Relaciones entre distribuciones de probabilidad

Multiplicar la variable por cualquier constante real positiva produce una escala de la distribución original. Algunas son autorreplicantes, lo que significa que la escala produce la misma familia de distribuciones, aunque con un parámetro diferente: distribución normal , distribución gamma , distribución de Cauchy , distribución exponencial , distribución de Erlang , distribución de Weibull , distribución logística , distribución de error , distribución de ley de potencias , distribución de Rayleigh .

Ejemplo:

• Si X es una variable aleatoria gamma con parámetros de forma y tasa ( α , β ), entonces Y  = aX es una variable aleatoria gamma con parámetros ( α , β / a ). 

• Si X es una variable aleatoria gamma con parámetros de forma y escala ( α , θ ), entonces Y  = aX es una variable aleatoria gamma con parámetros ( α , a θ ). 

La transformación afín ax + b produce una reubicación y escalado de la distribución original. Las siguientes son autorreplicantes: distribución normal , distribución de Cauchy , distribución logística , distribución de error , distribución de potencia , distribución de Rayleigh .

Ejemplo:

• Si Z es una variable aleatoria normal con parámetros ( μ = m , σ ² = s ² ), entonces X = aZ + b es una variable aleatoria normal con parámetros ( μ = am + b , σ ² = a ² s ² ).

El recíproco 1/ X de una variable aleatoria X , es miembro de la misma familia de distribución que X , en los siguientes casos: distribución de Cauchy , distribución F , distribución log-logística .

Ejemplos:

• Si X es una variable aleatoria de Cauchy ( μ , σ ), entonces 1/ X es una variable aleatoria de Cauchy ( μ / C , σ / C ) donde C = μ ² + σ ² .
• Si X es una variable aleatoria F ( ν ₁ , ν _{2 ) entonces 1/} X es una variable aleatoria F ( ν ₂ , ν _{1 ).}

Algunas distribuciones son invariantes bajo una transformación específica.

Ejemplo:

• Si X es una variable aleatoria beta ( α , β ) entonces (1 − X ) es una variable aleatoria beta ( β , α ).
• Si X es una variable aleatoria binomial ( n , p ) entonces ( n − X ) es una variable aleatoria binomial ( n , 1  − p ). 
• Si X sigue una distribución uniforme continua en [0,1], y F _X (X) es su función de distribución acumulativa (CDF), entonces la variable aleatoria U=F _X (X) sigue una distribución uniforme estándar en [0,1].

Algunas distribuciones varían bajo una transformación específica.

• Si X es una variable aleatoria normal ( μ , σ ^{2 ), entonces} e ^X es una variable aleatoria lognormal ( μ , σ ^{2 ).}

Por el contrario, si X es una variable aleatoria lognormal ( μ , σ ² ) entonces log X es una variable aleatoria normal ( μ , σ ^{2 ).} 

• Si X es una variable aleatoria exponencial con media β , entonces X ^{1/ γ} es una variable aleatoria de Weibull ( γ , β ).
• El cuadrado de una variable aleatoria normal estándar tiene una distribución chi-cuadrado con un grado de libertad.
• Si X es una variable aleatoria t de Student con ν grados de libertad, entonces X ² es una variable aleatoria F (1, ν ).
• Si X es una variable aleatoria exponencial doble con media 0 y escala λ , entonces | X | es una variable aleatoria exponencial con media λ .
• Una variable aleatoria geométrica es el piso de una variable aleatoria exponencial .
• Una variable aleatoria rectangular es el piso de una variable aleatoria uniforme .
• Una variable aleatoria recíproca es la exponencial de una variable aleatoria uniforme .

La distribución de la suma de variables aleatorias independientes es la convolución de sus distribuciones. Supongamos que${\displaystyle Z}$es la suma de${\displaystyle n}$variables aleatorias independientes${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$cada una con funciones de masa de probabilidad${\displaystyle f_{X_{i}}(x)}$. Entonces$${\displaystyle Z=\sum _{i=1}^{n}{X_{i}}.}$$Si tiene una distribución de la misma familia de distribuciones que las variables originales, se dice que esa familia de distribuciones es cerrada bajo convolución . A menudo (¿siempre?) estas distribuciones también son distribuciones estables (véase también Distribución discreta estable ).

Ejemplos de tales distribuciones univariadas son: distribuciones normales , distribuciones de Poisson , distribuciones binomiales (con probabilidad de éxito común), distribuciones binomiales negativas (con probabilidad de éxito común), distribuciones gamma (con parámetro de tasa común ), distribuciones chi-cuadrado , distribuciones de Cauchy , distribuciones hiperexponenciales .

