Convergencia de Kuratowski

En matemáticas , la convergencia de Kuratowski o convergencia de Painlevé-Kuratowski es una noción de convergencia para subconjuntos de un espacio topológico . Introducido por primera vez por Paul Painlevé en conferencias sobre análisis matemático en 1902, ^{[ 1 ]} el concepto fue popularizado en textos de Felix Hausdorff ^{[ 2 ]} y Kazimierz Kuratowski . ^{[ 3 ]} Intuitivamente, el límite de Kuratowski de una sucesión de conjuntos es donde los conjuntos " se acumulan ".

Definiciones

Para una secuencia dada $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ de puntos en un espacio $X$ , un punto límite de la secuencia puede entenderse como cualquier punto $x\in X$ donde la secuencia eventualmente se vuelve arbitrariamente cercana a $x$ . Por otro lado, un punto de agrupación de la secuencia puede pensarse como un punto $x\in X$ donde la secuencia frecuentemente se vuelve arbitrariamente cercana a $x$ Los límites inferiores y superiores de Kuratowski generalizan esta intuición de límites y puntos de agrupación a subconjuntos del espacio dado. $X$ .

Espacios métricos

Dejar $(X,d)$ sea un espacio métrico , donde $X$ es un conjunto dado. Para cualquier punto $x$ y cualquier subconjunto no vacío $A\subset X$ , define la distancia entre el punto y el subconjunto:

d(x,A):=\inf _{y\in A}d(x,y),\qquad x\in X.

Para cualquier secuencia de subconjuntos $\{A_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ de $X$ , el límite inferior de Kuratowski (o límite cerrado inferior ) de $A_{n}$ como $n\to \infty$ ; es ${\begin{aligned}\mathop {\mathrm {Li} } A_{n}:=&\left\{x\in X:{\begin{matrix}{\mbox{para todos los entornos abiertos }}U{\mbox{ de }}x,U\cap A_{n}\neq \varnothing {\mbox{ para }}n suficientemente grande\end{matrix}}\right\}\\=&\left\{x\in X:\limsup _{n\to \infty }d(x,A_{n})=0\right\};\end{aligned}}$ el límite superior de Kuratowski (o límite superior cerrado ) de $A_{n}$ como $n\to \infty$ ; es ${\begin{aligned}\mathop {\mathrm {Ls} } A_{n}:=&\left\{x\in X:{\begin{matrix}{\mbox{para todos los entornos abiertos }}U{\mbox{ de }}x,U\cap A_{n}\neq \varnothing {\mbox{ para infinitos }}n\end{matrix}}\right\}\\=&\left\{x\in X:\liminf _{n\to \infty }d(x,A_{n})=0\right\};\end{aligned}}$ Si los límites de Kuratowski inferior y superior coinciden, entonces el conjunto común se llama límite de Kuratowski de $A_{n}$ y se denota $\mathop {\mathrm {Lim} } _{n\to \infty }A_{n}$ .

Espacios topológicos

Si ${\textstyle (X,\tau )}$ es un espacio topológico y ${\textstyle \{A_{i}\}_{i\in I}}$ son una red de subconjuntos de ${\textstyle X}$ , los límites inferior y superior siguen una construcción similar. Para un punto dado ${\textstyle x\in X}$ denotar ${\textstyle {\mathcal {N}}(x)}$ la colección de vecindarios abiertos de ${\textstyle x}$ . El límite inferior de Kuratowski de ${\textstyle \{A_{i}\}_{i\in I}}$ es el conjunto $\mathop {\mathrm {Li} } A_{i}:=\left\{x\in X:\forall U\in {\mathcal {N}}(x)\,\exists i_{0}\in I\colon \forall i\geq i_{0}\Rightarrow U\cap A_{i}\neq \varnothing \right\},$ y el límite superior de Kuratowski es el conjunto $\mathop {\mathrm {Ls} } A_{i}:=\left\{x\in X:\forall U\in {\mathcal {N}}(x)\,\forall i_{0}\in I\,\exists i\geq i_{0}\colon U\cap A_{i}\neq \varnothing \right\}.$ Elementos de ${\textstyle \mathop {\mathrm {Li} } A_{i}}$ se denominan puntos límite de ${\textstyle \{A_{i}\}_{i\in I}}$ y elementos de ${\textstyle \mathop {\mathrm {Ls} } A_{i}}$ se denominan puntos de agrupación de ${\textstyle \{A_{i}\}_{i\in I}}$ . En otras palabras, $x$ es un punto límite de ${\textstyle \{A_{i}\}_{i\in I}}$ si cada uno de sus vecindarios se interseca $A_{i}$ a pesar de $i$ en un subconjunto "residual" de $I$ , mientras $x$ es un punto de agrupación de ${\textstyle \{A_{i}\}_{i\in I}}$ si cada uno de sus vecindarios se interseca $A_{i}$ a pesar de $i$ en un subconjunto cofinal de $I$ .

