Polinomios de Bernoulli

En matemáticas , los polinomios de Bernoulli , que reciben su nombre de Jacob Bernoulli , combinan los números de Bernoulli y los coeficientes binomiales . Se utilizan para el desarrollo en serie de funciones y con la fórmula de Euler-MacLaurin .

Estos polinomios aparecen en el estudio de muchas funciones especiales y, en particular, en la función zeta de Riemann y la función zeta de Hurwitz . Son una sucesión de Appell (es decir, una sucesión de Sheffer para el operador de derivada ordinaria ). Para los polinomios de Bernoulli, el número de cruces del eje x en el intervalo unitario no aumenta con el grado . En el límite de grado grande, se aproximan, cuando se escalan adecuadamente, a las funciones seno y coseno .

Un conjunto similar de polinomios, basado en una función generadora, es la familia de polinomios de Euler .

Los polinomios de Bernoulli B _n se pueden definir mediante una función generadora . También admiten diversas representaciones derivadas.

Utilizando cualquiera de las representaciones integrales anteriores de${\displaystyle x^{n}}$o la identidad${\displaystyle B_{n}(x+1)-B_{n}(x)=nx^{n-1}}$, tenemos $${\displaystyle \sum _{k=0}^{x}k^{p}=\int _{0}^{x+1}B_{p}(t)\,dt={\frac {B_{p+1}(x+1)-B_{p+1}}{p+1}}}$$ (suponiendo que 0 ⁰  =  1).

Los primeros polinomios de Bernoulli son: $${\displaystyle {\begin{aligned}B_{0}(x)&=1,&B_{4}(x)&=x^{4}-2x^{3}+x^{2}-{\tfrac {1}{30}},\\[4mu]B_{1}(x)&=x-{\tfrac {1}{2}},&B_{5}(x)&=x^{5}-{\tfrac {5}{2}}x^{4}+{\tfrac {5}{3}}x^{3}-{\tfrac {1}{6}}x,\\[4mu]B_{2}(x)&=x^{2}-x+{\tfrac {1}{6}},&B_{6}(x)&=x^{6}-3x^{5}+{\tfrac {5}{2}}x^{4}-{\tfrac {1}{2}}x^{2}+{\tfrac {1}{42}},\\[-2mu]B_{3}(x)&=x^{3}-{\tfrac {3}{2}}x^{2}+{\tfrac {1}{2}}x{\vphantom {\Big |}},\qquad &&\ \,\,\vdots \end{aligned}}}$$

Los primeros polinomios de Euler son: $${\displaystyle {\begin{aligned}E_{0}(x)&=1,&E_{4}(x)&=x^{4}-2x^{3}+x,\\[4mu]E_{1}(x)&=x-{\tfrac {1}{2}},&E_{5}(x)&=x^{5}-{\tfrac {5}{2}}x^{4}+{\tfrac {5}{2}}x^{2}-{\tfrac {1}{2}},\\[4mu]E_{2}(x)&=x^{2}-x,&E_{6}(x)&=x^{6}-3x^{5}+5x^{3}-3x,\\[-1mu]E_{3}(x)&=x^{3}-{\tfrac {3}{2}}x^{2}+{\tfrac {1}{4}},\qquad \ \ &&\,\,\vdots \end{aligned}}}$$

A mayor n, la cantidad de variación en${\displaystyle B_{n}(x)}$entre${\displaystyle x=0}$y${\displaystyle x=1}$se hace grande. Por ejemplo,${\displaystyle B_{16}(0)=B_{16}(1)={}}$${\displaystyle -{\tfrac {3617}{510}}\approx -7.09,}$pero${\displaystyle B_{16}{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}={}}$${\displaystyle {\tfrac {118518239}{3342336}}\approx 7.09.}$Lehmer (1940) ^{[ 3 ]} demostró que el valor máximo ( M _n ) de${\displaystyle B_{n}(x)}$entre 0 y 1 obedece $${\displaystyle M_{n}<{\frac {2n!}{(2\pi )^{n}}}}$$ a menos que n sea 2 módulo 4 , en cuyo caso $${\displaystyle M_{n}={\frac {2\zeta (n)\,n!}{(2\pi )^{n}}}}$$ (dónde${\displaystyle \zeta (x)}$es la función zeta de Riemann ), mientras que el mínimo ( m _n ) obedece $${\displaystyle m_{n}>{\frac {-2n!}{(2\pi )^{n}}}}$$ a menos que n = 0 módulo 4 , en cuyo caso $${\displaystyle m_{n}={\frac {-2\zeta (n)\,n!}{(2\pi )^{n}}}.}$$

Estos límites se aproximan bastante a los valores máximos y mínimos reales, y Lehmer también proporciona límites más precisos.