Ejemplos: ^{[ 3 ] [ 4 ]}

• • Si X ₁ y X ₂ son variables aleatorias de Poisson con medias μ ₁ y μ ₂ respectivamente, entonces X ₁ + X ₂ es una variable aleatoria de Poisson con media μ ₁ + μ ₂ .
  • La suma de variables aleatorias gamma ( α _i , β ) tiene una distribución gamma ( Σ α _i , β ).
  • Si X ₁ es una variable aleatoria de Cauchy ( μ ₁ , σ _{1 ) y} X ₂ es una variable aleatoria de Cauchy ( μ ₂ , σ ₂ ), entonces X ₁ + X ₂ es una variable aleatoria de Cauchy ( μ ₁ + μ ₂ , σ ₁ + σ ₂ ).
  • Si X ₁ y X ₂ son variables aleatorias chi-cuadrado con ν ₁ y ν ₂ grados de libertad respectivamente, entonces X ₁ + X ₂ es una variable aleatoria chi-cuadrado con ν ₁ + ν ₂ grados de libertad.
  • Si X ₁ es una variable aleatoria normal ( μ ₁ , σ ² ₁ ) y X ₂ es una variable aleatoria normal ( μ ₂ , σ ² _{2 ), entonces X 1} + X ₂ es una variable aleatoria normal ( μ ₁ + μ ₂ , σ ² ₁ + σ ² ₂ ).
  • La suma de N variables aleatorias chi-cuadrado (1) tiene una distribución chi-cuadrado con N grados de libertad.

Otras distribuciones no son cerradas bajo convolución, pero su suma tiene una distribución conocida:

• La suma de n variables aleatorias de Bernoulli (p) es una variable aleatoria binomial ( n , p ).
• La suma de n variables aleatorias geométricas con probabilidad de éxito p es una variable aleatoria binomial negativa con parámetros n y p .
• La suma de n variables aleatorias exponenciales ( β ) es una variable aleatoria gamma ( n , β ). Dado que n es un número entero, la distribución gamma también es una distribución de Erlang .
• La suma de los cuadrados de N variables aleatorias normales estándar tiene una distribución chi-cuadrado con N grados de libertad.

El producto de variables aleatorias independientes X e Y puede pertenecer a la misma familia de distribución que X e Y : distribución de Bernoulli y distribución log-normal .

Ejemplo:

• Si X ₁ y X _{2 son variables aleatorias} log-normales independientes con parámetros ( μ ₁ , σ ² ₁ ) y ( μ ₂ , σ ² ₂ ) respectivamente, entonces X ₁ X ₂ es una variable aleatoria log-normal con parámetros ( μ ₁ + μ ₂ , σ ² ₁ + σ ² ₂ ).

Para algunas distribuciones, el valor mínimo de varias variables aleatorias independientes es un miembro de la misma familia, con diferentes parámetros: distribución de Bernoulli , distribución geométrica , distribución exponencial , distribución de valores extremos , distribución de Pareto , distribución de Rayleigh , distribución de Weibull .

Ejemplos:

• Si X ₁ y X _{2 son variables aleatorias} geométricas independientes con probabilidad de éxito p ₁ y p ₂ respectivamente, entonces min( X ₁ , X ₂ ) es una variable aleatoria geométrica con probabilidad de éxito p = p ₁ + p ₂ − p ₁ p ₂ . La relación es más simple si se expresa en términos de probabilidad de fracaso: q = q ₁ q ₂ .
• Si X ₁ y X _{2 son variables aleatorias} exponenciales independientes con tasa μ ₁ y μ ₂ respectivamente, entonces min( X ₁ , X ₂ ) es una variable aleatoria exponencial con tasa μ = μ ₁ + μ ₂ .

De manera similar, las distribuciones para las cuales el valor máximo de varias variables aleatorias independientes es un miembro de la misma familia de distribución incluyen: distribución de Bernoulli , distribución de ley de potencias .

• Si X e Y son variables aleatorias normales estándar independientes, X / Y es una variable aleatoria de Cauchy (0,1).
• Si X ₁ y X ₂ son variables aleatorias chi-cuadrado independientes con ν ₁ y ν ₂ grados de libertad respectivamente, entonces ( X ₁ / ν ₁ )/( X ₂ / ν ₂ ) es una variable aleatoria F ( ν ₁ , ν ₂ ).
• Si X es una variable aleatoria normal estándar y U es una variable aleatoria chi-cuadrado independiente con ν grados de libertad, entonces${\displaystyle {\frac {X}{\sqrt {(U/\nu )}}}}$es una variable aleatoria t de Student ( ν ).
• Si X ₁ es una variable aleatoria gamma ( α ₁ , 1) y X ₂ es una variable aleatoria gamma independiente (α _{2 , 1), entonces} X ₁ /( X ₁ + X ₂ ) es una variable aleatoria beta ( α ₁ , α ₂ ). De forma más general, si X ₁ es una variable aleatoria gamma( α ₁ , β _{1 ) y} X ₂ es una variable aleatoria gamma independiente ( α ₂ , β _{2 ), entonces β 2} X ₁ /( β ₂ X ₁ + β ₁ X ₂ ) es una variable aleatoria beta( α ₁ , α _{2 ).}
• Si X e Y son variables aleatorias exponenciales independientes con media μ, entonces X  − Y es una variable aleatoria doble exponencial con media 0 y escala μ. 
• Si X _i son variables aleatorias de Bernoulli independientes, entonces su paridad (XOR) es una variable de Bernoulli descrita por el lema de apilamiento .