Función zeta de Hurwitz

En matemáticas , la función zeta de Hurwitz es una de las muchas funciones zeta . Se define formalmente para variables complejas s con Re( s ) > 1 y a ≠ 0, −1, −2, ... mediante $${\displaystyle \zeta (s,a)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+a)^{s}}}.}$$

Esta serie es absolutamente convergente para los valores dados de s y a y puede extenderse a una función meromorfa definida para todo s ≠ 1. La función zeta de Riemann es ζ ( s , 1) . La función zeta de Hurwitz recibe su nombre de Adolf Hurwitz , quien la introdujo en 1882. ^{[ 1 ]}

La función zeta de Hurwitz tiene una representación integral. $${\displaystyle \zeta (s,a)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}e^{-ax}}{1-e^{-x}}}dx}$$ para${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>1}$y${\displaystyle \operatorname {Re} (a)>0.}$(Esta integral puede considerarse como una transformada de Mellin .) La fórmula se puede obtener, aproximadamente, escribiendo $${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (s,a)\Gamma (s)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+a)^{s}}}\int _{0}^{\infty }x^{s}e^{-x}{\frac {dx}{x}}\\[1ex]&=\sum _{n=0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }y^{s}e^{-(n+a)y}{\frac {dy}{y}}\end{aligned}}}$$ y luego intercambiando la suma y la integral. ^{[ 3 ]}

La representación integral anterior se puede convertir en una representación integral de contorno.$${\displaystyle \zeta (s,a)=-\Gamma (1-s){\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}{\frac {(-z)^{s-1}e^{-az}}{1-e^{-z}}}dz}$$ dónde${\displaystyle C}$es un contorno de Hankel en sentido antihorario alrededor del eje real positivo, y la rama principal se utiliza para la exponenciación compleja.${\displaystyle (-z)^{s-1}}$A diferencia de la integral anterior, esta integral es válida para todos los s , y de hecho es una función entera de s . ^{[ 4 ]}

La representación integral de contorno proporciona una continuación analítica de${\displaystyle \zeta (s,a)}$a todos${\displaystyle s\neq 1}$. En${\displaystyle s=1}$Tiene un poste simple con residuos.${\displaystyle 1}$. ^{[ 5 ]}

La función zeta de Hurwitz satisface una identidad que generaliza la ecuación funcional de la función zeta de Riemann : ^{[ 6 ]}$${\displaystyle \zeta (1-s,a)={\frac {\Gamma (s)}{(2\pi )^{s}}}\left(e^{-\pi is/2}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {e^{2\pi ina}}{n^{s}}}+e^{\pi is/2}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {e^{-2\pi ina}}{n^{s}}}\right),}$$ válido para Re( s ) > 1 y 0 < a ≤ 1. La ecuación funcional zeta de Riemann es el caso especial a = 1: ^{[ 7 ]}$${\displaystyle \zeta (1-s)={\frac {2\Gamma (s)}{(2\pi )^{s}}}\cos \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\zeta (s)}$$

La fórmula de Hurwitz también se puede expresar como ^{[ 8 ].}$${\displaystyle \zeta (s,a)={\frac {2\Gamma (1-s)}{(2\pi )^{1-s}}}\left(\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cos(2\pi na)}{n^{1-s}}}+\cos \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi na)}{n^{1-s}}}\right)}$$ (para Re( s ) < 0 y 0 < a ≤ 1 ).

La fórmula de Hurwitz tiene varias demostraciones diferentes. ^{[ 9 ]} Una demostración utiliza la representación de integración de contorno junto con el teorema de los residuos . ^{[ 6 ] [ 8 ]} Una segunda demostración utiliza una identidad de la función theta , o equivalentemente la suma de Poisson . ^{[ 10 ]} Estas demostraciones son análogas a las dos demostraciones de la ecuación funcional para la función zeta de Riemann en el artículo de Riemann de 1859. Otra demostración de la fórmula de Hurwitz utiliza la suma de Euler-Maclaurin para expresar la función zeta de Hurwitz como una integral. $${\displaystyle \zeta (s,a)=s\int _{-a}^{\infty }{\frac {\lfloor x\rfloor -x+{\frac {1}{2}}}{(x+a)^{s+1}}}dx}$$ ( −1 < Re( s ) < 0 y 0 < a ≤ 1 ) y luego expandiendo el numerador como una serie de Fourier . ^{[ 11 ]} . Sin embargo ^{[ 12 ]} otra demostración de la fórmula de Hurwitz utiliza la integral de Hermite $${\displaystyle \zeta (s,a)={\frac {1}{2}}a^{-s}+{\frac {a^{1-s}}{s-1}}+2\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(s\tan ^{-1}(x/a))}{(a^{2}+x^{2})^{s/2}\left(e^{2\pi x}-1\right)}}dx,}$$ al revelar primero una interesante conexión entre la función zeta de Hurwitz y las funciones de Lommel .

