La regla del Hospital

La regla de L'Hôpital ( / ˌ l oʊ p iː ˈ t ɑː l / loh-pee- TAHL ) es un teorema matemático que se utiliza para evaluar el límite de un cociente de dos funciones, cada una de las cuales tiende a cero o infinito, calculando la derivada de cada función . La regla recibe su nombre del matemático francés del siglo XVII Guillaume de l'Hôpital , quien la publicó en su libro de texto de 1696 tras aprenderla de su tutor, el matemático suizo Johann Bernoulli .

Para dos funciones${\displaystyle f}$y${\displaystyle g}$En la mayoría de los casos, el límite de su cociente puede evaluarse como el cociente de los límites:${\textstyle \lim _{x\to c}f(x)/g(x)={}}$${\textstyle \lim _{x\to c}f(x){\big /}\lim _{x\to c}g(x)}$. Sin embargo, si ambos límites tienden a cero (es decir,${\textstyle \lim _{x\to c}f(x)={}}$${\textstyle \lim _{x\to c}g(x)=0}$) o si ambos tienden al infinito, este método no se puede aplicar porque las " formas indeterminadas "${\displaystyle 0/0}$y​​${\displaystyle \infty /\infty }$⁠ no están bien definidos. La regla de L'Hôpital establece que en tales casos (suponiendo una derivada no nula en el denominador),$${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}},}$$donde​${\displaystyle f'}$y​​${\displaystyle g'}$son los derivados de${\displaystyle f}$y​​${\displaystyle g}$.​

La diferenciación del numerador y el denominador a menudo simplifica el cociente o lo convierte en un límite que puede evaluarse directamente mediante la continuidad .

Johann Bernoulli fue el descubridor original de este resultado para la forma indeterminada.${\displaystyle 0/0}$[ ^{1 ]} Se lo envió a Guillaume de l'Hôpital (también escrito l'Hospital ^{[ a ]} ​​) en una carta fechada el 22 de julio de 1694. ^{[ 2 ] Anteriormente} , durante su estancia en París, Bernoulli firmó un contrato con l'Hôpital, en el que se comprometía a enseñarle el nuevo cálculo, a informarle de sus propios descubrimientos matemáticos, que l'Hôpital podría utilizar a su antojo, y a abstenerse de compartir sus notas con otros. A cambio, l'Hôpital le pagaba a Bernoulli una asignación anual , lo que mejoró drásticamente la situación financiera de Bernoulli. ^{[ 2 ]} L'Hôpital publicó esta regla en su libro de 1696 Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes ( lit. ' Análisis de lo infinitamente pequeño para la comprensión de las líneas curvas ' ). ^{[ b ]} Su presentación original era geométrica y L'Hôpital mostró muchos de los mismos ejemplos utilizados por Bernoulli. ^{[ 2 ]} Como el primer libro de texto sobre cálculo diferencial que se imprimió, dominó gran parte del siglo XVIII y ayudó a popularizar las nuevas matemáticas en toda Europa. ^{[ 4 ]} El resultado original se extendió posteriormente; ahora se les conoce colectivamente como las reglas de L'Hôpital. ^{[ 5 ]}

La forma general de la regla de l'Hôpital abarca muchos casos.${\displaystyle c}$y${\displaystyle L}$ser números reales extendidos : números reales, así como infinito positivo y negativo. Sea${\displaystyle I}$ser un intervalo abierto que contiene${\displaystyle c}$(para un límite bilateral) o un intervalo abierto con punto final${\displaystyle c}$(para un límite unilateral , o un límite en el infinito si${\displaystyle c}$es infinito).

Suposición 1: En${\displaystyle I\setminus \{c\}}$, las funciones de valor real${\displaystyle f}$y${\displaystyle g}$son diferenciables con${\displaystyle g'(x)\neq 0}$.

Suposición 2:${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=L}$, un límite finito o infinito.

