Distribución de Bernoulli

En teoría de la probabilidad y estadística , la distribución de Bernoulli , que recibe su nombre del matemático suizo Jacob Bernoulli , ^{[ 1 ]} es la distribución de probabilidad discreta de una variable aleatoria que toma el valor 1 con probabilidad${\displaystyle p}$y el valor 0 con probabilidad${\displaystyle q=1-p}$De manera menos formal, puede considerarse como un modelo para el conjunto de resultados posibles de cualquier experimento individual que plantee una pregunta de sí o no . Dichas preguntas conducen a resultados con valor booleano : un único bit cuyo valor es éxito/ sí / verdadero / uno con probabilidad p y fracaso/no/ falso / cero con probabilidad q . Puede utilizarse para representar un lanzamiento de moneda (posiblemente sesgado) donde 1 y 0 representarían "cara" y "cruz", respectivamente, y p sería la probabilidad de que la moneda caiga en cara (o viceversa, donde 1 representaría cruz y p sería la probabilidad de cruz). En particular, las monedas injustas tendrían${\displaystyle p\neq 1/2.}$

La distribución de Bernoulli es un caso especial de la distribución binomial en la que se realiza un único ensayo (por lo que n sería 1 para dicha distribución binomial). También es un caso especial de la distribución binomial , para la cual los posibles resultados no tienen por qué ser 0 y 1. ^{[ 2 ]}

Si${\displaystyle X}$Si se trata de una variable aleatoria con distribución de Bernoulli, entonces:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr(X{=}1)&=p,\\\Pr(X{=}0)&=q=1-p.\end{aligned}}}$$

La función de masa de probabilidad${\displaystyle f}$de esta distribución, sobre los posibles resultados k , es ^{[ 3 ]}

$${\displaystyle f(k;p)={\begin{cases}p&{\text{si }}k=1,\\q=1-p&{\text{si }}k=0.\end{cases}}}$$

Esto también se puede expresar como

$${\displaystyle f(k;p)=p^{k}(1-p)^{1-k}\quad {\text{para }}k\in \{0,1\}}$$

o como

$${\displaystyle f(k;p)=pk+(1-p)(1-k)\quad {\text{para }}k\in \{0,1\}.}$$

La distribución de Bernoulli es un caso especial de la distribución binomial con${\displaystyle n=1.}$^{[ 4 ]}

La curtosis tiende a infinito para valores altos y bajos de${\displaystyle p,}$si no fuera por${\displaystyle p=1/2}$Las distribuciones de dos puntos, incluida la distribución de Bernoulli, tienen una curtosis de exceso menor , concretamente -2, que cualquier otra distribución de probabilidad.

Las distribuciones de Bernoulli para${\displaystyle 0\leq p\leq 1}$forman una familia exponencial .

El estimador de máxima verosimilitud de${\displaystyle p}$basado en una muestra aleatoria es la media muestral .

El valor esperado de una variable aleatoria de Bernoulli${\displaystyle X}$es

$${\displaystyle \operatorname {E} [X]=p}$$

Esto se debe a que para una variable aleatoria con distribución de Bernoulli${\displaystyle X}$con${\displaystyle \Pr(X{=}1)=p}$y${\textstyle \Pr(X{=}0)=q}$encontramos ^{[ 3 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [X]&=\Pr(X{=}1)\cdot 1+\Pr(X{=}0)\cdot 0\\[1ex]&=p\cdot 1+q\cdot 0\\[1ex]&=p.\end{aligned}}}$$

La varianza de una distribución de Bernoulli${\displaystyle X}$es

$${\displaystyle \operatorname {Var} [X]=pq=p(1-p)}$$

Primero encontramos

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [X^{2}]&=\Pr(X{=}1)\cdot 1^{2}+\Pr(X{=}0)\cdot 0^{2}\\&=p\cdot 1^{2}+q\cdot 0^{2}\\&=p=\operatorname {E} [X]\end{aligned}}}$$

De esto se deduce ^{[ 3 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} [X]&=\operatorname {E} [X^{2}]-\operatorname {E} [X]^{2}=\operatorname {E} [X]-\operatorname {E} [X]^{2}\\[1ex]&=pp^{2}=p(1-p)=pq\end{aligned}}}$$

Con este resultado es fácil demostrar que, para cualquier distribución de Bernoulli, su varianza tendrá un valor dentro de${\displaystyle [0,1/4]}$.