Estrechamente relacionadas con la ecuación funcional se encuentran las siguientes sumas finitas, algunas de las cuales pueden evaluarse de forma cerrada.

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m}\zeta {\left(s,{\frac {r}{m}}\right)}\cos {\dfrac {2\pi rk}{m}}={\frac {m\Gamma (1-s)}{(2\pi m)^{1-s}}}\sin {\frac {\pi s}{2}}\cdot \left\{\zeta {\left(1{-}s,{\frac {k}{m}}\right)}+\zeta {\left(1{-}s,1{-}{\frac {k}{m}}\right)}\right\}}$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m}\zeta {\left(s,{\frac {r}{m}}\right)}\sin {\dfrac {2\pi rk}{m}}={\frac {m\Gamma (1-s)}{(2\pi m)^{1-s}}}\cos {\frac {\pi s}{2}}\cdot \left\{\zeta {\left(1{-}s,{\frac {k}{m}}\right)}-\zeta {\left(1{-}s,1{-}{\frac {k}{m}}\right)}\right\}}$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\zeta ^{2}{\left(s,{\frac {r}{m}}\right)}=\left(m^{2s-1}-1\right)\zeta ^{2}(s)+{\frac {2m\Gamma ^{2}(1-s)}{\left(2\pi m\right)^{2-2s}}}\sum _{\ell =1}^{m-1}\left\{\zeta {\left(1{-}s,{\frac {\ell }{m}}\right)}-\cos(\pi s)\,\zeta {\left(1{-}s,1{-}{\frac {\ell }{m}}\right)}\right\}\zeta {\left(1{-}s,{\frac {\ell }{m}}\right)}}$

dónde${\displaystyle m}$es un entero positivo mayor que 2 y${\displaystyle s}$es complejo, véase por ejemplo el Apéndice B en ^{[ 14 ] .}

Helmut Hasse dio en 1930 una representación de serie de Newton convergente definida para a > 0 (real) y cualquier s ≠ 1 complejo : ^{[ 15 ]}$${\displaystyle \zeta (s,a)={\frac {1}{s-1}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(a+k)^{1-s}.}$$

Esta serie converge uniformemente en subconjuntos compactos del plano s a una función entera . La suma interna puede entenderse como la n -ésima diferencia hacia adelante de${\displaystyle a^{1-s}}$; eso es, $${\displaystyle \Delta ^{n}a^{1-s}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{\binom {n}{k}}\left(a+k\right)^{1-s}}$$ donde Δ es el operador de diferencia finita hacia adelante . Por lo tanto, se puede escribir: $${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (s,a)&={\frac {1}{s-1}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n+1}}\Delta ^{n}a^{1-s}\\&={\frac {1}{s-1}}{\log(1+\Delta ) \over \Delta }a^{1-s}\end{aligned}}}$$

La derivada parcial de la zeta en el segundo argumento es un desplazamiento : $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial a}}\zeta (s,a)=-s\zeta (s+1,a).}$$

Por lo tanto, la serie de Taylor se puede escribir como: $${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (s,x+y)&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {y^{k}}{k!}}{\frac {\partial ^{k}}{\partial x^{k}}}\zeta (s,x)\\&=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {s+k-1}{s-1}}\left(-y\right)^{k}\zeta (s+k,x).\end{aligned}}}$$

Alternativamente, $${\displaystyle \zeta (s,q)={\frac {1}{q^{s}}}+\sum _{n=0}^{\infty }(-q)^{n}{\binom {s+n-1}{n}}\zeta (s+n),}$$ con${\displaystyle |q|<1}$. ^{[ 16 ]}

Estrechamente relacionada se encuentra la fórmula de Stark-Keiper : $${\displaystyle \zeta (s,N)=\sum _{k=0}^{\infty }\left[N+{\frac {s-1}{k+1}}\right]{s+k-1 \choose s-1}(-1)^{k}\zeta (s+k,N),}$$ lo cual se cumple para N entero y s arbitrario . Véase también la fórmula de Faulhaber para una relación similar sobre sumas finitas de potencias de enteros.

