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función de Bessel

Las funciones de Bessel describen la parte radial de las vibraciones de una membrana circular . Las funciones de Bessel son una clase de funciones especiales que aparecen comúnm...

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Las funciones de Bessel describen la parte radial de las vibraciones de una membrana circular .

Las funciones de Bessel son una clase de funciones especiales que aparecen comúnmente en problemas relacionados con el movimiento ondulatorio , la conducción de calor y otros fenómenos físicos con simetría circular o cilíndrica . Reciben su nombre del astrónomo y matemático alemán Friedrich Bessel , quien las estudió sistemáticamente en 1824. [ 1 ]

Las funciones de Bessel son soluciones a un tipo particular de ecuación diferencial ordinaria :incógnita2d2ydincógnita2+incógnitadydincógnita+(incógnita2−α2)y=0,{\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}+\left(x^{2}-\alpha ^{2}\right)y=0,}dóndeα{\displaystyle \alpha }es un número que determina la forma de la solución. Este número se llama orden de la función de Bessel y puede ser cualquier número complejo. Aunque la misma ecuación surge para ambosα{\displaystyle \alpha }y−α{\displaystyle -\alpha }Los matemáticos definen funciones de Bessel separadas para cada una para garantizar que las funciones se comporten de manera uniforme a medida que cambia el orden.

Los casos más importantes son cuandoα{\displaystyle \alpha }es un número entero o un semi-entero. Cuandoα{\displaystyle \alpha }es un número entero, las funciones de Bessel resultantes a menudo se denominan funciones cilíndricas o armónicos cilíndricos porque surgen naturalmente al resolver problemas (como la ecuación de Laplace) en coordenadas cilíndricas . Cuandoα{\displaystyle \alpha }es un semi-entero, las soluciones se denominan funciones de Bessel esféricas y se utilizan en sistemas esféricos, como en la resolución de la ecuación de Helmholtz en coordenadas esféricas .

Aplicaciones

La ecuación de Bessel surge al encontrar soluciones separables a la ecuación de Laplace y a la ecuación de Helmholtz en coordenadas cilíndricas o esféricas . Por lo tanto, las funciones de Bessel son especialmente importantes para muchos problemas de propagación de ondas y potenciales estáticos. Al resolver problemas en sistemas de coordenadas cilíndricas, se obtienen funciones de Bessel de orden entero (α=norte{\displaystyle \alpha =n}); en problemas esféricos, se obtienen órdenes semienteros (α=norte+1/2{\displaystyle \alpha =n+1/2}). Por ejemplo:

Las funciones de Bessel también aparecen en otros campos, como el procesamiento de señales (por ejemplo, véase síntesis de audio FM , ventana de Kaiser o filtro de Bessel ). Asimismo, aparecen en matemáticas puras como parte del desarrollo de Fourier de las formas de Maass .

Definiciones

Debido a que se trata de una ecuación diferencial lineal , las soluciones pueden escalarse a cualquier amplitud. Las amplitudes elegidas para las funciones provienen de trabajos anteriores en los que las funciones aparecían como soluciones de integrales definidas en lugar de soluciones de ecuaciones diferenciales. Debido a que la ecuación diferencial es de segundo orden, debe haber dos soluciones linealmente independientes : una de primer tipo y otra de segundo tipo. Sin embargo, según las circunstancias, resultan convenientes diversas formulaciones de estas soluciones. Diferentes variaciones se resumen en la tabla siguiente y se describen en las secciones posteriores. El subíndice n se utiliza normalmente en lugar deα{\displaystyle \alpha }cuandoα{\displaystyle \alpha }Se sabe que es un número entero.

Las funciones de Bessel de segundo tipo y las funciones de Bessel esféricas de segundo tipo se denotan a veces por N n y n n , respectivamente, en lugar de Y n y y n . [ 4 ] [ 5 ]

Funciones de Bessel de primera especie: J α

Gráfico de la función de Bessel de primer tipo,Jα(incógnita){\displaystyle J_{\alpha }(x)}, para órdenes enterasα=0,1,2{\displaystyle \alpha =0,1,2}.
Gráfico de la función de Bessel de primer tipoJα(z){\displaystyle J_{\alpha}(z)}conα=0,5{\displaystyle \alpha =0.5}en el avión desde−4−4i{\displaystyle -4-4i}a4+4i{\displaystyle 4+4i}.

Las funciones de Bessel de primera especie, denotadas como J α ( x ) , son soluciones de la ecuación diferencial de Bessel. Para α entero o positivo , las funciones de Bessel de primera especie son finitas en el origen ( x = 0 ); mientras que para α negativo no entero , las funciones de Bessel de primera especie divergen cuando x tiende a cero. Es posible definir la función mediante  incógnitaα{\displaystyle x^{\alpha }}veces una serie de Maclaurin (nótese que α no tiene por qué ser un número entero y no se permiten potencias no enteras en una serie de Taylor), que se puede encontrar aplicando el método de Frobenius a la ecuación de Bessel: [ 6 ]Jα(incógnita)=∑metro=0∞(−1)metrometro¡Γ(metro+α+1)(incógnita2)2metro+α,{\displaystyle J_{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{m!\,\Gamma (m+\alpha +1)}}{\left({\frac {x}{2}}\right)}^{2m+\alpha },} donde Γ( z ) es la función gamma , una generalización desplazada de la función factorial a valores no enteros. Algunos autores anteriores definen la función de Bessel de primera especie de manera diferente, esencialmente sin la división por2{\displaystyle 2}enincógnita/2{\displaystyle x/2}; [ 7 ] esta definición no se utiliza en este artículo. La función de Bessel de primer tipo es una función entera si α es un entero, de lo contrario es una función multivaluada con singularidad en cero. Las gráficas de las funciones de Bessel se parecen aproximadamente a funciones seno o coseno oscilantes que decaen proporcionalmente aincógnita−1/2{\displaystyle x^{-{1}/{2}}}(Véase también sus formas asintóticas más adelante), aunque sus raíces no son generalmente periódicas, excepto asintóticamente para valores grandes de x . (La serie indica que − J 1 ( x ) es la derivada de J 0 ( x ) , de forma similar a como −sin x es la derivada de cos x ; de forma más general, la derivada de J n ( x ) puede expresarse en términos de J n ± 1 ( x ) mediante las identidades que se muestran a continuación ).

