Número construible

En geometría y álgebra , un número real${\displaystyle r}$es construible si y solo si, dado un segmento de línea de longitud unitaria, un segmento de línea de longitud${\displaystyle |r|}$se puede construir con compás y regla en un número finito de pasos. De manera equivalente,${\displaystyle r}$es construible si y solo si existe una expresión de forma cerrada para${\displaystyle r}$utilizando únicamente números enteros y las operaciones de suma, resta, multiplicación, división y raíces cuadradas .

La definición geométrica de números construibles motiva una definición correspondiente de puntos construibles , que a su vez pueden describirse geométrica o algebraicamente. Un punto es construible si puede producirse como uno de los puntos de una construcción con regla y compás (un extremo de un segmento de línea o un punto de intersección de dos líneas o círculos), partiendo de un segmento dado de longitud unitaria. De forma alternativa y equivalente, tomando los dos extremos del segmento dado como los puntos (0, 0) y (1, 0) de un sistema de coordenadas cartesianas , un punto es construible si y solo si sus coordenadas cartesianas son números construibles. ^{[ 1 ]} Los números y puntos construibles también se han denominado números de regla y compás y puntos de regla y compás , para distinguirlos de los números y puntos que pueden construirse mediante otros procesos. ^{[ 2 ]}

El conjunto de números construibles forma un cuerpo : al aplicar cualquiera de las cuatro operaciones aritméticas básicas a los miembros de este conjunto se obtiene otro número construible. Este cuerpo es una extensión del cuerpo de los números racionales y, a su vez, está contenido en el cuerpo de los números algebraicos . ^{[ 3 ]} Es la clausura euclidiana de los números racionales , la extensión de cuerpo más pequeña de los racionales que incluye las raíces cuadradas de todos sus números positivos. ^{[ 4 ]}

La demostración de la equivalencia entre las definiciones algebraica y geométrica de los números construibles transforma cuestiones geométricas sobre construcciones con regla y compás en problemas algebraicos , incluyendo varios problemas famosos de las matemáticas griegas antiguas . La formulación algebraica de estas cuestiones condujo a demostraciones de que sus soluciones no son construibles, después de que la formulación geométrica de los mismos problemas resistiera siglos de intentos.

Si${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$Si las longitudes de los segmentos construidos geométricamente no son cero, entonces se pueden utilizar construcciones elementales con compás y regla para obtener segmentos construidos de longitudes.${\displaystyle a+b}$,${\displaystyle |ab|}$,${\displaystyle ab}$, y${\displaystyle a/b}$Los dos últimos se pueden realizar con una construcción basada en el teorema de la intersección . Una construcción ligeramente menos elemental que utiliza estas herramientas se basa en el teorema de la media geométrica y construirá un segmento de longitud${\displaystyle {\sqrt {a}}}$a partir de un segmento construido de longitud${\displaystyle a}$De ello se deduce que todo número construible algebraicamente es construible geométricamente, utilizando estas técnicas para traducir una fórmula para el número en una construcción para el número. ^{[ 16 ]}

Construcciones con compás y regla para números construibles

${\displaystyle ab}$basado en el teorema de la intersección

${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$basado en el teorema de la intersección

${\displaystyle {\sqrt {p}}}$basado en el teorema de la media geométrica

En la otra dirección, un conjunto de objetos geométricos puede especificarse mediante números reales construibles algebraicamente: coordenadas para puntos, pendiente y${\displaystyle y}$-intersección para líneas, y centro y radio para círculos. Es posible (aunque tedioso) desarrollar fórmulas en términos de estos valores, utilizando únicamente aritmética y raíces cuadradas, para cada objeto adicional que pueda agregarse en un solo paso de una construcción con regla y compás. De estas fórmulas se deduce que todo número geométricamente construible es algebraicamente construible. ^{[ 17 ]}

La definición de números algebraicamente construibles incluye la suma, la diferencia, el producto y el inverso multiplicativo de cualquiera de estos números, las mismas operaciones que definen un cuerpo en álgebra abstracta . Por lo tanto, los números construibles (definidos de cualquiera de las formas anteriores) forman un cuerpo. Más específicamente, los números reales construibles forman un cuerpo euclidiano ordenado , un cuerpo ordenado que contiene la raíz cuadrada de cada uno de sus elementos positivos. ^{[ 18 ]} El examen de las propiedades de este cuerpo y sus subcuerpos conduce a condiciones necesarias para que un número sea construible, las cuales pueden usarse para demostrar que ciertos números que surgen en problemas clásicos de construcción geométrica no son construibles.