La expansión en serie de Laurent se puede utilizar para definir constantes de Stieltjes generalizadas que aparecen en la serie. $${\displaystyle \zeta (s,a)={\frac {1}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\gamma _{n}(a)(s-1)^{n}.}$$

En particular, el término constante viene dado por $${\displaystyle \lim _{s\to 1}\left[\zeta (s,a)-{\frac {1}{s-1}}\right]=\gamma _{0}(a)={\frac {-\Gamma '(a)}{\Gamma (a)}}=-\psi (a)}$$ dónde${\displaystyle \Gamma }$es la función gamma y${\displaystyle \psi =\Gamma '/\Gamma }$es la función digamma . Como caso especial,${\displaystyle \gamma _{0}(1)=-\psi (1)=\gamma _{0}=\gamma }$.

La transformada discreta de Fourier de la función zeta de Hurwitz con respecto al orden s es la función chi de Legendre . ^{[ 17 ]}

Si${\displaystyle \vartheta (z,\tau )}$es la función theta de Jacobi , entonces $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left[\vartheta (z,it)-1\right]t^{s/2}{\frac {dt}{t}}=\pi ^{-(1-s)/2}\Gamma {\left({\frac {1-s}{2}}\right)}\left[\zeta (1{-}s,z)+\zeta (1{-}s,1{-}z)\right]}$$ se mantiene para${\displaystyle \Re s>0}$y z es complejo, pero no un entero. Para z = n , un entero, esto se simplifica a $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }\left[\vartheta (n,it)-1\right]t^{s/2}{\frac {dt}{t}}&=2\pi ^{-(1-s)/2}\ \Gamma {\left({\frac {1-s}{2}}\right)}\zeta (1-s)\\&=2\pi ^{-s/2}\ \Gamma {\left({\frac {s}{2}}\right)}\zeta (s).\end{aligned}}}$$ donde ζ es la función zeta de Riemann . Nótese que esta última forma es la ecuación funcional para la función zeta de Riemann, tal como la dio originalmente Riemann. La distinción basada en si z es un número entero o no explica el hecho de que la función theta de Jacobi converge a la función delta periódica , o peine de Dirac en z cuando${\displaystyle t\rightarrow 0}$.

En argumentos racionales, la función zeta de Hurwitz puede expresarse como una combinación lineal de funciones L de Dirichlet y viceversa: La función zeta de Hurwitz coincide con la función zeta de Riemann ζ ( s ) cuando a  =  1, cuando a  =  1/2 es igual a (2 ^s − 1) ζ ( s ), ^{[ 22 ]} y si a  = n / k con k > 2, ( n , k ) > 1 y 0 < n < k , entonces ^{[ 23 ]}         $${\displaystyle \zeta (s,n/k)={\frac {k^{s}}{\varphi (k)}}\sum _{\chi }{\overline {\chi }}(n)L(s,\chi ),}$$ la suma que recorre todos los caracteres de Dirichlet módulo k . En la dirección opuesta tenemos la combinación lineal ^{[ 22 ].}$${\displaystyle L(s,\chi )={\frac {1}{k^{s}}}\sum _{n=1}^{k}\chi (n)\;\zeta {\left(s,{\frac {n}{k}}\right)}.}$$ También está el teorema de la multiplicación.$${\displaystyle k^{s}\zeta (s)=\sum _{n=1}^{k}\zeta {\left(s,{\frac {n}{k}}\right)},}$$ de la cual una generalización útil es la relación de distribución ^{[ 24 ]}$${\displaystyle \sum _{p=0}^{q-1}\zeta (s,a+p/q)=q^{s}\,\zeta (s,qa).}$$ (Esta última forma es válida siempre que q sea un número natural y 1 − qa no lo sea).  