Si alguno de los dos

$${\displaystyle a)\lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0}$$

o

$${\displaystyle b)\lim _{x\to c}|f(x)|=\lim _{x\to c}|g(x)|=\infty ,}$$

entonces

$${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=L.}$$

Aunque hemos escrito${\displaystyle x\to c}$En todo momento, los límites también pueden ser límites unilaterales (${\displaystyle x\to c^{+}}$o${\displaystyle x\to c^{-}}$), cuando${\displaystyle c}$es un punto final finito de${\displaystyle I}$.

En el segundo caso b), la hipótesis de que${\displaystyle f}$Que diverja hasta el infinito no es necesario; de hecho, es suficiente que${\displaystyle \lim _{x\to c}|g(x)|=\infty .}$

La hipótesis de que${\displaystyle g'(x)\neq 0}$aparece con mayor frecuencia en la literatura, pero algunos autores eluden esta hipótesis agregando otras hipótesis que implican${\displaystyle g'(x)\neq 0}$Por ejemplo, se puede requerir en la definición del límite${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=L}$que la función${\displaystyle {\frac {f'(x)}{g'(x)}}}$debe definirse en todas partes en un intervalo${\displaystyle I\setminus \{c\}}$. ^{[ 6 ] [ c ]} Otro método consiste en exigir que ambos${\displaystyle f}$y${\displaystyle g}$ser diferenciable en todas partes en un intervalo que contiene${\displaystyle c}$. ^{[ 7 ]}

Se requieren las cuatro condiciones para la regla de l'Hôpital:

1. Indeterminación de la forma:${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0}$o${\displaystyle \pm \infty }$ ;
2. Diferenciabilidad de funciones:${\displaystyle f(x)}$y${\displaystyle g(x)}$son diferenciables en un intervalo abierto${\displaystyle I}$excepto posiblemente en el punto límite${\displaystyle c}$en${\displaystyle I}$;
3. Derivada no nula del denominador:${\displaystyle g'(x)\neq 0}$a pesar de${\displaystyle x}$en${\displaystyle I}$con${\displaystyle x\neq c}$;
4. Existencia de límite del cociente de las derivadas:${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}$existe.

Cuando no se cumple alguna de las condiciones anteriores, la regla de l'Hôpital no es válida en general, y su conclusión puede ser falsa en ciertos casos.

En los siguientes cálculos, cada aplicación de la regla de l'Hôpital se indica mediante el símbolo${\displaystyle {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}}$.

