) coinciden si y solo si ( X , d ) es un espacio totalmente acotado . 

Véase también

Referencias

Notas
  1. ↑ Wijsman, Robert A. (1966). "Convergencia de secuencias de conjuntos convexos, conos y funciones. II" . Trans. Amer. Math. Soc . 123 (1). American Mathematical Society: 32– 45. doi : 10.2307/1994611 . JSTOR 1994611 . MR 0196599 
  2. ^ Z. Frolík, Sobre la convergencia topológica de conjuntos, Checoskovak Math. J. 10 (1960), 168–180
Bibliografía
  • Beer, Gerald (1993). Topologías en conjuntos cerrados y convexos cerrados . Matemáticas y sus aplicaciones 268. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group. pp.  xii+340. ISBN 0-7923-2531-1.MR 1269778 
  • Beer, Gerald (1994). "Convergencia de Wijsman: una revisión". Set-Valued Anal . 2 ( 1–2 ): 77–94 . doi : 10.1007/BF01027094 .MR 1285822