Cuando estos conjuntos coinciden, el conjunto común es el límite de Kuratowski de ${\textstyle \{A_{i}\}_{i\in I}}$ , denotado $\matop {\mathrm {Lim} } A_ {i}$ .

Ejemplos

Suponer $(X,d)$ es separable donde $X$ es un conjunto perfecto , y deja $D=\{d_{1},d_{2},\dots \}$ ser una enumeración de un subconjunto denso contable de $X$ . Luego la secuencia $\{A_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ definido por $A_{n}:=\{d_{1},d_{2},\dots ,d_{n}\}$ tiene $\matop {\mathrm {Lim} } A_ {n}=X$ .
Dados dos subconjuntos cerrados $B,C\subset X$ , definiendo $A_{2n-1}:=B$ y $A_{2n}:=C$ para cada $n=1,2,\dots$ rendimientos $\matop {\mathrm {Li} } A_ {n}=B\cap C$ y $\mathop {\mathrm {Ls} } A_{n}=B\cup C$ .
La secuencia de bolas cerradas $A_{n}:=\{y\in X:d(x_{n},y)\leq r_{n}\}$ converge en el sentido de Kuratowski cuando $x_{n}\to x$ en $X$ y $r_{n}\to r$ en $[0,+\infty )$ y en particular, $\matop {\mathrm {Lim} } (A_ {n})=\{y\in X:d(x,y)\leq r\}$ . Si $r_{n}\to +\infty$ , entonces $\matop {\mathrm {Lim} } A_ {n}=X$ mientras $\matop {\mathrm {Lim} } (X\setminus A_{n})=\emptyset$ .
Dejar ${\textstyle A_{n}:=\{x\in \mathbb {R}$ . Entonces $A_{n}$ converge, en el sentido de Kuratowski, con toda la línea.
En un espacio vectorial topológico , si $\{A_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ es una secuencia de conos , entonces también lo son los límites de Kuratowski superior e inferior. Por ejemplo, los conjuntos $A_{n}:=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:y\geq n|x|\}$ converger a $\{(0,y)\in \mathbb {R} ^{2}:y\geq 0\}$ .

Propiedades

Las siguientes propiedades se cumplen para los límites inferior y superior tanto en el contexto métrico como en el topológico, pero se enuncian en la formulación métrica para facilitar la lectura. ^{[ 4 ]}