• Aquí tenemos un ejemplo básico que involucra la función exponencial, la cual tiene forma indeterminada.${\displaystyle {\frac {0}{0}}}$en${\displaystyle x=0}$:$${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-1}{x^{2}+x}}\ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ \lim _{x\to 0}{\frac {{\frac {d}{dx}}(e^{x}-1)}{{\frac {d}{dx}}(x^{2}+x)}}=\lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}}{2x+1}}=1.}$$
• Este es un ejemplo más elaborado que involucra${\displaystyle {\frac {0}{0}}}$Aplicar la regla de l'Hôpital una sola vez sigue dando como resultado una forma indeterminada. En este caso, el límite puede evaluarse aplicando la regla tres veces:$${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to 0}{\frac {2\sin(x)-\sin(2x)}{x-\sin(x)}}&\ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ \lim _{x\to 0}{\frac {2\cos(x)-2\cos(2x)}{1-\cos(x)}}\\[4pt]&\ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ \lim _{x\to 0}{\frac {-2\sin(x)+4\sin(2x)}{\sin(x)}}\\[4pt]&\ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ \lim _{x\to 0}{\frac {-2\cos(x)+8\cos(2x)}{\cos(x)}}={\frac {-2+8}{1}}=6.\end{aligned}}}$$
• Aquí hay un ejemplo que involucra${\displaystyle {\frac {\infty }{\infty }}}$:$${\displaystyle \lim _{x\to \infty }x^{n}\cdot e^{-x}=\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{n}}{e^{x}}}\ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ \lim _{x\to \infty }{\frac {nx^{n-1}}{e^{x}}}=n\cdot \lim _{x\to \infty }{\frac {x^{n-1}}{e^{x}}}.}$$Aplique repetidamente la regla de l'Hôpital hasta que el exponente sea cero (si${\displaystyle n}$es un número entero) o negativo (si${\displaystyle n}$es fraccionario) para concluir que el límite es cero.
• Aquí hay un ejemplo que involucra la forma indeterminada.${\displaystyle 0\cdot \infty }$(véase más abajo), que se reescribe como la forma${\displaystyle {\frac {\infty }{\infty }}}$:$${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x\ln x=\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {\ln x}{\frac {1}{x}}}\ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ \lim _{x\to 0^{+}}{\frac {\frac {1}{x}}{-{\frac {1}{x^{2}}}}}=\lim _{x\to 0^{+}}-x=0.}$$
• Aquí hay un ejemplo que involucra la fórmula de pago de la hipoteca y${\displaystyle {\frac {0}{0}}}$. Dejar${\displaystyle P}$sea ​​el capital (monto del préstamo),${\displaystyle r}$la tasa de interés por período y${\displaystyle n}$el número de períodos. Cuando${\displaystyle r}$es cero, el monto de reembolso por período es${\displaystyle {\frac {P}{n}}}$(ya que solo se está reembolsando el capital); esto es coherente con la fórmula para tasas de interés distintas de cero:$${\displaystyle \lim _{r\to 0}{\frac {Pr(1+r)^{n}}{(1+r)^{n}-1}}\ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ P\lim _{r\to 0}{\frac {(1+r)^{n}+rn(1+r)^{n-1}}{n(1+r)^{n-1}}}={\frac {P}{n}}.}$$
• También se puede utilizar la regla de l'Hôpital para demostrar el siguiente teorema. Si${\displaystyle f}$es dos veces diferenciable en un entorno de${\displaystyle x}$y su segunda derivada es continua en este vecindario, entonces$${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}{h^{2}}}&=\lim _{h\to 0}{\frac {f'(x+h)-f'(x-h)}{2h}}\\[4pt]&=\lim _{h\to 0}{\frac {f''(x+h)+f''(x-h)}{2}}\\[4pt]&=f''(x).\end{aligned}}}$$
• A veces, la regla de l'Hôpital se invoca de una manera engañosa: supongamos que${\displaystyle f(x)+f'(x)}$converge como${\displaystyle x\to \infty }$y eso${\displaystyle e^{x}\cdot f(x)}$converge a infinito positivo o negativo. Entonces:$${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=\lim _{x\to \infty }{\frac {e^{x}\cdot f(x)}{e^{x}}}\ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ \lim _{x\to \infty }{\frac {e^{x}{\bigl (}f(x)+f'(x){\bigr )}}{e^{x}}}=\lim _{x\to \infty }{\bigl (}f(x)+f'(x){\bigr )},}$$y entonces,${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)}$existe y${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f'(x)=0.}$(Este resultado sigue siendo cierto sin la hipótesis añadida de que${\displaystyle e^{x}\cdot f(x)}$converge a infinito positivo o negativo, pero la justificación queda entonces incompleta.

En ocasiones, la regla de L'Hôpital no se reduce a un límite obvio en un número finito de pasos, a menos que se apliquen algunas simplificaciones intermedias. Algunos ejemplos son los siguientes:

• Dos aplicaciones pueden conducir a un retorno a la expresión original que debía evaluarse:

$${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}\ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ \lim _{x\to \infty }{\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}\ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ \lim _{x\to \infty }{\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}\ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ \cdots .}$$Esta situación se puede solucionar mediante la sustitución${\displaystyle y=e^{x}}$y observando que${\displaystyle y}$va al infinito como${\displaystyle x}$va al infinito; con esta sustitución, este problema se puede resolver con una sola aplicación de la regla:

$${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}=\lim _{y\to \infty }{\frac {y+y^{-1}}{y-y^{-1}}}\ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ \lim _{y\to \infty }{\frac {1-y^{-2}}{1+y^{-2}}}={\frac {1}{1}}=1.}$$