Para α no entero , las funciones J α ( x ) y J − α ( x ) son linealmente independientes y, por lo tanto, son las dos soluciones de la ecuación diferencial. Por otro lado, para n de orden entero , se cumple la siguiente relación (la función gamma tiene polos simples en cada uno de los enteros no positivos): [ 8 ]J−norte(incógnita)=(−1)norteJnorte(incógnita).{\displaystyle J_{-n}(x)=(-1)^{n}J_{n}(x).}

Esto significa que las dos soluciones ya no son linealmente independientes. En este caso, la segunda solución linealmente independiente resulta ser la función de Bessel de segundo tipo, como se explica más adelante.

Integrales de Bessel

Otra definición de la función de Bessel, para valores enteros de n , es posible utilizando una representación integral: [ 9 ]Jnorte(incógnita)=1π∫0πporque⁡(norteτ−incógnitapecado⁡τ)dτ=1πRe⁡(∫0πmii(norteτ−incógnitapecado⁡τ)dτ),{\displaystyle J_{n}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(n\tau -x\sin \tau )\,d\tau ={\frac {1}{\pi }}\operatorname {Re} \left(\int _{0}^{\pi }e^{i(n\tau -x\sin \tau )}\,d\tau \bien),} que también se denomina fórmula de Hansen-Bessel. [ 10 ]

Este fue el enfoque que utilizó Bessel, [ 11 ] y a partir de esta definición derivó varias propiedades de la función. La definición puede extenderse a órdenes no enteros mediante una de las integrales de Schläfli, para Re( x ) > 0 : [ 9 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]Jα(incógnita)=1π∫0πporque⁡(ατ−incógnitapecado⁡τ)dτ−pecado⁡(απ)π∫0∞mi−incógnitasinh⁡t−αtdt.{\displaystyle J_{\alpha }(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(\alpha \tau -x\sin \tau )\,d\tau -{\frac {\sin(\alpha \pi )}{\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{-x\sinh t-\alpha t}\,dt.}

Relación con las series hipergeométricas

Las funciones de Bessel se pueden expresar en términos de la serie hipergeométrica generalizada como [ 16 ].Jα(incógnita)=(incógnita2)αΓ(α+1)0F1(−;α+1;−incógnita24).{\displaystyle J_{\alpha }(x)={\frac {\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}\;_{0}F_{1}\left(-;\alpha +1;-{\frac {x^{2}}{4}}\right).}

Esta expresión está relacionada con el desarrollo de las funciones de Bessel en términos de la función de Bessel-Clifford .

Relación con los polinomios de Laguerre

En términos de los polinomios de Laguerre L k y un parámetro t elegido arbitrariamente , la función de Bessel se puede expresar como [ 17 ].Jα(incógnita)(incógnita2)α=mi−tΓ(α+1)∑k=0∞Lk(α)(incógnita24t)(k+αk)tkk¡.{\displaystyle {\frac {J_{\alpha }(x)}{\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}}={\frac {e^{-t}}{\Gamma (\alpha +1)}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {L_{k}^{(\alpha )}\left({\frac {x^{2}}{4t}}\right)}{\binom {k+\alpha }{k}}}{\frac {t^{k}}{k!}}.}

Bessel functions of the second kind: Yα

Plot of Bessel function of the second kind, Yα(x){\displaystyle Y_{\alpha }(x)}, for integer orders α=0,1,2{\displaystyle \alpha =0,1,2}

The Bessel functions of the second kind, denoted by Yα(x), occasionally denoted instead by Nα(x), are solutions of the Bessel differential equation that have a singularity at the origin (x = 0) and are multivalued. These are sometimes called Weber functions, as they were introduced by H. M.Weber (1873), and also Neumann functions after Carl Neumann.[18]

For non-integer α, Yα(x) is related to Jα(x) by Yα(x)=Jα(x)cos⁡(απ)−J−α(x)sin⁡(απ).{\displaystyle Y_{\alpha }(x)={\frac {J_{\alpha }(x)\cos(\alpha \pi )-J_{-\alpha }(x)}{\sin(\alpha \pi )}}.}

In the case of integer order n, the function is defined by taking the limit as a non-integer α tends to n: Yn(x)=limα→nYα(x).{\displaystyle Y_{n}(x)=\lim _{\alpha \to n}Y_{\alpha }(x).}

If n is a nonnegative integer, we have the series[19]Yn(z)=−(z2)−nπ∑k=0n−1(n−k−1)!k!(z24)k+2πJn(z)ln⁡z2−(z2)nπ∑k=0∞(ψ(k+1)+ψ(n+k+1))(−z24)kk!(n+k)!{\displaystyle Y_{n}(z)=-{\frac {\left({\frac {z}{2}}\right)^{-n}}{\pi }}\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(nk-1)!}{k!}}\left({\frac {z^{2}}{4}}\right)^{k}+{\frac {2}{\pi }}J_{n}(z)\ln {\frac {z}{2}}-{\frac {\left({\frac {z}{2}}\right)^{n}}{\pi }}\sum _{k=0}^{\infty }(\psi (k+1)+\psi (n+k+1)){\frac {\left(-{\frac {z^{2}}{4}}\right)^{k}}{k!(n+k)!}}} where ψ(z){\displaystyle \psi (z)} is the digamma function, the logarithmic derivative of the gamma function.[5]

