Valores especiales de las funciones L

En matemáticas , el estudio de los valores especiales de las funciones L es un subcampo de la teoría de números dedicado a generalizar fórmulas como la fórmula de Leibniz para π , a saber: $${\displaystyle 1\,-\,{\frac {1}{3}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,-\,{\frac {1}{7}}\,+\,{\frac {1}{9}}\,-\,\cdots \;=\;{\frac {\pi }{4}},\!}$$

por el reconocimiento de que la expresión del lado izquierdo también es${\displaystyle L(1)}$dónde${\displaystyle L(s)}$es la función L de Dirichlet para el campo de los números racionales gaussianos . Esta fórmula es un caso especial de la fórmula analítica del número de clase , y en esos términos se lee que el campo gaussiano tiene número de clase 1. El factor${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$En el lado derecho de la fórmula corresponde al hecho de que este campo contiene cuatro raíces de la unidad .

Hay dos familias de conjeturas, formuladas para clases generales de funciones L (el contexto más general es el de las funciones L asociadas a motivos de Chow sobre cuerpos numéricos ), cuya división en dos refleja las preguntas de:

1. cómo reemplazar${\displaystyle \pi }$en la fórmula de Leibniz por algún otro número "trascendental" (independientemente de si actualmente es posible que la teoría de los números trascendentales proporcione una prueba de la trascendencia); y
2. cómo generalizar el factor racional en la fórmula (número de clase dividido por el número de raíces de la unidad) mediante alguna construcción algebraica de un número racional que represente la razón del valor de la función L al factor "trascendental".

Se proporcionan explicaciones subsidiarias para los valores enteros de${\displaystyle n}$para las cuales fórmulas de este tipo que involucran${\displaystyle L(n)}$Se puede esperar que se mantenga.

Las conjeturas para (a) se llaman conjeturas de Beilinson , por Alexander Beilinson . ^{[ 1 ] [ 2 ]} La idea es abstraer del regulador de un cuerpo numérico a algún "regulador superior" (el regulador de Beilinson ), un determinante construido en un espacio vectorial real que proviene de la K-teoría algebraica .

Las conjeturas para (b) se llaman conjeturas de Bloch-Kato para valores especiales (por Spencer Bloch y Kazuya Kato ; este círculo de ideas es distinto de la conjetura de Bloch-Kato de la teoría K, que extiende la conjetura de Milnor , cuya demostración se anunció en 2009). También se las llama conjetura del número de Tamagawa , un nombre que surge a través de la conjetura de Birch-Swinnerton-Dyer y su formulación como un análogo de curva elíptica del problema del número de Tamagawa para grupos algebraicos lineales . ^{[ 3 ]} En una extensión posterior, se ha formulado la conjetura del número de Tamagawa equivariante (ETNC), para consolidar la conexión de estas ideas con la teoría de Iwasawa y su llamada Conjetura Principal .

• Conjetura de Brumer-Stark

• Kings, Guido (2003), "La conjetura de Bloch-Kato sobre valores especiales de las funciones L. Una revisión de los resultados conocidos" , Journal de théorie des nombres de Bordeaux , 15 (1): 179–198 , doi : 10.5802/jtnb.396 , ISSN 1246-7405 , MR 2019010  
• "Conjeturas de Beilinson" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• "Functor K en geometría algebraica" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Mathar, Richard J. (2010), "Tabla de series L de Dirichlet y funciones zeta módulo primo para módulos pequeños", arXiv : 1008.2547 [ math.NT ]

• L-funktionen und die Vermutingen von Deligne und Beilinson (Funciones L y conjeturas de Deligne y Beilsnson)