Alternativamente, tanto el numerador como el denominador pueden multiplicarse por${\displaystyle e^{x},}$En ese momento, la regla de L'Hôpital puede aplicarse inmediatamente con éxito.

$${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}\ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ \lim _{x\to \infty }{\frac {2e^{2x}}{2e^{2x}}}=1.}$$

• Un número arbitrariamente grande de aplicaciones puede que nunca conduzca a una respuesta, incluso sin repetirlas:

$${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {x^{\frac {1}{2}}+x^{-{\frac {1}{2}}}}{x^{\frac {1}{2}}-x^{-{\frac {1}{2}}}}}\ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ \lim _{x\to \infty }{\frac {{\frac {1}{2}}x^{-{\frac {1}{2}}}-{\frac {1}{2}}x^{-{\frac {3}{2}}}}{{\frac {1}{2}}x^{-{\frac {1}{2}}}+{\frac {1}{2}}x^{-{\frac {3}{2}}}}}\ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ \lim _{x\to \infty }{\frac {-{\frac {1}{4}}x^{-{\frac {3}{2}}}+{\frac {3}{4}}x^{-{\frac {5}{2}}}}{-{\frac {1}{4}}x^{-{\frac {3}{2}}}-{\frac {3}{4}}x^{-{\frac {5}{2}}}}}\ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ \cdots .}$$

Esta situación también puede ser tratada mediante una transformación de variables, en este caso${\displaystyle y={\sqrt {x}}}$:

$${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {x^{\frac {1}{2}}+x^{-{\frac {1}{2}}}}{x^{\frac {1}{2}}-x^{-{\frac {1}{2}}}}}=\lim _{y\to \infty }{\frac {y+y^{-1}}{y-y^{-1}}}\ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ \lim _{y\to \infty }{\frac {1-y^{-2}}{1+y^{-2}}}={\frac {1}{1}}=1.}$$

Nuevamente, un enfoque alternativo es multiplicar el numerador y el denominador por${\displaystyle x^{1/2}}$antes de aplicar la regla de L'Hôpital:

$${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {x^{\frac {1}{2}}+x^{-{\frac {1}{2}}}}{x^{\frac {1}{2}}-x^{-{\frac {1}{2}}}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {x+1}{x-1}}\ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ \lim _{x\to \infty }{\frac {1}{1}}=1.}$$

Una falacia lógica común consiste en utilizar la regla de L'Hôpital para demostrar el valor de una derivada calculando el límite de un cociente de diferencias . Dado que la aplicación de L'Hôpital requiere conocer las derivadas relevantes, esto equivale a un razonamiento circular o petición de principio , al asumir lo que se pretende demostrar. Por ejemplo, consideremos la demostración de la fórmula de la derivada para potencias de x :

$${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {(x+h)^{n}-x^{n}}{h}}=nx^{n-1}.}$$

Aplicando la regla de L'Hôpital y hallando las derivadas con respecto a${\displaystyle h}$rendimientos${\displaystyle nx^{n-1}}$Como era de esperar, pero este cálculo requiere el uso de la misma fórmula que se está demostrando. De manera similar, para demostrar${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1}$, aplicar L'Hôpital requiere conocer la derivada de${\displaystyle \sin(x)}$en${\displaystyle x=0}$, lo que equivale a calcular${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {\sin(h)}{h}}}$En primer lugar, una demostración válida requiere un método diferente, como el teorema del apretón .

Otras formas indeterminadas, como${\displaystyle 1^{\infty }}$,${\displaystyle 0^{0}}$,${\displaystyle \infty ^{0}}$,${\displaystyle 0\cdot \infty }$, y${\displaystyle \infty -\infty }$, a veces se puede evaluar utilizando la regla de L'Hôpital. Nuevamente indicamos aplicaciones de la regla de L'Hôpital mediante${\displaystyle {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}}$.

