Umbra de Bernoulli

En cálculo umbral , la umbra de Bernoulli es una umbra, un símbolo formal, definido por la relación , donde es el operador de reducción de índice, ^[1] también conocido como operador de evaluación ^[2] y son números de Bernoulli , llamados momentos de la umbra. ^[3] Una umbra similar, definida como , donde también se usa a menudo y a veces también se llama umbra de Bernoulli. Están relacionadas por igualdad . Junto con la umbra de Euler, la umbra de Bernoulli es una de las umbras más importantes. $Estilo de visualización B_{-}}$${\displaystyle \operatorname {eval} B_{-}^{n}=B_{n}^{-}}$${\displaystyle\operatorname {eval}}$$Estilo de visualización B_{n}^{-}}$${\displaystyle \operatorname {eval} B_{+}^{n}=B_{n}^{+}}$$Estilo de visualización B_{1}^{+}=1/2}$$Estilo de visualización B_{+}=B_{-}+1$

En el campo de Levi-Civita , las umbras de Bernoulli se pueden representar por elementos con series de potencias y , con operador de índice descendente correspondiente a tomar el coeficiente de de la serie de potencias. Los numeradores de los términos se dan en OEIS A118050 ^[4] y los denominadores están en OEIS A118051. ^[5] Dado que los coeficientes de son distintos de cero, ambos son números infinitamente grandes, siendo infinitamente cercanos (pero no iguales, un poco más pequeños) a y siendo infinitamente cercanos (un poco más pequeños) a . ${\displaystyle B_{-}=\varepsilon ^{-1}-{\frac {1}{2}}-{\frac {\varepsilon }{24}}+{\frac {3\varepsilon ^{3}}{640}}-{\frac {1525\varepsilon ^{5}}{580608}}+\dotsb }$${\displaystyle B_{+}=\varepsilon ^{-1}+{\frac {1}{2}}-{\frac {\varepsilon }{24}}+{\frac {3\varepsilon ^{3}}{640}}-{\frac {1525\varepsilon ^{5}}{580608}}+\dotsb }$${\displaystyle 1=\varepsilon ^{0}}$${\displaystyle \varepsilon ^{-1}}$$Estilo de visualización B_{-}}$${\displaystyle \varepsilon ^{-1}-1/2}$$Estilo de visualización B_{+}}$${\displaystyle \varepsilon ^{-1}+1/2}$

En los campos de Hardy (que son generalizaciones del campo de Levi-Civita) umbra corresponde al germen en el infinito de la función mientras que corresponde al germen en el infinito de , donde es la función digamma inversa . $Estilo de visualización B_{+}}$${\displaystyle \psi ^{-1}(\ln x)}$$Estilo de visualización B_{-}}$${\displaystyle \psi ^{-1}(\ln x)-1}$$estilo de visualización psi ^{-1}(x)}$

Dado que los polinomios de Bernoulli son una generalización de los números de Bernoulli, la exponenciación de la umbra de Bernoulli se puede expresar mediante polinomios de Bernoulli :

${\displaystyle \operatorname {eval} (B_{-}+a)^{n}=B_{n}(a),}$

donde es un número real o complejo. Esto se puede generalizar aún más utilizando la función zeta de Hurwitz : ${\estilo de visualización a}$

${\displaystyle \operatorname {eval} (B_{-}+a)^{p}=-p\zeta (1-p,a).}$

De la ecuación funcional de Riemann para la función Zeta se deduce que

${\displaystyle \operatorname {eval} \,B_{+}^{-p}=\operatorname {eval} {\frac {B_{+}^{p+1}2^{p}\pi ^{p+1}}{\sin(\pi p/2)\Gamma (p)(p+1)}}}$

Dado que y son los únicos dos miembros de las secuencias y que difieren, se sigue la siguiente regla para cualquier función analítica : ${\displaystyle B_{1}^{+}=1/2}$${\displaystyle B_{1}^{-}=-1/2}$${\displaystyle B_{n}^{+}}$${\displaystyle B_{n}^{-}}$${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle f'(x)=\operatorname {eval} (f(B_{+}+x)-f(B_{-}+x))=\operatorname {eval} \Delta f(B_{-}+x)}$

Como regla general, la siguiente fórmula es válida para cualquier función analítica : ${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle \operatorname {eval} f(B_{-}+x)={\frac {D}{e^{D}-1}}f(x).}$

Esto permite derivar expresiones para funciones elementales de la umbra de Bernoulli.

${\displaystyle \operatorname {eval} \cos(zB_{-})=\operatorname {eval} \cos(zB_{+})={\frac {z}{2}}\cot \left({\frac {z}{2}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {eval} \cosh(zB_{-})=\operatorname {eval} \cosh(zB_{+})={\frac {z}{2}}\coth \left({\frac {z}{2}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {eval} e^{zB_{-}}={\frac {z}{e^{z}-1}}}$

${\displaystyle \operatorname {eval} \ln(B_{-}+z)=\psi (z)}$

Particularmente,

${\displaystyle \operatorname {eval} \ln B_{+}=-\gamma }$ ^[6]

${\displaystyle \operatorname {eval} {\frac {1}{\pi }}\ln \left({\frac {B_{+}-{\frac {z}{\pi }}}{B_{-}+{\frac {z}{\pi }}}}\right)=\cot z}$

${\displaystyle \operatorname {eval} {\frac {1}{\pi }}\ln \left({\frac {B_{-}+1/2+{\frac {z}{\pi }}}{B_{-}+1/2-{\frac {z}{\pi }}}}\right)=\tan z}$

${\displaystyle \operatorname {eval} \cos(aB_{-}+x)={\frac {a}{2}}\csc \left({\frac {a}{2}}\right)\cos \left({\frac {a}{2}}-x\right)}$

${\displaystyle \operatorname {eval} \sin(aB_{-}+x)={\frac {a}{2}}\cot \left({\frac {a}{2}}\right)\sin x-{\frac {a}{2}}\cos x}$

Particularmente,

${\displaystyle \operatorname {eval} \sin B_{-}=-1/2}$,

${\displaystyle \operatorname {eval} \sin B_{+}=1/2}$,

La umbra de Bernoulli permite establecer relaciones entre funciones exponenciales, trigonométricas e hiperbólicas por un lado y logaritmos, funciones trigonométricas inversas e hiperbólicas inversas por el otro lado en forma cerrada:

${\displaystyle \operatorname {eval} \left(\cosh \left(2xB_{\pm }\right)-1\right)=\operatorname {eval} {\frac {x}{\pi }}\operatorname {artanh} \left({\frac {x}{\pi B_{\pm }}}\right)=\operatorname {eval} {\frac {x}{\pi }}\operatorname {arcoth} \left({\frac {\pi B_{\pm }}{x}}\right)=x\coth(x)-1}$

${\displaystyle \operatorname {eval} {\frac {z}{2\pi }}\ln \left({\frac {B_{+}-{\frac {z}{2\pi }}}{B_{-}+{\frac {z}{2\pi }}}}\right)=\operatorname {eval} \cos(zB_{-})=\operatorname {eval} \cos(zB_{+})={\frac {z}{2}}\cot \left({\frac {z}{2}}\right)}$