Los polinomios de Bernoulli y Euler obedecen muchas relaciones del cálculo umbral : $${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta B_{n}(x)&=B_{n}(x+1)-B_{n}(x)=nx^{n-1},\\[3mu]\Delta E_{n}(x)&=E_{n}(x+1)-E_{n}(x)=2(x^{n}-E_{n}(x)).\end{aligned}}}$$ ( Δ es el operador de diferencia directa ). Además, $${\displaystyle E_{n}(x+1)+E_{n}(x)=2x^{n}.}$$ Estas secuencias polinómicas son secuencias de Appell : $${\displaystyle {\begin{aligned}B_{n}'(x)&=nB_{n-1}(x),\\[3mu]E_{n}'(x)&=nE_{n-1}(x).\end{aligned}}}$$

La serie de Fourier de los polinomios de Bernoulli es también una serie de Dirichlet , dada por la expansión $${\displaystyle B_{n}(x)=-{\frac {n!}{(2\pi i)^{n}}}\sum _{k\not =0}{\frac {e^{2\pi ikx}}{k^{n}}}=-2n!\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos \left(2k\pi x-{\frac {n\pi }{2}}\right)}{(2k\pi )^{n}}}.}$$ Nótese el límite simple de n grande para funciones trigonométricas escaladas adecuadamente.

Este es un caso especial de la forma análoga para la función zeta de Hurwitz.$${\displaystyle B_{n}(x)=-\Gamma (n+1)\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\exp(2\pi ikx)+e^{i\pi n}\exp(2\pi ik(1-x))}{(2\pi ik)^{n}}}.}$$

Esta expansión es válida solo para 0 ≤ x ≤ 1 cuando n ≥ 2 y es válida para 0 < x < 1 cuando n = 1 .

También se pueden calcular las series de Fourier de los polinomios de Euler. Definiendo las funciones $${\displaystyle {\begin{aligned}C_{\nu }(x)&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\cos((2k+1)\pi x)}{(2k+1)^{\nu }}}\\[3mu]S_{\nu }(x)&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin((2k+1)\pi x)}{(2k+1)^{\nu }}}\end{aligned}}}$$ para${\displaystyle \nu >1}$, el polinomio de Euler tiene la serie de Fourier $${\displaystyle {\begin{aligned}C_{2n}(x)&={\frac {\left(-1\right)^{n}}{4(2n-1)!}}\pi ^{2n}E_{2n-1}(x)\\[1ex]S_{2n+1}(x)&={\frac {\left(-1\right)^{n}}{4(2n)!}}\pi ^{2n+1}E_{2n}(x).\end{aligned}}}$$ Tenga en cuenta que el${\displaystyle C_{\nu }}$y${\displaystyle S_{\nu }}$son impares y pares, respectivamente:$${\displaystyle {\begin{aligned}C_{\nu }(x)&=-C_{\nu }(1-x)\\S_{\nu }(x)&=S_{\nu }(1-x).\end{aligned}}}$$

Están relacionados con la función chi de Legendre.${\displaystyle \chi _{\nu }}$como $${\displaystyle {\begin{aligned}C_{\nu }(x)&=\operatorname {Re} \chi _{\nu }(e^{ix})\\S_{\nu }(x)&=\operatorname {Im} \chi _{\nu }(e^{ix}).\end{aligned}}}$$

Los polinomios de Bernoulli y Euler pueden invertirse para expresar el monomio en términos de los polinomios.

Específicamente, evidentemente de la sección anterior sobre operadores integrales , se deduce que $${\displaystyle x^{n}={\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}{n+1 \choose k}B_{k}(x)}$$ y $${\displaystyle x^{n}=E_{n}(x)+{\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{n-1}{n \choose k}E_{k}(x).}$$

Los polinomios de Bernoulli pueden expandirse en términos del factorial descendente.${\displaystyle (x)_{k}}$como $${\displaystyle B_{n+1}(x)=B_{n+1}+\sum _{k=0}^{n}{\frac {n+1}{k+1}}\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}(x)_{k+1}}$$ dónde${\displaystyle B_{n}=B_{n}(0)}$y $${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}=S(n,k)}$$ denota el número de Stirling de segunda especie . Lo anterior se puede invertir para expresar el factorial descendente en términos de los polinomios de Bernoulli: $${\displaystyle (x)_{n+1}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {n+1}{k+1}}\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]\left(B_{k+1}(x)-B_{k+1}\right)}$$ dónde $${\displaystyle \left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]=s(n,k)}$$ denota el número de Stirling de primera especie .