Por ejemplo, para evaluar un límite que involucra${\displaystyle \infty -\infty }$, convertir la diferencia de dos funciones en un cociente:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to 1}\left({\frac {x}{x-1}}-{\frac {1}{\ln x}}\right)&=\lim _{x\to 1}{\frac {x\cdot \ln x-x+1}{(x-1)\cdot \ln x}}\\[6pt]&\ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ \lim _{x\to 1}{\frac {\ln x}{{\frac {x-1}{x}}+\ln x}}\\[6pt]&=\lim _{x\to 1}{\frac {x\cdot \ln x}{x-1+x\cdot \ln x}}\\[6pt]&\ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ \lim _{x\to 1}{\frac {1+\ln x}{1+1+\ln x}}={\frac {1+0}{1+1+0}}.\end{aligned}}}$$

La regla de L'Hôpital se puede utilizar en formas indeterminadas que involucran exponentes mediante el uso de logaritmos para "descender el exponente". Aquí hay un ejemplo que involucra la forma indeterminada.${\displaystyle 0^{0}}$:

$${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}\!}x^{x}=\lim _{x\to 0^{+}\!}e^{\ln(x^{x})}=\lim _{x\to 0^{+}\!}e^{x\cdot \ln x}=\lim _{x\to 0^{+}\!}\exp(x\cdot \ln x)=\exp({\lim _{x\to 0^{+}\!\!}\,x\cdot \ln x}).}$$

Es válido mover el límite dentro de la función exponencial porque esta función es continua . Ahora el exponente${\displaystyle x}$ha sido "bajado". El límite${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x\cdot \ln x}$es de la forma indeterminada 0 · ∞ tratada en un ejemplo anterior: L'Hôpital puede usarse para determinar que

$${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x\cdot \ln x=0.}$$

De este modo

$${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{x}=\exp(0)=e^{0}=1.}$$

La siguiente tabla enumera las formas indeterminadas más comunes y las transformaciones que preceden a la aplicación de la regla de l'Hôpital:

El teorema de Stolz-Cesàro es un resultado similar que involucra límites de sucesiones, pero utiliza operadores de diferencias finitas en lugar de derivadas .

Consideremos la curva paramétrica en el plano xy con coordenadas dadas por las funciones continuas.${\displaystyle g(t)}$y${\displaystyle f(t)}$, el lugar geométrico de los puntos${\displaystyle (g(t),f(t))}$y supongamos que${\displaystyle f(c)=g(c)=0}$. La pendiente de la tangente a la curva en${\displaystyle (g(c),f(c))=(0,0)}$es el límite de la razón${\displaystyle {\frac {f(t)}{g(t)}}}$como${\displaystyle t\to c}$. La tangente a la curva en el punto${\displaystyle (g(t),f(t))}$es el vector de velocidad${\displaystyle (g'(t),f'(t))}$con pendiente${\displaystyle {\frac {f'(t)}{g'(t)}}}$La regla de L'Hôpital establece entonces que la pendiente de la curva en el origen (${\displaystyle t=c}$) es el límite de la pendiente tangente en puntos que se aproximan al origen, siempre que este esté definido.

Una consecuencia simple pero muy útil de la regla de L'Hôpital es que la derivada de una función no puede tener una discontinuidad evitable. Es decir, supongamos que${\displaystyle f}$es continuo en${\displaystyle a}$y que${\displaystyle f'(x)}$existe para todos${\displaystyle x}$en algún intervalo abierto que contiene${\displaystyle a}$, excepto quizás por${\displaystyle x=a}$. Supongamos, además, que${\displaystyle \lim _{x\to a}f'(x)}$existe. Entonces${\displaystyle f'(a)}$También existe y $${\displaystyle f'(a)=\lim _{x\to a}f'(x).}$$ En particular,${\displaystyle f'}$también es continuo en${\displaystyle a}$.

Por lo tanto, si una función no es continuamente diferenciable cerca de un punto, la derivada debe tener una discontinuidad esencial en ese punto.

• Controversia en L'Hôpital