Ambos $\mathop {\mathrm {Li} } A_{n}$ y $\mathop {\mathrm {Ls} } A_{n}$ son subconjuntos cerrados de $X$ , y $\mathop {\mathrm {Li} } A_{n}\subset \mathop {\mathrm {Ls} } A_{n}$ Siempre se mantiene.
Los límites superior e inferior no distinguen entre conjuntos y sus clausuras : $\mathop {\mathrm {Li} } A_{n}=\mathop {\mathrm {Li} } \mathop {\mathrm {cl} } (A_{n})$ y $\mathop {\mathrm {Ls} } A_{n}=\mathop {\mathrm {Ls} } \mathop {\mathrm {cl} } (A_{n})$ .
Si $A_{n}:=A$ es una secuencia constante, entonces $\mathop {\mathrm {Lim} } A_{n}=\mathop {\mathrm {cl} } A$ .
Si $A_{n}:=\{x_{n}\}$ es una secuencia de singletons, entonces $\mathop {\mathrm {Li} } A_{n}$ y $\mathop {\mathrm {Ls} } A_{n}$ consisten en los puntos límite y los puntos de agrupación, respectivamente, de la secuencia $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }\subset X$ .
Si $A_{n}\subset B_{n}\subset C_{n}$ y $B:=\mathop {\mathrm {Lim} } A_{n}=\mathop {\mathrm {Lim} } C_{n}$ , entonces $\mathop {\mathrm {Lim} } B_{n}=B$ .
( Criterios de acierto y error ) Para un subconjunto cerrado $A\subset X$ $A\subset X$ , uno tiene
- $A\subset \mathop {\mathrm {Li} } A_{n}$ , si y solo si para cada conjunto abierto $U\subset X$ con $A\cap U\neq \emptyset$ existe $n_{0}$ de tal manera que $A_{n}\cap U\neq \emptyset$ a pesar de $n_{0}\leq n$ ,
- $\mathop {\mathrm {Ls} } A_{n}\subset A$ , si y solo si para cada conjunto compacto $K\subset X$ con $A\cap K=\emptyset$ existe $n_{0}$ de tal manera que $A_{n}\cap K=\emptyset$ a pesar de $n_{0}\leq n$ .
Si $A_{1}\subset A_{2}\subset A_{3}\subset \cdots$ entonces existe el límite de Kuratowski y ${\textstyle \mathop {\mathrm {Lim} } A_{n}=\mathop {\mathrm {cl} } \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)}$ . Por el contrario, si $A_{1}\supset A_{2}\supset A_{3}\supset \cdots$ entonces existe el límite de Kuratowski y ${\textstyle \mathop {\mathrm {Lim} } A_{n}=\bigcap _{n=1}^{\infty }\mathop {\mathrm {cl} } (A_{n})}$ .
Si $d_{H}$ denota la métrica de Hausdorff , entonces $d_{H}(A_{n},A)\to 0$ implica $\mathop {\mathrm {cl} } A=\mathop {\mathrm {Lim} } A_{n}$ Sin embargo, los conjuntos cerrados no compactos pueden converger en el sentido de Kuratowski, mientras que $d_{H}(A_{n},\mathop {\mathrm {Lim} } A_{n})=+\infty$ para cada $n=1,2,\dots$ ^{[ 5 ]}
La convergencia en el sentido de Kuratowski es más débil que la convergencia en el sentido de Vietoris , pero equivalente a la convergencia en el sentido de Fell. Si $X$ Si es compacto, entonces todos estos son equivalentes y coinciden con la convergencia en la métrica de Hausdorff.

Continuidad de Kuratowski de funciones multivaluadas

Dejar $S:X\rightrightarrows Y$ ser una función de valores de conjunto entre los espacios $X$ y $Y$ ; es decir, $S(x)\in Y$ a pesar de $x\in X$ . Denotar $S^{-1}(y)=\{x\in X:y\in S(x)\}$ Podemos definir los operadores ${\begin{aligned}\mathop {\mathrm {Li} } _{x'\to x}S(x'):=&\bigcap _{x'\to x}\mathop {\mathrm {Li} } S(x'),\qquad x\in X\\\mathop {\mathrm {Ls} } _{x'\to x}S(x'):=&\bigcup _{x'\to x}\mathop {\mathrm {Ls} } S(x'),\qquad x\in X\\\end{aligned}}$ dónde $x'\to x$ significa convergencia en secuencias cuando $X$ es metrizable y converge en redes en caso contrario. Entonces,

$S$ es semicontinuo interior en $x\in X$ si ${\textstyle S(x)\subset \mathop {\mathrm {Li} } _{x'\to x}S(x')}$ ;
$S$ es semicontinuo exterior en $x\in X$ si ${\textstyle \mathop {\mathrm {Ls} } _{x'\to x}S(x')\subset S(x)}$ .

Cuando $S$ es semicontinuo tanto interno como externo en $x\in X$ , decimos que $S$ es continuo (o continuo en el sentido de Kuratowski ).

La continuidad de las funciones multivaluadas se define comúnmente en términos de hemicontinuidad inferior y superior, popularizada por Berge . ^{[ 6 ]} En este sentido, una función multivaluada es continua si y solo si la función $f_{S}:X\to 2^{Y}$ definido por $f(x)=S(x)$ es continua con respecto a la topología del hiperespacio de Vietoris de $2^{Y}$ Para funciones multivaluadas con valores cerrados, la continuidad en el sentido de Vietoris-Berge es más fuerte que la continuidad en el sentido de Kuratowski.

Ejemplos

La función de valores de conjunto $B(x,r)=\{y\in X:d(x,y)\leq r\}$ es continuo $X\times [0,+\infty )\rightrightarrows X$ .
Dada una función $f:X\to [-\infty ,+\infty ]$ , el mapeo de conjuntos de supernivel $S_{f}(x):=\{\lambda \in \mathbb {R} :f(x)\leq \lambda \}$ es semicontinuo exterior en $x$ , si y solo si $f$ es semicontinuo inferior en $x$ . Similarmente, $S_{f}$ es semicontinuo interior en $x$ , si y solo si $f$ es semicontinuo superior en $x$ .