Es conveniente considerar, en lugar de todo el campo de los números construibles, el subcampo${\displaystyle \mathbb {Q} (\gamma )}$generado por cualquier número construible dado${\displaystyle \gamma }$y utilizar la construcción algebraica de${\displaystyle \gamma }$para descomponer este campo. Si${\displaystyle \gamma }$Si un número real es construible, entonces los valores que aparecen dentro de una fórmula que lo construye pueden usarse para producir una secuencia finita de números reales.${\displaystyle \alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}=\gamma }$de tal manera que, para cada${\displaystyle i}$,${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha _{1},\dots ,\alpha _{i})}$es una extensión de${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha _{1},\dots ,\alpha _{i-1})}$de grado 2. ^{[ 19 ]} Usando una terminología ligeramente diferente, un número real es construible si y solo si se encuentra en un cuerpo en la parte superior de una torre finita de extensiones cuadráticas reales , $${\displaystyle \mathbb {Q} =K_{0}\subseteq K_{1}\subseteq \dots \subseteq K_{n},}$$ comenzando con el campo racional${\displaystyle \mathbb {Q} }$dónde${\displaystyle \gamma }$está en${\displaystyle K_{n}}$y para todos${\displaystyle 0<j\leq n}$,${\displaystyle [K_{j}:K_{j-1}]=2}$. ^{[ 20 ]} De esta descomposición se deduce que el grado de extensión del campo${\displaystyle [\mathbb {Q} (\gamma ):\mathbb {Q} ]}$es${\displaystyle 2^{r}}$, dónde${\displaystyle r}$cuenta el número de pasos de extensión cuadrática. ^{[ 21 ]}

Análogamente al caso real, un número complejo es construible si y solo si se encuentra en un cuerpo en la cima de una torre finita de extensiones cuadráticas complejas. ^{[ 22 ]} Más precisamente,${\displaystyle \gamma }$es construible si y solo si existe una torre de campos $${\displaystyle \mathbb {Q} =F_{0}\subseteq F_{1}\subseteq \dots \subseteq F_{n},}$$ dónde${\displaystyle \gamma }$está en${\displaystyle F_{n}}$y para todos${\displaystyle 0<j\leq n}$,${\displaystyle [F_{j}:F_{j-1}]=2}$La diferencia entre esta caracterización y la de los números reales construibles radica únicamente en que los campos de esta torre no están restringidos a ser reales. En consecuencia, si un número complejo${\displaystyle \gamma }$es construible, entonces la caracterización anterior implica que${\displaystyle [\mathbb {Q} (\gamma ):\mathbb {Q} ]}$es una potencia de dos. Sin embargo, esta condición no es suficiente: existen extensiones de cuerpos cuyo grado es una potencia de dos, pero que no pueden factorizarse en una secuencia de extensiones cuadráticas. ^{[ 23 ]}

Para obtener una condición suficiente para la constructibilidad, se debe considerar en cambio el campo de división.${\displaystyle K=\mathbb {Q} (\gamma ,\gamma ',\gamma '',\dots )}$obtenido al adjuntar todas las raíces del polinomio mínimo de${\displaystyle \gamma }$. Si el grado de esta extensión es una potencia de dos, entonces su grupo de Galois${\displaystyle G=\mathrm {Gal} (K/\mathbb {Q} )}$es un 2-grupo y, por lo tanto, admite una secuencia descendente de subgrupos. $${\displaystyle G=G_{n}\supseteq G_{n-1}\supseteq \cdots \supseteq G_{0}=1,}$$ con${\displaystyle |G_{k}|=2^{k}}$para${\displaystyle 0\leq k\leq n.}$Según el teorema fundamental de la teoría de Galois , existe una torre correspondiente de extensiones cuadráticas. $${\displaystyle \mathbb {Q} =F_{0}\subseteq F_{1}\subseteq \dots \subseteq F_{n}=K,}$$ cuyo campo superior contiene${\displaystyle \gamma ,}$y de esto se deduce que${\displaystyle \gamma }$es construible.