There is also a corresponding integral formula (for Re(x) > 0):[20]Yn(x)=1π∫0πsin⁡(xsin⁡θ−nθ)dθ−1π∫0∞(ent+(−1)ne−nt)e−xsinh⁡tdt.{\displaystyle Y_{n}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin(x\sin \theta -n\theta )\,d\theta -{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\left(e^{nt}+(-1)^{n}e^{-nt}\right)e^{-x\sinh t}\,dt.}

In the case where n = 0: (with γ{\displaystyle \gamma } being Euler's constant)Y0(x)=4π2∫012πcos⁡(xcos⁡θ)(γ+ln⁡(2xsin2⁡θ))dθ.{\displaystyle Y_{0}\left(x\right)={\frac {4}{\pi ^{2}}}\int _{0}^{{\frac {1}{2}}\pi }\cos \left(x\cos \theta \right)\left(\gamma +\ln \left(2x\sin ^{2}\theta \right)\right)\,d\theta .}

Plot of the Bessel function of the second kind Yα(z){\displaystyle Y_{\alpha }(z)} with α=0.5{\displaystyle \alpha =0.5} in the complex plane from −2−2i{\displaystyle -2-2i} to 2+2i{\displaystyle 2+2i}.

Yα(x) is necessary as the second linearly independent solution of the Bessel's equation when α is an integer. But Yα(x) has more meaning than that. It can be considered as a "natural" partner of Jα(x). See also the subsection on Hankel functions below.

When α is an integer, moreover, as was similarly the case for the functions of the first kind, the following relationship is valid: Y−n(x)=(−1)nYn(x).{\displaystyle Y_{-n}(x)=(-1)^{n}Y_{n}(x).}

Both Jα(x) and Yα(x) are holomorphic functions of x on the complex plane cut along the negative real axis. When α is an integer, the Bessel functions J are entire functions of x. If x is held fixed at a non-zero value, then the Bessel functions are entire functions of α.

The Bessel functions of the second kind, when α is an integer, are an example of the second kind of solution in Fuchs's theorem.

Hankel functions: H(1)α, H(2)α

Plot of the Hankel function of the first kind H(1)n(x) with n = −0.5 in the complex plane from −2 − 2i to 2 + 2i
Plot of the Hankel function of the second kind H(2)n(x) with n = −0.5 in the complex plane from −2 − 2i to 2 + 2i

Another important formulation of the two linearly independent solutions to Bessel's equation are the Hankel functions of the first and second kind, H(1)α(x) and H(2)α(x), defined as[21]Hα(1)(x)=Jα(x)+iYα(x),Hα(2)(x)=Jα(x)−iYα(x),{\displaystyle {\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(x)&=J_{\alpha }(x)+iY_{\alpha }(x),\\[5pt]H_{\alpha }^{(2)}(x)&=J_{\alpha }(x)-iY_{\alpha }(x),\end{aligned}}} where i is the imaginary unit. These linear combinations are also known as Bessel functions of the third kind; they are two linearly independent solutions of Bessel's differential equation. They are named after Hermann Hankel.

These forms of linear combination satisfy numerous simple-looking properties, like asymptotic formulae or integral representations. Here, "simple" means an appearance of a factor of the form eif(x). For real x>0{\displaystyle x>0} where Jα(x){\displaystyle J_{\alpha }(x)}, Yα(x){\displaystyle Y_{\alpha }(x)}son de valor real, las funciones de Bessel de primera y segunda especie son las partes real e imaginaria, respectivamente, de la primera función de Hankel y las partes real e imaginaria negativa de la segunda función de Hankel. Por lo tanto, las fórmulas anteriores son análogas a la fórmula de Euler , sustituyendo H (1) α ( x ) , H (2) α ( x ) pormi±iincógnita{\displaystyle e^{\pm ix}}yJα(incógnita){\displaystyle J_{\alpha }(x)},Yα(incógnita){\displaystyle Y_{\alpha }(x)}paraporque⁡(incógnita){\displaystyle \cos(x)},pecado⁡(incógnita){\displaystyle \sin(x)}, como se muestra explícitamente en el desarrollo asintótico .

Las funciones de Hankel se utilizan para expresar soluciones de ondas cilíndricas que se propagan hacia afuera y hacia adentro de la ecuación de ondas cilíndricas, respectivamente (o viceversa, dependiendo de la convención de signos para la frecuencia ).

Utilizando las relaciones anteriores, se pueden expresar como Hα(1)(incógnita)=J−α(incógnita)−mi−απiJα(incógnita)ipecado⁡απ,Hα(2)(incógnita)=J−α(incógnita)−miαπiJα(incógnita)−ipecado⁡απ.{\displaystyle {\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(x)&={\frac {J_{-\alpha }(x)-e^{-\alpha \pi i}J_{\alpha }(x)}{i\sin \alpha \pi }},\\[5pt]H_{\alpha }^{(2)}(x)&={\frac {J_{-\alpha }(x)-e^{\alpha \pi i}J_{\alpha }(x)}{-i\sin \alpha \pi }}.\end{aligned}}}

Si α es un número entero, se debe calcular el límite. Las siguientes relaciones son válidas, sea α un número entero o no: [ 22 ]H−α(1)(incógnita)=miαπiHα(1)(incógnita),H−α(2)(incógnita)=mi−απiHα(2)(incógnita).{\displaystyle {\begin{aligned}H_{-\alpha }^{(1)}(x)&=e^{\alpha \pi i}H_{\alpha }^{(1)}(x),\\[6mu]H_{-\alpha }^{(2)}(x)&=e^{-\alpha \pi i}H_{\alpha }^{(2)}(x).\end{aligned}}}

En particular, si α = m + 1/2 con m un entero no negativo , las relaciones anteriores implican directamente que J−(metro+12)(incógnita)=(−1)metro+1Ymetro+12(incógnita),Y−(metro+12)(incógnita)=(−1)metroJmetro+12(incógnita).{\displaystyle {\begin{aligned}J_{-(m+{\frac {1}{2}})}(x)&=(-1)^{m+1}Y_{m+{\frac {1}{2}}}(x),\\[5pt]Y_{-(m+{\frac {1}{2}})}(x)&=(-1)^{m}J_{m+{\frac {1}{2}}}(x).\end{aligned}}}

Estas son útiles para desarrollar las funciones de Bessel esféricas (véase más abajo).