Propiedades

Si $S$ es continuo en $x$ , entonces $S(x)$ Está cerrado.
$S$ es semicontinuo exterior en $x$ , si y solo si para cada $y\notin S(x)$ hay barrios $V\in {\mathcal {N}}(y)$ y $U\in {\mathcal {N}}(x)$ de tal manera que $U\cap S^{-1}(V)=\emptyset$ .
$S$ es semicontinuo interior en $x$ , si y solo si para cada $y\in S(x)$ y vecindario $V\in {\mathcal {N}}(y)$ Hay un vecindario $U\in {\mathcal {N}}(x)$ de tal manera que $V\cap S(x')\neq \emptyset$ a pesar de $x'\in U$ .
$S$ es (globalmente) semicontinua exteriormente, si y solo si su gráfica $\{(x,y)\in X\times Y:y\in S(x)\}$ Está cerrado.
( Relaciones con la continuidad de Vietoris-Berge ). Supongamos que $S(x)$ $S(x)$ Está cerrado.
- $S$ es semicontinuo interior en $x$ , si y solo si $S$ es hemicontinua inferior en $x$ en el sentido de Vietoris-Berge.
- Si $S$ es hemicontinua superior en $x$ , entonces $S$ es semicontinuo exterior en $x$ . Lo contrario es falso en general, pero se cumple cuando $Y$ es un espacio compacto.
Si $S:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ tiene una gráfica convexa, entonces $S$ es semicontinuo interior en cada punto del interior del dominio de $S$ . Por el contrario, dada cualquier función semicontinua interna con valores de conjunto $S$ , el mapeo de la envoltura convexa $T(x):=\mathop {\mathrm {conv} } S(x)$ También es semicontinuo interno.

Epiconvergencia y Γ-convergencia

Para el espacio métrico $(X,d)$ una secuencia de funciones $f_{n}:X\to [-\infty ,+\infty ]$ , el límite epi-inferior (o límite epi-inferior ) es la función $\mathop {\mathrm {e} \liminf } f_{n}$ definido por la ecuación del epígrafe $\mathop {\mathrm {epi} } \left(\mathop {\mathrm {e} \liminf } f_{n}\right):=\mathop {\mathrm {Ls} } \left(\mathop {\mathrm {epi} } f_{n}\right),$ y de manera similar el epi-límite superior (o epi-límite superior ) es la función $\mathop {\mathrm {e} \limsup } f_{n}$ definido por la ecuación del epígrafe $\mathop {\mathrm {epi} } \left(\mathop {\mathrm {e} \limsup } f_{n}\right):=\mathop {\mathrm {Li} } \left(\mathop {\mathrm {epi} } f_{n}\right).$ Dado que los límites superior e inferior de Kuratowski son conjuntos cerrados, se deduce que ambos $\mathop {\mathrm {e} \liminf } f_{n}$ y $\mathop {\mathrm {e} \limsup } f_{n}$ son funciones semicontinuas inferiores . De manera similar, dado que $\mathop {\mathrm {Li} } \mathop {\mathrm {epi} } f_{n}\subset \mathop {\mathrm {Ls} } \mathop {\mathrm {epi} } f_{n}$ De ello se deduce que $\mathop {\mathrm {e} \liminf } f_{n}\leq \mathop {\mathrm {e} \liminf } f_{n}$ uniformemente. Estas funciones coinciden, si y solo si $\mathop {\mathrm {Lim} } \mathop {\mathrm {epi} } f_{n}$ existe, y la función asociada se llama epi-límite de $\{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ .

Cuando $(X,\tau )$ es un espacio topológico, epiconvergencia de la secuencia $\{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ se denomina Γ-convergencia. Desde la perspectiva de la convergencia de Kuratowski no existe distinción entre epilímites y Γ-límites. Los conceptos se suelen estudiar por separado, porque la epiconvergencia admite caracterizaciones especiales que dependen de la estructura del espacio métrico de $X$ , lo cual no se cumple en espacios topológicos en general.