Los campos que se pueden generar a partir de torres de extensiones cuadráticas de${\displaystyle \mathbb {Q} }$se denominan extensiones cuadráticas iteradas de${\displaystyle \mathbb {Q} }$. Los campos de números construibles reales y complejos son las uniones de todas las extensiones cuadráticas iteradas reales o complejas de${\displaystyle \mathbb {Q} }$. ^{[ 24 ]}

Los números trigonométricos son los cosenos o senos de ángulos que son múltiplos racionales de${\displaystyle \pi }$Estos números son siempre algebraicos, pero pueden no ser construibles. El coseno o el seno del ángulo${\displaystyle 2\pi /n}$es construible solo para ciertos números especiales${\displaystyle n}$: ^{[ 25 ]}

• Las potencias de dos
• Los primos de Fermat , números primos que son uno más una potencia de dos.
• Los productos de potencias de dos y cualquier número de primos de Fermat distintos.

Así, por ejemplo,${\displaystyle \cos(\pi /15)}$es construible porque 15 es el producto de los primos de Fermat 3 y 5; pero${\displaystyle \cos(\pi /9)}$no es construible (al no ser el producto de primos de Fermat distintos ) y tampoco lo es${\displaystyle \cos(\pi /7)}$(al no ser un número primo de Fermat).

Un cubo y su doble

Un ángulo y su trisección

Círculo y cuadrado con áreas iguales

Los antiguos griegos pensaban que ciertos problemas de construcción con regla y compás que no podían resolver eran simplemente obstinados, no irresolubles. ^{[ 26 ]} Sin embargo, la imposibilidad de construir ciertos números demuestra que estas construcciones son lógicamente imposibles de realizar. ^{[ 27 ]} (Los problemas en sí mismos, sin embargo, se pueden resolver utilizando métodos que van más allá de la restricción de trabajar solo con regla y compás, y los griegos sabían cómo resolverlos de esta manera. Un ejemplo de ello es la solución de Arquímedes mediante la construcción de la Neusis para el problema de la trisección de ángulos ). ^{[ 28 ]}

En particular, la formulación algebraica de los números construibles conduce a una demostración de la imposibilidad de los siguientes problemas de construcción:

Duplicar el cubo

El problema de duplicar el cuadrado unitario se resuelve mediante la construcción de otro cuadrado en la diagonal del primero, con lado de longitud${\displaystyle {\sqrt {2}}}$y área${\displaystyle 2}$. De forma análoga, el problema de duplicar el cubo pide la construcción de la longitud${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$del lado de un cubo con volumen${\displaystyle 2}$. No es construible, porque el polinomio mínimo de esta longitud,${\displaystyle x^{3}-2}$, tiene grado 3 sobre${\displaystyle \mathbb {Q} }$. ^{[ 29 ]} Como polinomio cúbico cuya única raíz real es irracional, este polinomio debe ser irreducible, porque si tuviera una raíz real cuadrática, entonces el conjugado cuadrático proporcionaría una segunda raíz real. ^{[ 30 ]}