Los teoremas de multiplicación fueron enunciados por Joseph Ludwig Raabe en 1851:

Para un número natural m ≥ 1 , $${\displaystyle B_{n}(mx)=m^{n-1}\sum _{k=0}^{m-1}B_{n}{\left(x+{\frac {k}{m}}\right)}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}E_{n}(mx)&=m^{n}\sum _{k=0}^{m-1}\left(-1\right)^{k}E_{n}{\left(x+{\frac {k}{m}}\right)}&{\text{ for odd }}m\\[1ex]E_{n}(mx)&={\frac {-2}{n+1}}m^{n}\sum _{k=0}^{m-1}\left(-1\right)^{k}B_{n+1}{\left(x+{\frac {k}{m}}\right)}&{\text{ for even }}m\end{aligned}}}$$

Dos integrales definidas que relacionan los polinomios de Bernoulli y Euler con los números de Bernoulli y Euler son: ^{[ 5 ]}

• ${\displaystyle \int _{0}^{1}B_{n}(t)B_{m}(t)\,dt=(-1)^{n-1}{\frac {m!\,n!}{(m+n)!}}B_{n+m}\quad {\text{for }}m,n\geq 1}$
• ${\displaystyle \int _{0}^{1}E_{n}(t)E_{m}(t)\,dt=(-1)^{n}4(2^{m+n+2}-1){\frac {m!\,n!}{(m+n+2)!}}B_{n+m+2}}$

Otra fórmula integral establece ^{[ 6 ]}

• ${\displaystyle \int _{0}^{1}E_{n}\left(x+y\right)\log(\tan {\frac {\pi }{2}}x)\,dx=n!\sum _{k=1}^{\left\lfloor {\frac {n+1}{2}}\right\rfloor }{\frac {(-1)^{k-1}}{\pi ^{2k}}}\left(2-2^{-2k}\right)\zeta (2k+1){\frac {y^{n+1-2k}}{(n+1-2k)!}}}$

con el caso especial de${\displaystyle y=0}$

• ${\displaystyle \int _{0}^{1}E_{2n-1}\left(x\right)\log(\tan {\frac {\pi }{2}}x)\,dx={\frac {(-1)^{n-1}(2n-1)!}{\pi ^{2n}}}\left(2-2^{-2n}\right)\zeta (2n+1)}$
• ${\displaystyle \int _{0}^{1}B_{2n-1}\left(x\right)\log(\tan {\frac {\pi }{2}}x)\,dx={\frac {(-1)^{n-1}}{\pi ^{2n}}}{\frac {2^{2n-2}}{(2n-1)!}}\sum _{k=1}^{n}(2^{2k+1}-1)\zeta (2k+1)\zeta (2n-2k)}$
• ${\displaystyle \int _{0}^{1}E_{2n}\left(x\right)\log(\tan {\frac {\pi }{2}}x)\,dx=\int _{0}^{1}B_{2n}\left(x\right)\log(\tan {\frac {\pi }{2}}x)\,dx=0}$
• ${\displaystyle \int _{0}^{1}{{{B}_{2n-1}}\left(x\right)\cot \left(\pi x\right)dx}={\frac {2\left(2n-1\right)!}{{{\left(-1\right)}^{n-1}}{{\left(2\pi \right)}^{2n-1}}}}\zeta \left(2n-1\right)}$

Un polinomio de Bernoulli periódico P _n ( x ) es un polinomio de Bernoulli evaluado en la parte fraccionaria del argumento x . Estas funciones se utilizan para proporcionar el término restante en la fórmula de Euler-Maclaurin que relaciona sumas con integrales. El primer polinomio es una función de diente de sierra .

Estrictamente hablando, estas funciones no son polinomios en absoluto y deberían denominarse más apropiadamente funciones periódicas de Bernoulli.

Las siguientes propiedades son de interés, válidas para todos${\displaystyle x}$:

• ${\displaystyle P_{k}(x)}$es continuo para todos${\displaystyle k>1}$
• ${\displaystyle P_{k}'(x)}$existe y es continuo para${\displaystyle k>2}$
• ${\displaystyle P'_{k}(x)=kP_{k-1}(x)}$para${\displaystyle k>2}$

• Números de Bernoulli
• Polinomios de Bernoulli de segundo tipo
• polinomio de Stirling
• Polinomios que calculan sumas de potencias de progresiones aritméticas

• Lista de identidades integrales que involucran polinomios de Bernoulli del NIST.