Véase también

Límite de la teoría de conjuntos
Lema de Borel-Cantelli , pero tenga en cuenta que los límites de la teoría de conjuntos y los límites de Kuratowski no coinciden.
Convergencia de Wijsman
distancia de Hausdorff
Hemicontinuidad
Topología de Vietoris
Epiconvergencia
Convergencia gamma

Notas

↑ Esto se menciona en la sección de comentarios del capítulo 4 del texto de Rockafellar y Wets.
^ Hausdorff, Félix (1927). Mengenlehre (en alemán) (2ª ed.). Berlín: Walter de Gruyter & Co.
↑ Kuratowski, Kazimierz (1933). Topología, I y II (en francés). Varsovia: Panstowowe Wyd Nauk.
↑ El lector interesado puede consultar el texto de Beer, en particular el Capítulo 5, Sección 2, para obtener estos y otros resultados más técnicos en el contexto topológico. Para espacios euclidianos, Rockafellar y Wets presentan resultados similares en el Capítulo 4.
↑ Como ejemplo, considere la secuencia de conos de la sección anterior.
↑ Rockafellar y Wets escriben en el Comentario al Capítulo 6 de su texto: "La terminología de semicontinuidad 'interna' y 'externa', en lugar de 'inferior' y 'superior', nos ha sido impuesta por el hecho de que la definición predominante de 'semicontinuidad superior' en la literatura está desfasada con los desarrollos en convergencia de conjuntos y el alcance de las aplicaciones que deben manejarse, ahora que las aplicaciones $S$ con rango ilimitado e incluso conjuntos de valores ilimitados $S(x)$ son tan importantes... A pesar de la justificación histórica, ya no se puede cambiar el significado de "semicontinuidad superior", pero el concepto de "continuidad" es demasiado crucial para las aplicaciones como para dejarlo en la forma poco útil que se basa en una propiedad tan desafortunadamente restrictiva [de semicontinuidad superior]"; véanse las páginas 192-193. Nótese también que los autores difieren en si "semicontinuidad" o "hemicontinuidad" es el lenguaje preferido para los conceptos de continuidad de Vietoris-Berge.

Referencias

Beer, Gerald (1993). Topologías en conjuntos cerrados y convexos cerrados . Matemáticas y sus aplicaciones. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group. pp. xii+340.

Kuratowski, Kazimierz (1966). Topología. Volúmenes I y II . Nueva edición, revisada y ampliada. Traducido del francés por J. Jaworowski. Nueva York: Academic Press. pp. xx+560.MR 0217751
Rockafellar, R. Tyrrell; Wets, Roger J.-B. (1998). Análisis variacional . Berlín. ISBN 978-3-642-02431-3OCLC 883392544 {{cite book}}: CS1 mantenimiento: falta el editor de ubicación ( enlace )

[:0-1] Esto se menciona en la sección de comentarios del capítulo 4 del texto de Rockafellar y Wets.

[2] Hausdorff, Félix (1927). Mengenlehre (en alemán) (2ª ed.). Berlín: Walter de Gruyter & Co.

[3] Kuratowski, Kazimierz (1933). Topología, I y II (en francés). Varsovia: Panstowowe Wyd Nauk.

[4] El lector interesado puede consultar el texto de Beer, en particular el Capítulo 5, Sección 2, para obtener estos y otros resultados más técnicos en el contexto topológico. Para espacios euclidianos, Rockafellar y Wets presentan resultados similares en el Capítulo 4.

[5] Como ejemplo, considere la secuencia de conos de la sección anterior.

[6] Rockafellar y Wets escriben en el Comentario al Capítulo 6 de su texto: "La terminología de semicontinuidad 'interna' y 'externa', en lugar de 'inferior' y 'superior', nos ha sido impuesta por el hecho de que la definición predominante de 'semicontinuidad superior' en la literatura está desfasada con los desarrollos en convergencia de conjuntos y el alcance de las aplicaciones que deben manejarse, ahora que las aplicaciones $S$ con rango ilimitado e incluso conjuntos de valores ilimitados $S(x)$ son tan importantes... A pesar de la justificación histórica, ya no se puede cambiar el significado de "semicontinuidad superior", pero el concepto de "continuidad" es demasiado crucial para las aplicaciones como para dejarlo en la forma poco útil que se basa en una propiedad tan desafortunadamente restrictiva [de semicontinuidad superior]"; véanse las páginas 192-193. Nótese también que los autores difieren en si "semicontinuidad" o "hemicontinuidad" es el lenguaje preferido para los conceptos de continuidad de Vietoris-Berge.

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