Las funciones de Hankel admiten las siguientes representaciones integrales para Re( x ) > 0 : [ 23 ]Hα(1)(incógnita)=1πi∫−∞+∞+πimiincógnitasinh⁡t−αtdt,Hα(2)(incógnita)=−1πi∫−∞+∞−πimiincógnitasinh⁡t−αtdt,{\displaystyle {\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(x)&={\frac {1}{\pi i}}\int _{-\infty }^{+\infty +\pi i}e^{x\sinh t-\alpha t}\,dt,\\[5pt]H_{\alpha }^{(2)}(x)&=-{\frac {1}{\pi i}}\int _{-\infty }^{+\infty -\pi i}e^{x\sinh t-\alpha t}\,dt,\end{aligned}}} donde los límites de integración indican la integración a lo largo de un contorno que puede elegirse de la siguiente manera: de −∞ a 0 a lo largo del eje real negativo, de 0 a ± π i a lo largo del eje imaginario, y de ± π i a +∞ ± π i a lo largo de un contorno paralelo al eje real. [ 20 ]

Funciones de Bessel modificadas: I α , K α

Las funciones de Bessel son válidas incluso para argumentos complejos x , y un caso especial importante es el de un argumento puramente imaginario. En este caso, las soluciones de la ecuación de Bessel se denominan funciones de Bessel modificadas (o, en ocasiones, funciones de Bessel hiperbólicas ) de primera y segunda especie y se definen como [ 24 ].Iα(incógnita)=i−αJα(iincógnita)=∑metro=0∞1metro¡Γ(metro+α+1)(incógnita2)2metro+α,Kα(incógnita)=π2I−α(incógnita)−Iα(incógnita)pecado⁡απ,{\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(x)&=i^{-\alpha }J_{\alpha }(ix)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{m!\,\Gamma (m+\alpha +1)}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{2m+\alpha },\\[5pt]K_{\alpha }(x)&={\frac {\pi }{2}}{\frac {I_{-\alpha }(x)-I_{\alpha }(x)}{\sin \alpha \pi }},\end{aligned}}} when α is not an integer. When α is an integer, then the limit is used. These are chosen to be real-valued for real and positive arguments x. The series expansion for Iα(x) is thus similar to that for Jα(x), but without the alternating (−1)m factor.

Kα{\displaystyle K_{\alpha }} can be expressed in terms of Hankel functions: Kα(x)={π2iα+1Hα(1)(ix)−π<arg⁡x≤π2π2(−i)α+1Hα(2)(−ix)−π2<arg⁡x≤π{\displaystyle K_{\alpha }(x)={\begin{cases}{\frac {\pi }{2}}i^{\alpha +1}H_{\alpha }^{(1)}(ix)&-\pi <\arg x\leq {\frac {\pi }{2}}\\{\frac {\pi }{2}}(-i)^{\alpha +1}H_{\alpha }^{(2)}(-ix)&-{\frac {\pi }{2}}<\arg x\leq \pi \end{cases}}}

Using these two formulae the result to Jα2(z)+Yα2(z){\displaystyle J_{\alpha }^{2}(z)+Y_{\alpha }^{2}(z)}, commonly known as Nicholson's integral or Nicholson's formula, can be obtained to give the following Jα2(x)+Yα2(x)=8π2∫0∞cosh⁡(2αt)K0(2xsinh⁡t)dt,{\displaystyle J_{\alpha }^{2}(x)+Y_{\alpha }^{2}(x)={\frac {8}{\pi ^{2}}}\int _{0}^{\infty }\cosh(2\alpha t)K_{0}(2x\sinh t)\,dt,}

given that the condition Re(x) > 0 is met. It can also be shown that Jα2(x)+Yα2(x)=8cos⁡(απ)π2∫0∞K2α(2xsinh⁡t)dt,{\displaystyle J_{\alpha }^{2}(x)+Y_{\alpha }^{2}(x)={\frac {8\cos(\alpha \pi )}{\pi ^{2}}}\int _{0}^{\infty }K_{2\alpha }(2x\sinh t)\,dt,} only when |Re(α)| < ⁠1/2⁠ and Re(x) ≥ 0 but not when x = 0.[25]

We can express the first and second Bessel functions in terms of the modified Bessel functions (these are valid if −π < arg z ≤ ⁠π/2⁠):[26]Jα(iz)=eαπi2Iα(z),Yα(iz)=e(α+1)πi2Iα(z)−2πe−απi2Kα(z).{\displaystyle {\begin{aligned}J_{\alpha }(iz)&=e^{\frac {\alpha \pi i}{2}}I_{\alpha }(z),\\[1ex]Y_{\alpha }(iz)&=e^{\frac {(\alpha +1)\pi i}{2}}I_{\alpha }(z)-{\tfrac {2}{\pi }}e^{-{\frac {\alpha \pi i}{2}}}K_{\alpha }(z).\end{aligned}}}

Iα(x) and Kα(x) are the two linearly independent solutions to the modified Bessel's equation:[27]x2d2ydx2+xdydx−(x2+α2)y=0.{\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}-\left(x^{2}+\alpha ^{2}\right)y=0.}