Si a = 1, la función zeta de Hurwitz se reduce a la función zeta de Riemann misma; si a = 1/2, se reduce a la función zeta de Riemann multiplicada por una función simple del argumento complejo s ( véase supra ), lo que lleva en cada caso al difícil estudio de los ceros de la función zeta de Riemann. En particular, no habrá ceros con parte real mayor o igual a 1. Sin embargo, si 0 < a < 1 y a ≠ 1/2 , entonces hay ceros de la función zeta de Hurwitz en la franja 1 < Re( s ) < 1 + ε para cualquier número real positivo ε . Esto fue demostrado por Davenport y Heilbronn para a racional o irracional trascendental , ^{[ 25 ]} y por Cassels para a irracional algebraico . ^{[ 22 ] [ 26 ]}

La función zeta de Hurwitz aparece en varias identidades sorprendentes en valores racionales. ^{[ 27 ]} En particular, valores en términos de los polinomios de Euler${\displaystyle E_{n}(x)}$: $${\displaystyle E_{2n-1}\left({\frac {p}{q}}\right)=\left(-1\right)^{n}{\frac {4(2n-1)!}{(2\pi q)^{2n}}}\sum _{k=1}^{q}\zeta {\left(2n,{\frac {2k-1}{2q}}\right)}\cos {\frac {(2k-1)\pi p}{q}}}$$ y $${\displaystyle E_{2n}\left({\frac {p}{q}}\right)=\left(-1\right)^{n}{\frac {4(2n)!}{(2\pi q)^{2n+1}}}\sum _{k=1}^{q}\zeta {\left(2n+1,{\frac {2k-1}{2q}}\right)}\sin {\frac {(2k-1)\pi p}{q}}}$$

Uno también tiene $${\displaystyle \zeta {\left(s,{\frac {2p-1}{2q}}\right)}=2\left(2q\right)^{s-1}\sum _{k=1}^{q}\left[C_{s}{\left({\frac {k}{q}}\right)}\cos {\frac {(2p-1)\pi k}{q}}+S_{s}{\left({\frac {k}{q}}\right)}\sin {\frac {(2p-1)\pi k}{q}}\right]}$$ lo cual se cumple para 1 ≤ p ≤ q . Aquí, el${\displaystyle C_{\nu }(x)}$y${\displaystyle S_{\nu }(x)}$se definen mediante la función chi de Legendre${\displaystyle \chi _{\nu }}$como $${\displaystyle C_{\nu }(x)=\operatorname {Re} \,\chi _{\nu }(e^{ix})}$$ y $${\displaystyle S_{\nu }(x)=\operatorname {Im} \,\chi _{\nu }(e^{ix}).}$$

Para valores enteros de ν , estas relaciones pueden expresarse en términos de los polinomios de Euler. Dichas relaciones pueden derivarse empleando la ecuación funcional junto con la fórmula de Hurwitz, mencionada anteriormente.

La función zeta de Hurwitz aparece en diversas disciplinas. Su presencia más frecuente se da en la teoría de números , donde su teoría es la más profunda y desarrollada. Sin embargo, también se encuentra en el estudio de fractales y sistemas dinámicos . En estadística aplicada , aparece en la ley de Zipf y en la ley ^de Zipf-Mandelbrot . En física de partículas , aparece en una fórmula de Julian Schwinger [ ^{28 ]} que proporciona un resultado exacto para la tasa de producción de pares de un electrón de Dirac en un campo eléctrico uniforme.

La función zeta de Hurwitz con un entero positivo m está relacionada con la función poligamma : $${\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}m!\zeta (m+1,z)\ .}$$

La función zeta de Barnes generaliza la función zeta de Hurwitz.

El trascendente de Lerch generaliza el zeta de Hurwitz: $${\displaystyle \Phi (z,s,q)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{(k+q)^{s}}}}$$ y por lo tanto $${\displaystyle \zeta (s,a)=\Phi (1,s,a).\,}$$

Función hipergeométrica

$${\displaystyle \zeta (s,a)=a^{-s}\cdot {}_{s+1}F_{s}(1,a_{1},a_{2},\ldots a_{s};a_{1}+1,a_{2}+1,\ldots a_{s}+1;1)}$$dónde${\displaystyle a_{1}=a_{2}=\ldots =a_{s}=a{\text{ and }}a\notin \mathbb {N} {\text{ and }}s\in \mathbb {N} ^{+}.}$

Función G de Meijer

$${\displaystyle \zeta (s,a)=G\,_{s+1,\,s+1}^{\,1,\,s+1}\left(-1\;\left|\;{\begin{matrix}0,1-a,\ldots ,1-a\\0,-a,\ldots ,-a\end{matrix}}\right)\right.\qquad \qquad s\in \mathbb {N} ^{+}.}$$

• Jonathan Sondow y Eric W. Weisstein. "Función zeta de Hurwitz" . MathWorld .