Axiomas de Huzita-Hatori

Dados dos puntos p ₁ y p ₂ , existe un único pliegue que pasa por ambos.

En forma paramétrica, la ecuación de la recta que pasa por los dos puntos es  :

${\displaystyle F(s)=p_{1}+s(p_{2}-p_{1}).}$

Dados dos puntos p ₁ y p ₂ , existe un único pliegue que coloca p ₁ sobre p ₂ .

Esto equivale a hallar la mediatriz del segmento de recta p ₁ p _2. Esto se puede hacer en cuatro pasos:

• Utilice el Axioma 1 para encontrar la línea que pasa por p ₁ y p ₂ , dada por${\displaystyle P(s)=p_{1}+s(p_{2}-p_{1})}$
• Encuentra el punto medio de p _mid de P ( s )
• Halla el vector v ^{perpendicular} a P ( s ).
• La ecuación paramétrica del pliegue es entonces:

${\displaystyle F(s)=p_{\mathrm {mid} }+s\cdot \mathbf {v} ^{\mathrm {perp} }.}$

Dadas dos líneas l ₁ y l ₂ , existe un pliegue que coloca l ₁ sobre l ₂ .

Esto equivale a hallar la bisectriz del ángulo entre l ₁ y l _2. Sean p ₁ y p ₂ dos puntos cualesquiera en l ₁ , y sean q ₁ y q ₂ dos puntos cualesquiera en l _2. Además, sean u y v los vectores unitarios directores de l ₁ y l ₂ , respectivamente; es decir:

${\displaystyle \mathbf {u} =(p_{2}-p_{1})/\left|(p_{2}-p_{1})\right|}$

${\displaystyle \mathbf {v} =(q_{2}-q_{1})/\left|(q_{2}-q_{1})\right|.}$

Si las dos líneas no son paralelas, su punto de intersección es:

${\displaystyle p_{\mathrm {int} }=p_{1}+s_{\mathrm {int} }\cdot \mathbf {u} }$

dónde

${\displaystyle s_{int}=-{\frac {\mathbf {v} ^{\perp }\cdot (p_{1}-q_{1})}{\mathbf {v} ^{\perp }\cdot \mathbf {u} }}.}$

La dirección de una de las bisectrices es entonces:

${\displaystyle \mathbf {w} ={\frac {\left|\mathbf {u} \right|\mathbf {v} +\left|\mathbf {v} \right|\mathbf {u} }{\left|\mathbf {u} \right|+\left|\mathbf {v} \right|}}.}$

Y la ecuación paramétrica del pliegue es:

${\displaystyle F(s)=p_{\mathrm {int} }+s\cdot \mathbf {w} .}$

Existe también una segunda bisectriz, perpendicular a la primera y que pasa por p _int . Al doblar a lo largo de esta segunda bisectriz, se logra el resultado deseado de colocar l ₁ sobre l _2. Dependiendo de la ubicación del punto de intersección, puede que no sea posible realizar uno u otro de estos pliegues.

Si las dos líneas son paralelas, no tienen ningún punto de intersección. El pliegue debe ser la línea que se encuentra a medio camino entre l ₁ y l ₂ y que es paralela a ellas.

Dado un punto p ₁ y una línea l ₁ , existe un único pliegue perpendicular a l ₁ que pasa por el punto p ₁ .

Esto equivale a encontrar una perpendicular a l ₁ que pase por p ₁ . Si encontramos algún vector v que sea perpendicular a la línea l ₁ , entonces la ecuación paramétrica del pliegue es:

${\displaystyle F(s)=p_{1}+s\cdot \mathbf {v} .}$

Dados dos puntos p ₁ y p ₂ y una línea l ₁ , hay un pliegue que coloca p ₁ sobre l ₁ y pasa por p ₂ .

Este axioma equivale a hallar la intersección de una recta con una circunferencia, por lo que puede tener 0, 1 o 2 soluciones. La recta se define por _{l₁ y} la circunferencia tiene su centro en _{p₂ y un radio igual a la distancia entre p₂ y p₁} . Si la recta _no interseca la circunferencia, no hay soluciones. Si la recta es tangente a la circunferencia, hay una solución, y si la recta la interseca en dos puntos, hay dos soluciones .