Unlike the ordinary Bessel functions, which are oscillating as functions of a real argument, Iα and Kα are exponentially growing and decaying functions respectively. Like the ordinary Bessel function Jα, the function Iα goes to zero at x = 0 for α > 0 and is finite at x = 0 for α = 0. Analogously, Kα diverges at x = 0 with the singularity being of logarithmic type for K0, and ⁠1/2⁠Γ(|α|)(2/x)|α| otherwise.[28]

Two integral formulas for the modified Bessel functions are (for Re(x) > 0):[29]Iα(x)=1π∫0πexcos⁡θcos⁡αθdθ−sin⁡αππ∫0∞e−xcosh⁡t−αtdt,Kα(x)=∫0∞e−xcosh⁡tcosh⁡αtdt.{\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(x)&={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }e^{x\cos \theta }\cos \alpha \theta \,d\theta -{\frac {\sin \alpha \pi }{\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{-x\cosh t-\alpha t}\,dt,\\[5pt]K_{\alpha }(x)&=\int _{0}^{\infty }e^{-x\cosh t}\cosh \alpha t\,dt.\end{aligned}}}

Bessel functions can be described as Fourier transforms of powers of quadratic functions. For example (for Re(ω) > 0): 2K0(ω)=∫−∞∞eiωtt2+1dt.{\displaystyle 2\,K_{0}(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{i\omega t}}{\sqrt {t^{2}+1}}}\,dt.}

It can be proven by showing equality to the above integral definition for K0. This is done by integrating a closed curve in the first quadrant of the complex plane.

Modified Bessel functions of the second kind may be represented with Bassett's integral [30]Kn(xz)=Γ(n+12)(2z)nπxn∫0∞cos⁡(xt)dt(t2+z2)n+12.{\displaystyle K_{n}(xz)={\frac {\Gamma {\left(n+{\frac {1}{2}}\right)}(2z)^{n}}{{\sqrt {\pi }}x^{n}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\cos(xt)\,dt}{(t^{2}+z^{2})^{n+{\frac {1}{2}}}}}.}

Modified Bessel functions K1/3 and K2/3 can be represented in terms of rapidly convergent integrals[31]K13(ξ)=3∫0∞exp⁡(−ξ(1+4x23)1+x23)dx,K23(ξ)=13∫0∞3+2x21+x23exp⁡(−ξ(1+4x23)1+x23)dx.{\displaystyle {\begin{aligned}K_{\frac {1}{3}}(\xi )&={\sqrt {3}}\int _{0}^{\infty }\exp \left(-\xi \left(1+{\frac {4x^{2}}{3}}\right){\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{3}}}}\right)\,dx,\\[5pt]K_{\frac {2}{3}}(\xi )&={\frac {1}{\sqrt {3}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {3+2x^{2}}{\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{3}}}}}\exp \left(-\xi \left(1+{\frac {4x^{2}}{3}}\right){\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{3}}}}\right)\,dx.\end{aligned}}}

The modified Bessel function K12(ξ)=(2ξ/π)−1/2exp⁡(−ξ){\displaystyle K_{\frac {1}{2}}(\xi )=(2\xi /\pi )^{-1/2}\exp(-\xi )} is useful to represent the Laplace distribution as an Exponential-scale mixture of normal distributions.

The modified Bessel function of the second kind has also been called by the following names (now rare):

Spherical Bessel functions: jn, yn

Plot of the spherical Bessel function of the first kind jn(z) with n = 0.5 in the complex plane from −2 − 2i to 2 + 2i
Plot of the spherical Bessel function of the second kind yn(z) with n = 0.5 in the complex plane from −2 − 2i to 2 + 2i
Spherical Bessel functions of the first kind jα(x){\displaystyle j_{\alpha }(x)}, for α=0,1,2{\displaystyle \alpha =0,1,2}.
Spherical Bessel functions of the second kind yα(x){\displaystyle y_{\alpha }(x)}, for α=0,1,2{\displaystyle \alpha =0,1,2}.

When solving the Helmholtz equation in spherical coordinates by separation of variables, the radial equation has the form x2d2ydx2+2xdydx+(x2−n(n+1))y=0.{\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+2x{\frac {dy}{dx}}+\left(x^{2}-n(n+1)\right)y=0.}

The two linearly independent solutions to this equation are called the spherical Bessel functionsjn and yn, and are related to the ordinary Bessel functions Jn and Yn by[33]jn(x)=π2xJn+12(x),yn(x)=π2xYn+12(x)=(−1)n+1π2xJ−n−12(x).{\displaystyle {\begin{aligned}j_{n}(x)&={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{n+{\frac {1}{2}}}(x),\\y_{n}(x)&={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}Y_{n+{\frac {1}{2}}}(x)=(-1)^{n+1}{\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{-n-{\frac {1}{2}}}(x).\end{aligned}}}

yn is also denoted nn or ηn; some authors call these functions the spherical Neumann functions.

From the relations to the ordinary Bessel functions it is directly seen that: jn(x)=(−1)ny−n−1(x)yn(x)=(−1)n+1j−n−1(x){\displaystyle {\begin{aligned}j_{n}(x)&=(-1)^{n}y_{-n-1}(x)\\y_{n}(x)&=(-1)^{n+1}j_{-n-1}(x)\end{aligned}}}

The spherical Bessel functions can also be written as (Rayleigh's formulas)[34]jn(x)=(−x)n(1xddx)nsin⁡xx,yn(x)=−(−x)n(1xddx)ncos⁡xx.{\displaystyle {\begin{aligned}j_{n}(x)&=(-x)^{n}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{n}{\frac {\sin x}{x}},\\y_{n}(x)&=-(-x)^{n}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{n}{\frac {\cos x}{x}}.\end{aligned}}}