La asimetría es${\displaystyle {\frac {qp}{\sqrt {pq}}}={\frac {1-2p}{\sqrt {pq}}}}$Cuando tomamos la variable aleatoria con distribución de Bernoulli estandarizada${\displaystyle {\frac {X-\operatorname {E} [X]}{\sqrt {\operatorname {Var} [X]}}}}$encontramos que esta variable aleatoria alcanza${\displaystyle {\frac {q}{\sqrt {pq}}}}$con probabilidad${\displaystyle p}$y alcanza${\displaystyle -{\frac {p}{\sqrt {pq}}}}$con probabilidad${\displaystyle q}$. Así obtenemos

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma _{1}&=\operatorname {E} \left[\left({\frac {X-\operatorname {E} [X]}{\sqrt {\operatorname {Var} [X]}}}\right)^{3}\right]\\&=p\cdot \left({\frac {q}{\sqrt {pq}}}\right)^{3}+q\cdot \left(-{\frac {p}{\sqrt {pq}}}\right)^{3}\\&={\frac {1}{{\sqrt {pq}}^{3}}}\left(pq^{3}-qp^{3}\right)\\&={\frac {pq}{{\sqrt {pq}}^{3}}}(q^{2}-p^{2})\\&={\frac {(1-p)^{2}-p^{2}}{\sqrt {pq}}}\\&={\frac {1-2p}{\sqrt {pq}}}={\frac {q-p}{\sqrt {pq}}}.\end{aligned}}}$$

Todos los momentos crudos son iguales porque${\displaystyle 1^{k}=1}$y${\displaystyle 0^{k}=0}$.

$${\displaystyle \operatorname {E} [X^{k}]=\Pr(X{=}1)\cdot 1^{k}+\Pr(X{=}0)\cdot 0^{k}=p\cdot 1+q\cdot 0=p=\operatorname {E} [X].}$$

El momento central del orden${\displaystyle k}$es dado por $${\displaystyle \mu _{k}=(1-p)(-p)^{k}+p(1-p)^{k}.}$$ Los primeros seis momentos centrales son $${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{1}&=0,\\\mu _{2}&=p(1-p),\\\mu _{3}&=p(1-p)(1-2p),\\\mu _{4}&=p(1-p)(1-3p(1-p)),\\\mu _{5}&=p(1-p)(1-2p)(1-2p(1-p)),\\\mu _{6}&=p(1-p)(1-5p(1-p)(1-p(1-p))).\end{aligned}}}$$ Los momentos centrales superiores pueden expresarse de forma más compacta en términos de${\displaystyle \mu _{2}}$y${\displaystyle \mu _{3}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{4}&=\mu _{2}(1-3\mu _{2}),\\\mu _{5}&=\mu _{3}(1-2\mu _{2}),\\\mu _{6}&=\mu _{2}(1-5\mu _{2}(1-\mu _{2})).\end{aligned}}}$$ Los primeros seis cumulantes son $${\displaystyle {\begin{aligned}\kappa _{1}&=p,\\\kappa _{2}&=\mu _{2},\\\kappa _{3}&=\mu _{3},\\\kappa _{4}&=\mu _{2}(1-6\mu _{2}),\\\kappa _{5}&=\mu _{3}(1-12\mu _{2}),\\\kappa _{6}&=\mu _{2}(1-30\mu _{2}(1-4\mu _{2})).\end{aligned}}}$$

• Si${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$Si son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas ( iid ), todos los ensayos de Bernoulli tienen una probabilidad de éxito p , entonces su suma se distribuye según una distribución binomial con parámetros n y p :  

  ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}X_{k}\sim \operatorname {B} (n,p)}$( distribución binomial ). ^{[ 3 ]}

La distribución de Bernoulli es simplemente${\displaystyle \operatorname {B} (1,p)}$, también escrito como${\textstyle \mathrm {Bernoulli} (p).}$

• La distribución categórica es la generalización de la distribución de Bernoulli para variables con cualquier número constante de valores discretos.
• La distribución Beta es la distribución a priori conjugada de la distribución de Bernoulli. ^{[ 5 ]}
• Los modelos de distribución geométrica determinan el número de ensayos de Bernoulli independientes e idénticos necesarios para obtener un éxito.
• Si${\textstyle Y\sim \mathrm {Bernoulli} \left({\frac {1}{2}}\right)}$, entonces${\textstyle 2Y-1}$Tiene una distribución Rademacher .

• Proceso de Bernoulli , un proceso aleatorio que consiste en una secuencia de ensayos de Bernoulli independientes .
• Muestreo de Bernoulli
• Función de entropía binaria
• Diagrama de decisión binaria

• Abhirath, dwivedi ; Kotz, Samuel ; Kemp, Adrienne W. (1993). Distribuciones discretas univariadas (2.ª  ed.). Wiley. ISBN 0-471-54897-9.
• Peatman, John G. (1963). Introducción a la estadística aplicada . Nueva York: Harper & Row. págs. 162–171 . 

• "Distribución binomial" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994].
• Weisstein, Eric W. "Distribución de Bernoulli" . MathWorld .
• Gráfico interactivo: Relaciones de distribución univariada .