poliedro flexible

En geometría , un poliedro flexible es una superficie poliédrica sin aristas de contorno, cuya forma puede modificarse continuamente manteniendo inalteradas las formas de todas sus caras. El teorema de rigidez de Cauchy demuestra que, en dimensión  3, dicho poliedro no puede ser convexo (esto también se cumple en dimensiones superiores).

Uno de los octaedros de Bricard con un antiparalelogramo como ecuador.

El poliedro de Steffen es el poliedro flexible no autocruzado más simple posible.

Caleidociclo , un poliedro flexible que puede girar continuamente alrededor de un eje en el anillo.

Los primeros ejemplos de poliedros flexibles fueron descubiertos por Raoul Bricard ( 1897 ) , llamados octaedros de Bricard . Son superficies autointersecantes isométricas a un octaedro regular . El primer ejemplo de una superficie flexible no autointersecante en el espacio euclidiano tridimensional ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$La esfera de Connelly fue descubierta por Robert Connelly ( 1977 ) . 

El poliedro de Steffen es otro poliedro flexible sin autointersecciones con nueve vértices derivado de los octaedros de Bricard. ^{[ 1 ]} Se afirma que tiene el menor número de vértices entre todos los poliedros flexibles, aunque existe otro poliedro con ocho vértices que se obtiene al combinar dos octaedros de Bricard para formar una bipirámide pentagonal flexible con autointersecciones . ^{[ 2 ]}

El caleidociclo o (flextangle) es otro ejemplo de poliedro flexible, construido mediante la conexión de seis disfenoides tetragonales en aristas opuestas formando un ciclo. Este poliedro puede girar continuamente alrededor de un eje en el anillo. ^{[ 3 ]}

A finales de la década de 1970, Connelly y D. Sullivan formularon la conjetura del fuelle, que establece que el volumen de un poliedro flexible es invariante bajo flexión. Esta conjetura fue demostrada para poliedros homeomorfos a una esfera por I. Kh. Sabitov ( 1995 ) utilizando la teoría de eliminación , y luego demostrada para superficies poliédricas bidimensionales orientables generales por Robert Connelly, I. Sabitov y Anke Walz ( 1997 ) . ^{[ 4 ] [ 5 ]} La demostración extiende la fórmula de Piero della Francesca para el volumen de un tetraedro a una fórmula para el volumen de cualquier poliedro. La fórmula extendida muestra que el volumen debe ser una raíz de un polinomio cuyos coeficientes dependen solo de las longitudes de las aristas del poliedro. Dado que las longitudes de las aristas no pueden cambiar a medida que el poliedro se flexiona, el volumen debe permanecer en una de las raíces finitas del polinomio, en lugar de cambiar continuamente. ^{[ 6 ]}  

Connelly conjeturó que el invariante de Dehn de un poliedro flexible es invariante bajo flexión. Esto se conoció como la conjetura del fuelle fuerte o (después de que se demostrara en 2018) el teorema del fuelle fuerte . ^{[ 7 ]} Debido a que todas las configuraciones de un poliedro flexible tienen el mismo volumen y el mismo invariante de Dehn, son congruentes entre sí, lo que significa que para cualesquiera dos de estas configuraciones es posible diseccionar una de ellas en piezas poliédricas que pueden volver a ensamblarse para formar la otra. La curvatura media total de un poliedro flexible, definida como la suma de los productos de las longitudes de las aristas con los ángulos diedros exteriores, es una función del invariante de Dehn que también se sabe que permanece constante mientras un poliedro se flexiona. ^{[ 8 ]}

Hellmuth Stachel ( 2000 ) estudió los 4-politopos flexibles en el espacio euclidiano de 4 dimensiones y el espacio hiperbólico de 3 dimensiones . ^{[ 9 ]} En dimensiones ${\displaystyle n\geq 5}$, los politopos flexibles fueron construidos por Gaifullin (2014) . ^{[ 10 ]}

• Flexágono
• poliedro de Kokotsakis
• Origami rígido

• Weisstein, Eric W. , " Poliedro flexible " (" Conjetura de Bellows ") en MathWorld .