Si conocemos dos puntos en la recta, ( x1, y1) y (x2, y2 ) _, entonces la recta se _{puede expresar} paramétricamente como _:

${\displaystyle x=x_{1}+s(x_{2}-x_{1})}$

${\displaystyle y=y_{1}+s(y_{2}-y_{1}).}$

Sea el círculo definido por su centro en p ₂ =( x _c , y _c ), con radio${\displaystyle r=\left|p_{1}-p_{2}\right|}$Entonces, el círculo se puede expresar como:

${\displaystyle (x-x_{c})^{2}+(y-y_{c})^{2}=r^{2}.}$

Para determinar los puntos de intersección de la recta con el círculo, sustituimos las componentes x e y de las ecuaciones de la recta en la ecuación del círculo, obteniendo:

${\displaystyle (x_{1}+s(x_{2}-x_{1})-x_{c})^{2}+(y_{1}+s(y_{2}-y_{1})-y_{c})^{2}=r^{2}.}$

O, simplificado:

${\displaystyle as^{2}+bs+c=0}$

dónde:

${\displaystyle a=(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$

${\displaystyle b=2(x_{2}-x_{1})(x_{1}-x_{c})+2(y_{2}-y_{1})(y_{1}-y_{c})}$

${\displaystyle c=x_{c}^{2}+y_{c}^{2}+x_{1}^{2}+y_{1}^{2}-2(x_{c}x_{1}+y_{c}y_{1})-r^{2}.}$

Luego, simplemente resolvemos la ecuación cuadrática:

${\displaystyle {\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}$

Si el discriminante b² ⁻ 4ac < 0, no hay soluciones. La circunferencia no interseca ni toca la recta. Si el discriminante es igual a 0, entonces hay una única solución, donde la recta es tangente a la circunferencia. Y si el discriminante es mayor que 0, hay dos soluciones, que representan los dos puntos de intersección. Llamemos a las soluciones  d₁ y d₂ , si existen. Tenemos 0, 1 o 2 segmentos de _{recta :} 

${\displaystyle m_{1}={\overline {p_{1}d_{1}}}}$

${\displaystyle m_{2}={\overline {p_{1}d_{2}}}.}$

Un pliegue F ₁ ( s ) perpendicular a m ₁ que pasa por su punto medio colocará p ₁ sobre la línea en la posición d ₁ . De manera similar, un pliegue F ₂ ( s ) perpendicular a m ₂ que pasa por su punto medio colocará p ₁ sobre la línea en la posición d ₂ . La aplicación del Axioma 2 logra esto fácilmente. Por lo tanto, las ecuaciones paramétricas de los pliegues son:

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{1}(s)&=p_{1}+{\frac {1}{2}}(d_{1}-p_{1})+s(d_{1}-p_{1})^{\perp }\\[8pt]F_{2}(s)&=p_{1}+{\frac {1}{2}}(d_{2}-p_{1})+s(d_{2}-p_{1})^{\perp }.\end{aligned}}}$

Dados dos puntos p ₁ y p ₂ y dos líneas l ₁ y l ₂ , existe un pliegue que coloca p ₁ sobre l ₁ y p ₂ sobre l ₂ .

Este axioma equivale a hallar una recta tangente simultáneamente a dos parábolas, y puede considerarse equivalente a resolver una ecuación de tercer grado, ya que en general existen tres soluciones. Las dos parábolas tienen focos en p₁ y p₂ , respectivamente _{, y sus} directrices están definidas por l₁ y _l₂ , respectivamente .

Este pliegue se llama pliegue de Beloch en honor a Margharita P. Beloch , quien en 1936 demostró, mediante su uso, que el origami puede utilizarse para resolver ecuaciones cúbicas generales. ^{[ 2 ]}

Dado un punto p y dos líneas l ₁ y l ₂ que no son paralelas, existe un pliegue que coloca p sobre l ₁ y es perpendicular a l ₂ .

Este axioma fue descubierto originalmente por Jacques Justin en 1989, pero pasó desapercibido y fue redescubierto por Koshiro Hatori en 2002. ^{[ 3 ]} Robert J. Lang ha demostrado que esta lista de axiomas completa los axiomas del origami. ^{[ 4 ]}