The zeroth spherical Bessel function j0(x) is also known as the (unnormalized) sinc function. The first few spherical Bessel functions are:[35]j0(x)=sin⁡xx.j1(x)=sin⁡xx2−cos⁡xx,j2(x)=(3x2−1)sin⁡xx−3cos⁡xx2,j3(x)=(15x3−6x)sin⁡xx−(15x2−1)cos⁡xx{\displaystyle {\begin{aligned}j_{0}(x)&={\frac {\sin x}{x}}.\\j_{1}(x)&={\frac {\sin x}{x^{2}}}-{\frac {\cos x}{x}},\\j_{2}(x)&=\left({\frac {3}{x^{2}}}-1\right){\frac {\sin x}{x}}-{\frac {3\cos x}{x^{2}}},\\j_{3}(x)&=\left({\frac {15}{x^{3}}}-{\frac {6}{x}}\right){\frac {\sin x}{x}}-\left({\frac {15}{x^{2}}}-1\right){\frac {\cos x}{x}}\end{aligned}}} and[36]y0(x)=−j−1(x)=−cos⁡xx,y1(x)=j−2(x)=−cos⁡xx2−sin⁡xx,y2(x)=−j−3(x)=(−3x2+1)cos⁡xx−3sin⁡xx2,y3(x)=j−4(x)=(−15x3+6x)cos⁡xx−(15x2−1)sin⁡xx.{\displaystyle {\begin{aligned}y_{0}(x)&=-j_{-1}(x)=-{\frac {\cos x}{x}},\\y_{1}(x)&=j_{-2}(x)=-{\frac {\cos x}{x^{2}}}-{\frac {\sin x}{x}},\\y_{2}(x)&=-j_{-3}(x)=\left(-{\frac {3}{x^{2}}}+1\right){\frac {\cos x}{x}}-{\frac {3\sin x}{x^{2}}},\\y_{3}(x)&=j_{-4}(x)=\left(-{\frac {15}{x^{3}}}+{\frac {6}{x}}\right){\frac {\cos x}{x}}-\left({\frac {15}{x^{2}}}-1\right){\frac {\sin x}{x}}.\end{aligned}}}

The first few non-zero roots of the first few spherical Bessel functions are:

Generating function

The spherical Bessel functions have the generating functions[37]1zcos⁡(z2−2zt)=∑n=0∞tnn!jn−1(z),1zsin⁡(z2−2zt)=∑n=0∞tnn!yn−1(z).{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{z}}\cos \left({\sqrt {z^{2}-2zt}}\right)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}j_{n-1}(z),\\{\frac {1}{z}}\sin \left({\sqrt {z^{2}-2zt}}\right)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}y_{n-1}(z).\end{aligned}}}

Finite series expansions

In contrast to the whole integer Bessel functions Jn(x), Yn(x), the spherical Bessel functions jn(x), yn(x) have a finite series expression:[38]jn(x)=π2xJn+12(x)=12x[eix∑r=0nir−n−1(n+r)!r!(n−r)!(2x)r+e−ix∑r=0n(−i)r−n−1(n+r)!r!(n−r)!(2x)r]=1x[sin⁡(x−nπ2)∑r=0⌊n2⌋(−1)r(n+2r)!(2r)!(n−2r)!(2x)2r+cos⁡(x−nπ2)∑r=0⌊n−12⌋(−1)r(n+2r+1)!(2r+1)!(n−2r−1)!(2x)2r+1]{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}j_{n}(x)&={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{n+{\frac {1}{2}}}(x)\\&={\frac {1}{2x}}\left[e^{ix}\sum _{r=0}^{n}{\frac {i^{r-n-1}(n+r)!}{r!(n-r)!(2x)^{r}}}+e^{-ix}\sum _{r=0}^{n}{\frac {(-i)^{r-n-1}(n+r)!}{r!(n-r)!(2x)^{r}}}\right]\\&={\frac {1}{x}}\left[\sin \left(x-{\frac {n\pi }{2}}\right)\sum _{r=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {(-1)^{r}(n+2r)!}{(2r)!(n-2r)!(2x)^{2r}}}+\cos \left(x-{\frac {n\pi }{2}}\right)\sum _{r=0}^{\left\lfloor {\frac {n-1}{2}}\right\rfloor }{\frac {(-1)^{r}(n+2r+1)!}{(2r+1)!(n-2r-1)!(2x)^{2r+1}}}\right]\\\end{alignedat}}}yn(x)=(−1)n+1j−n−1(x)=(−1)n+1π2xJ−(n+12)(x)=(−1)n+12x[eix∑r=0nir+n(n+r)!r!(n−r)!(2x)r+e−ix∑r=0n(−i)r+n(n+r)!r!(n−r)!(2x)r]=(−1)n+1x[cos⁡(x+nπ2)∑r=0⌊n2⌋(−1)r(n+2r)!(2r)!(n−2r)!(2x)2r−sin⁡(x+nπ2)∑r=0⌊n−12⌋(−1)r(n+2r+1)!(2r+1)!(n−2r−1)!(2x)2r+1]{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}y_{n}(x)&=(-1)^{n+1}j_{-n-1}(x)=(-1)^{n+1}{\frac {\pi }{2x}}J_{-\left(n+{\frac {1}{2}}\right)}(x)\\&={\frac {(-1)^{n+1}}{2x}}\left[e^{ix}\sum _{r=0}^{n}{\frac {i^{r+n}(n+r)!}{r!(n-r)!(2x)^{r}}}+e^{-ix}\sum _{r=0}^{n}{\frac {(-i)^{r+n}(n+r)!}{r!(n-r)!(2x)^{r}}}\right]\\&={\frac {(-1)^{n+1}}{x}}\left[\cos \left(x+{\frac {n\pi }{2}}\right)\sum _{r=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {(-1)^{r}(n+2r)!}{(2r)!(n-2r)!(2x)^{2r}}}-\sin \left(x+{\frac {n\pi }{2}}\right)\sum _{r=0}^{\left\lfloor {\frac {n-1}{2}}\right\rfloor }{\frac {(-1)^{r}(n+2r+1)!}{(2r+1)!(n-2r-1)!(2x)^{2r+1}}}\right]\end{alignedat}}}