Trisección angular

En este problema, desde un ángulo dado${\displaystyle \theta }$, uno debería construir un ángulo${\displaystyle \theta /3}$Algebraicamente, los ángulos se pueden representar mediante sus funciones trigonométricas , como sus senos o cosenos , que dan las coordenadas cartesianas del extremo de un segmento de línea que forma el ángulo dado con el segmento inicial. Por lo tanto, un ángulo${\displaystyle \theta }$es construible cuando${\displaystyle x=\cos \theta }$es un número construible, y el problema de trisecar el ángulo se puede formular como uno de construcción.${\displaystyle \cos({\tfrac {1}{3}}\arccos x)}$. Por ejemplo, el ángulo${\displaystyle \theta =\pi /3=60^{\circ }}$de un triángulo equilátero se puede construir con compás y regla, con${\displaystyle x=\cos \theta ={\tfrac {1}{2}}}$Sin embargo, su trisección${\displaystyle \theta /3=\pi /9=20^{\circ }}$no se puede construir, porque${\displaystyle \cos \pi /9}$tiene polinomio mínimo${\displaystyle 8x^{3}-6x-1}$de grado 3 sobre${\displaystyle \mathbb {Q} }$. Dado que este caso específico del problema de la trisección no puede resolverse con regla y compás, el problema general tampoco puede resolverse. ^{[ 31 ]}

Cuadrar el círculo

Un cuadrado con área${\displaystyle \pi }$, la misma área que un círculo unitario , tendría lado de longitud${\displaystyle {\sqrt {\pi }}}$, un número trascendental . Por lo tanto, este cuadrado y la longitud de su lado no son construibles, porque no es algebraico sobre${\displaystyle \mathbb {Q} }$. ^{[ 32 ]}

Polígonos regulares

Si un regular${\displaystyle n}$El polígono se construye con su centro en el origen, los ángulos entre los segmentos desde el centro a vértices consecutivos son${\displaystyle 2\pi /n}$El polígono solo se puede construir cuando el coseno de este ángulo es un número trigonométrico. Así, por ejemplo, un polígono de 15 lados es construible, pero el heptágono regular no lo es, porque 7 es primo pero no un primo de Fermat. ^{[ 33 ]} Para una prueba más directa de su no construibilidad, representemos los vértices de un heptágono regular como las raíces complejas del polinomio.${\displaystyle x^{7}-1}$. Eliminando el factor${\displaystyle x-1}$, dividiendo por${\displaystyle x^{3}}$y sustituyendo${\displaystyle y=x+1/x}$da el polinomio más simple${\displaystyle y^{3}+y^{2}-2y-1}$, una cúbica irreducible con tres raíces reales, cada una dos veces la parte real de un vértice de número complejo. Sus raíces no son construibles, por lo que el heptágono tampoco lo es. ^{[ 34 ]}

El problema de Alhazen

Si se dan dos puntos y un espejo circular, ¿en qué punto del círculo ve uno de los puntos dados la imagen reflejada del otro? Geométricamente, las líneas que van desde cada punto dado hasta el punto de reflexión intersecan el círculo en ángulos iguales y en cuerdas de igual longitud. Sin embargo, es imposible construir un punto de reflexión usando un compás y una regla. En particular, para un círculo unitario con los dos puntos${\displaystyle ({\tfrac {1}{6}},{\tfrac {1}{6}})}$y${\displaystyle (-{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}})}$En su interior, la solución tiene coordenadas que forman las raíces de un polinomio irreducible de grado cuatro.${\displaystyle x^{4}-2x^{3}+4x^{2}+2x-1}$Aunque su grado es una potencia de dos, el cuerpo de descomposición de este polinomio tiene un grado divisible por tres, por lo que no proviene de una extensión cuadrática iterada y el problema de Alhazen no tiene solución mediante regla y compás. ^{[ 35 ]}

