El problema de Bernstein

En geometría diferencial , el problema de Bernstein es el siguiente: si la gráfica de una función en R ^{n − 1} es una superficie mínima en R ⁿ , ¿implica esto que la función es lineal? Esto es cierto para n como máximo 8, pero falso para n al menos 9. El problema recibe su nombre de Sergei Natanovich Bernstein, quien resolvió el caso n = 3 en 1914.   

Supongamos que f es una función de n − 1 variables reales. La gráfica de f es una superficie en R ⁿ , y la condición para que esta sea una superficie mínima es que f satisfaga la ecuación de superficie mínima.  

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n-1}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}{\sqrt {1+\sum _{j=1}^{n-1}\left({\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}\right)^{2}}}}=0}$

El problema de Bernstein pregunta si una función completa (una función definida en todo R ^{n − 1} ) que resuelve esta ecuación es necesariamente un polinomio de grado 1.

Bernstein (1915–1917) demostró el teorema de Bernstein que establece que la gráfica de una función real en R ² que también es una superficie mínima en R ³ debe ser un plano.

Fleming (1962) dio una nueva demostración del teorema de Bernstein deduciéndolo del hecho de que no hay ningún cono no plano que minimice el área en R ³ .

De Giorgi (1965) demostró que si no hay un cono no planar que minimice el área en R ^{n − 1} , entonces el análogo del teorema de Bernstein es cierto para grafos en R ⁿ , lo que en particular implica que es cierto en R ⁴ .

Almgren (1966) demostró que no hay conos minimizadores no planares en R ⁴ , extendiendo así el teorema de Bernstein a R ⁵ .

Simons (1968) demostró que no hay conos minimizadores no planares en R ⁷ , extendiendo así el teorema de Bernstein a R ⁸ . También demostró que la superficie definida por

${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ^{8}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}+x_{8}^{2}\}}$

es un cono localmente estable en R ⁸ , y se preguntó si minimiza el área globalmente.

Bombieri, De Giorgi y Giusti (1969) demostraron que el cono de Simons minimiza globalmente y que en R ⁿ para n ≥ 9 existen grafos minimales, pero no hiperplanos. En combinación con el resultado de Simons, esto demuestra que el análogo del teorema de Bernstein es cierto en R ⁿ para n ≤ 8 y falso en dimensiones superiores.

• Cono de Simons

• Almgren, FJ (1966), "Algunos teoremas de regularidad interior para superficies mínimas y una extensión del teorema de Bernstein", Annals of Mathematics , Segunda Serie, 84 (2): 277– 292, doi : 10.2307/1970520 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970520 , MR 0200816   
• Bernstein, SN (1915-1917), "Sur une théorème de géometrie et ses apps aux équations dérivées partielles du type elliptique", Comm. Soc. Matemáticas. Jarkov , 15 : 38-45​Traducción al alemán en Bernstein, Serge (1927), "Über ein geometrisches Theorem und seine Anwendung auf die partiellen Differentialgleichungen vom elliptischen Typus", Mathematische Zeitschrift (en alemán), 26 , Springer Berlin / Heidelberg: 551– 558, doi : 10.1007/BF01475472 , ISSN 0025-5874 
• Bombieri, Enrico ; De Giorgi, Ennio ; Giusti, E. (1969), "Conos mínimos y el problema de Bernstein", Inventiones Mathematicae , 7 (3): 243– 268, Bibcode : 1969InMat...7..243B , doi : 10.1007/BF01404309 , ISSN 0020-9910 , MR 0250205 , S2CID 59816096   
• De Giorgi, Ennio (1965), "Una extensión del teorema di Bernstein" , Ann. Norma de la escuela. Sorber. Pisa (3) , 19 : 79– 85, SEÑOR 0178385 
• Fleming, Wendell H. (1962), "Sobre el problema de la meseta orientada", Rediconti del Circolo Matematico di Palermo. Serie II , 11 : 69– 90, doi : 10.1007/BF02849427 , ISSN 0009-725X , SEÑOR 0157263  
• Sabitov, I. Kh. (2001) [1994], "Teorema de Bernstein" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Simons, James (1968), "Variedades mínimas en variedades riemannianas" , Annals of Mathematics , Segunda Serie, 88 (1): 62–105 , doi : 10.2307/1970556 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970556 , MR 0233295   
• Straume, E. (2001) [1994], "Problema de Bernstein en geometría diferencial" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press

• Artículo de la Enciclopedia de Matemáticas sobre el teorema de Bernstein.