Differential relations

In the following, fn is any of jn, yn, h(1)n, h(2)n for n = 0, ±1, ±2, ...[39](1zddz)m(zn+1fn(z))=zn−m+1fn−m(z),(1zddz)m(z−nfn(z))=(−1)mz−n−mfn+m(z).{\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {1}{z}}{\frac {d}{dz}}\right)^{m}\left(z^{n+1}f_{n}(z)\right)&=z^{n-m+1}f_{n-m}(z),\\\left({\frac {1}{z}}{\frac {d}{dz}}\right)^{m}\left(z^{-n}f_{n}(z)\right)&=(-1)^{m}z^{-n-m}f_{n+m}(z).\end{aligned}}}

Spherical Hankel functions: h(1)n, h(2)n

Plot of the spherical Hankel function of the first kind h(1)n(x) with n = −0.5 in the complex plane from −2 − 2i to 2 + 2i
Plot of the spherical Hankel function of the second kind h(2)n(x) with n = −0.5 in the complex plane from −2 − 2i to 2 + 2i

There are also spherical analogues of the Hankel functions: hn(1)(x)=jn(x)+iyn(x),hn(2)(x)=jn(x)−iyn(x).{\displaystyle {\begin{aligned}h_{n}^{(1)}(x)&=j_{n}(x)+iy_{n}(x),\\h_{n}^{(2)}(x)&=j_{n}(x)-iy_{n}(x).\end{aligned}}}

There are simple closed-form expressions for the Bessel functions of half-integer order in terms of the standard trigonometric functions, and therefore for the spherical Bessel functions. In particular, for non-negative integers n: hn(1)(x)=(−i)n+1eixx∑m=0nimm!(2x)m(n+m)!(n−m)!,{\displaystyle h_{n}^{(1)}(x)=(-i)^{n+1}{\frac {e^{ix}}{x}}\sum _{m=0}^{n}{\frac {i^{m}}{m!\,(2x)^{m}}}{\frac {(n+m)!}{(n-m)!}},} and h(2)n is the complex-conjugate of this (for real x). It follows, for example, that j0(x) = ⁠sin x/x⁠ and y0(x) = −⁠cos x/x⁠, and so on.

The spherical Hankel functions appear in problems involving spherical wave propagation, for example in the multipole expansion of the electromagnetic field.

Riccati–Bessel functions: Sn, Cn, ξn, ζn

Riccati–Bessel functions only slightly differ from spherical Bessel functions: Sn(x)=xjn(x)=πx2Jn+12(x)Cn(x)=−xyn(x)=−πx2Yn+12(x)ξn(x)=xhn(1)(x)=πx2Hn+12(1)(x)=Sn(x)−iCn(x)ζn(x)=xhn(2)(x)=πx2Hn+12(2)(x)=Sn(x)+iCn(x){\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}(x)&=xj_{n}(x)={\sqrt {\frac {\pi x}{2}}}J_{n+{\frac {1}{2}}}(x)\\C_{n}(x)&=-xy_{n}(x)=-{\sqrt {\frac {\pi x}{2}}}Y_{n+{\frac {1}{2}}}(x)\\\xi _{n}(x)&=xh_{n}^{(1)}(x)={\sqrt {\frac {\pi x}{2}}}H_{n+{\frac {1}{2}}}^{(1)}(x)=S_{n}(x)-iC_{n}(x)\\\zeta _{n}(x)&=xh_{n}^{(2)}(x)={\sqrt {\frac {\pi x}{2}}}H_{n+{\frac {1}{2}}}^{(2)}(x)=S_{n}(x)+iC_{n}(x)\end{aligned}}}

Gráfico complejo de funciones de Riccati-Bessel Sn desde -2-2i hasta 2+2i
Riccati–Bessel functions Sn complex plot from −2 − 2i to 2 + 2i

They satisfy the differential equation x2d2ydx2+(x2−n(n+1))y=0.{\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+\left(x^{2}-n(n+1)\right)y=0.}

For example, this kind of differential equation appears in quantum mechanics while solving the radial component of the Schrödinger equation with hypothetical cylindrical infinite potential barrier.[40] This differential equation, and the Riccati–Bessel solutions, also arises in the problem of scattering of electromagnetic waves by a sphere, known as Mie scattering after the first published solution by Mie (1908). See e.g., Du (2004)[41] for recent developments and references.

Following Debye (1909), the notation ψn, χn is sometimes used instead of Sn, Cn.

Asymptotic forms

The Bessel functions have the following asymptotic forms. For small arguments 0<z≪α+1{\displaystyle 0<z\ll {\sqrt {\alpha +1}}}, one obtains, when α{\displaystyle \alpha } is not a negative integer:[6]Jα(z)∼1Γ(α+1)(z2)α.{\displaystyle J_{\alpha }(z)\sim {\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\left({\frac {z}{2}}\right)^{\alpha }.}

When α is a negative integer, we have Jα(z)∼(−1)α(−α)!(2z)α.{\displaystyle J_{\alpha }(z)\sim {\frac {(-1)^{\alpha }}{(-\alpha )!}}\left({\frac {2}{z}}\right)^{\alpha }.}

For the Bessel function of the second kind we have three cases: Yα(z)∼{2π(ln⁡(z2)+γ)if α=0−Γ(α)π(2z)α+1Γ(α+1)(z2)αcot⁡(απ)if α is a positive integer,−(−1)αΓ(−α)π(z2)αif α is a negative integer,{\displaystyle Y_{\alpha }(z)\sim {\begin{cases}{\dfrac {2}{\pi }}\left(\ln \left({\dfrac {z}{2}}\right)+\gamma \right)&{\text{if }}\alpha =0\\[1ex]-{\dfrac {\Gamma (\alpha )}{\pi }}\left({\dfrac {2}{z}}\right)^{\alpha }+{\dfrac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\left({\dfrac {z}{2}}\right)^{\alpha }\cot(\alpha \pi )&{\text{if }}\alpha {\text{ is a positive integer,}}\\[1ex]-{\dfrac {(-1)^{\alpha }\Gamma (-\alpha )}{\pi }}\left({\dfrac {z}{2}}\right)^{\alpha }&{\text{if }}\alpha {\text{ is a negative integer,}}\end{cases}}} where γ is the Euler–Mascheroni constant (0.5772...). For the second case (where α{\displaystyle \alpha } is a positive integer) one term will dominate unless α{\displaystyle \alpha } is imaginary.