El nacimiento del concepto de números construibles está inextricablemente ligado a la historia de las tres construcciones imposibles con regla y compás: duplicar el cubo, trisecar un ángulo y cuadrar el círculo. La restricción de usar solo regla y compás en construcciones geométricas se atribuye a menudo a Platón debido a un pasaje de Plutarco . Según Plutarco, Platón le dio el problema de la duplicación del cubo (delio) a Eudoxo , Arquitas y Menaechmo , quienes resolvieron el problema usando medios mecánicos, ganándose una reprimenda de Platón por no resolver el problema usando geometría pura . ^{[ 36 ]} Sin embargo, esta atribución es cuestionada, ^{[ 37 ]} debido, en parte, a la existencia de otra versión de la historia (atribuida a Eratóstenes por Eutocio de Ascalón ) que dice que los tres encontraron soluciones, pero eran demasiado abstractas para tener valor práctico. ^{[ 38 ]} Proclo , citando a Eudemo de Rodas , atribuyó a Enópides ( c. 450 a. C.) dos construcciones con regla y compás, lo que llevó a algunos autores a hipotetizar que Enópides originó la restricción. ^{[ 39 ]} La restricción al compás y la regla es esencial para la imposibilidad de los problemas de construcción clásicos. La trisección de ángulos, por ejemplo, se puede realizar de muchas maneras, varias conocidas por los antiguos griegos. La Cuadratrix de Hipias de Elis , las cónicas de Menaechmo o la construcción con regla marcada ( neusis ) de Arquímedes se han utilizado, así como un enfoque más moderno mediante el plegado de papel . ^{[ 40 ]}

Aunque no es uno de los tres problemas clásicos de construcción, el problema de construir polígonos regulares con regla y compás a menudo se trata junto con ellos. Los griegos sabían cómo construir polígonos regulares.${\displaystyle n}$-gones con${\displaystyle n=2^{h}}$(para cualquier número entero)${\displaystyle h\geq 2}$), 3, 5, o el producto de dos o tres de estos números, pero otros regulares${\displaystyle n}$Los polígonos de 17 lados se les escapaban. En 1796, Carl Friedrich Gauss , entonces un estudiante de dieciocho años, anunció en un periódico que había construido un polígono regular de 17 lados con regla y compás. ^{[ 41 ]} El tratamiento de Gauss fue algebraico más que geométrico; de hecho, no construyó el polígono, sino que demostró que el coseno de un ángulo central era un número construible. El argumento se generalizó en su libro de 1801, Disquisitiones Arithmeticae, que proporciona la condición suficiente para la construcción de un polígono regular de 17 lados.${\displaystyle n}$-gon. Gauss afirmó, pero no demostró, que la condición también era necesaria y varios autores, en particular Felix Klein , ^{[ 42 ]} le atribuyeron también esta parte de la demostración. ^{[ 43 ]} El problema de Alhazen tampoco es uno de los tres problemas clásicos, pero a pesar de llevar el nombre de Ibn al-Haytham (Alhazen), un matemático islámico medieval , ya aparece en la obra de Ptolomeo sobre óptica del siglo II. ^{[ 21 ]}

Pierre Wantzel demostró algebraicamente que los problemas de duplicar el cubo y trisecar el ángulo son imposibles de resolver usando solo regla y compás. En el mismo artículo también resolvió el problema de determinar qué polígonos regulares son construibles: un polígono regular es construible si y solo si el número de sus lados es el producto de una potencia de dos y cualquier número de primos de Fermat distintos (es decir, también son necesarias las condiciones suficientes dadas por Gauss). ^{[ 44 ]} Un intento de demostración de la imposibilidad de cuadrar el círculo fue dado por James Gregory en Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura (La verdadera cuadratura del círculo y de la hipérbola) en 1667. Aunque su demostración fue defectuosa, fue el primer artículo en intentar resolver el problema usando propiedades algebraicas de π . No fue hasta 1882 que Ferdinand von Lindemann demostró rigurosamente su imposibilidad, extendiendo el trabajo de Charles Hermite y demostrando que π es un número trascendental . ^{[ 45 ] [ 46 ]} El problema de Alhazen no se demostró imposible de resolver con compás y regla hasta el trabajo de Jack Elkin. ^{[ 47 ]}

El estudio de los números construibles, propiamente dicho, fue iniciado por René Descartes en La Géométrie , un apéndice de su libro Discurso del método , publicado en 1637. Descartes asoció números a segmentos de línea geométricos para demostrar el poder de su método filosófico resolviendo un antiguo problema de construcción con regla y compás planteado por Pappus . ^{[ 48 ]}

• Número computable
• Número real definible

• Weisstein, Eric W. , "Número constructible" , MathWorld
• Números construibles en Cut-the-knot