For large real arguments z ≫ |α2 − ⁠1/4⁠|, one cannot write a true asymptotic form for Bessel functions of the first and second kind (unless α is half-integer) because they have zeros all the way out to infinity, which would have to be matched exactly by any asymptotic expansion. However, for a given value of arg z one can write an equation containing a term of order |z|−1:[42]Jα(z)=2πz(cos⁡(z−απ2−π4)+e|Im⁡(z)|O(|z|−1))for |arg⁡z|<π,Yα(z)=2πz(sin⁡(z−απ2−π4)+e|Im⁡(z)|O(|z|−1))for |arg⁡z|<π.{\displaystyle {\begin{aligned}J_{\alpha }(z)&={\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}\left(\cos \left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)+e^{\left|\operatorname {Im} (z)\right|}{\mathcal {O}}\left(|z|^{-1}\right)\right)&&{\text{for }}\left|\arg z\right|<\pi ,\\Y_{\alpha }(z)&={\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}\left(\sin \left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)+e^{\left|\operatorname {Im} (z)\right|}{\mathcal {O}}\left(|z|^{-1}\right)\right)&&{\text{for }}\left|\arg z\right|<\pi .\end{aligned}}}

(For α = ⁠1/2⁠, the last terms in these formulas drop out completely; see the spherical Bessel functions above.)

The asymptotic forms for the Hankel functions are: Hα(1)(z)∼2πzei(z−απ2−π4)for −π<arg⁡z<2π,Hα(2)(z)∼2πze−i(z−απ2−π4)for −2π<arg⁡z<π.{\displaystyle {\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(z)&\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}e^{i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}-\pi <\arg z<2\pi ,\\H_{\alpha }^{(2)}(z)&\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}e^{-i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}-2\pi <\arg z<\pi .\end{aligned}}}

These can be extended to other values of arg z using equations relating H(1)α(zeimπ) and H(2)α(zeimπ) to H(1)α(z) and H(2)α(z).[43]

It is interesting that although the Bessel function of the first kind is the average of the two Hankel functions, Jα(z) is not asymptotic to the average of these two asymptotic forms when z is negative (because one or the other will not be correct there, depending on the arg z used). But the asymptotic forms for the Hankel functions permit us to write asymptotic forms for the Bessel functions of first and second kinds for complex (non-real) z so long as |z| goes to infinity at a constant phase angle arg z (using the square root having positive real part): Jα(z)∼12πzei(z−απ2−π4)for −π<arg⁡z<0,Jα(z)∼12πze−i(z−απ2−π4)for 0<arg⁡z<π,Yα(z)∼−i12πzei(z−απ2−π4)for −π<arg⁡z<0,Yα(z)∼i12πze−i(z−απ2−π4)for 0<arg⁡z<π.{\displaystyle {\begin{aligned}J_{\alpha }(z)&\sim {\frac {1}{\sqrt {2\pi z}}}e^{i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}-\pi <\arg z<0,\\[1ex]J_{\alpha }(z)&\sim {\frac {1}{\sqrt {2\pi z}}}e^{-i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}0<\arg z<\pi ,\\[1ex]Y_{\alpha }(z)&\sim -i{\frac {1}{\sqrt {2\pi z}}}e^{i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}-\pi <\arg z<0,\\[1ex]Y_{\alpha }(z)&\sim i{\frac {1}{\sqrt {2\pi z}}}e^{-i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}0<\arg z<\pi .\end{aligned}}}

For the modified Bessel functions, Hankel developed asymptotic expansions as well:[44][45]Iα(z)∼ez2πz(1−4α2−18z+(4α2−1)(4α2−9)2!(8z)2−(4α2−1)(4α2−9)(4α2−25)3!(8z)3+⋯)for |arg⁡z|<π2,Kα(z)∼π2ze−z(1+4α2−18z+(4α2−1)(4α2−9)2!(8z)2+(4α2−1)(4α2−9)(4α2−25)3!(8z)3+⋯)for |arg⁡z|<3π2.{\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(z)&\sim {\frac {e^{z}}{\sqrt {2\pi z}}}\left(1-{\frac {4\alpha ^{2}-1}{8z}}+{\frac {\left(4\alpha ^{2}-1\right)\left(4\alpha ^{2}-9\right)}{2!(8z)^{2}}}-{\frac {\left(4\alpha ^{2}-1\right)\left(4\alpha ^{2}-9\right)\left(4\alpha ^{2}-25\right)}{3!(8z)^{3}}}+\cdots \right)&&{\text{for }}\left|\arg z\right|<{\frac {\pi }{2}},\\K_{\alpha }(z)&\sim {\sqrt {\frac {\pi }{2z}}}e^{-z}\left(1+{\frac {4\alpha ^{2}-1}{8z}}+{\frac {\left(4\alpha ^{2}-1\right)\left(4\alpha ^{2}-9\right)}{2!(8z)^{2}}}+{\frac {\left(4\alpha ^{2}-1\right)\left(4\alpha ^{2}-9\right)\left(4\alpha ^{2}-25\right)}{3!(8z)^{3}}}+\cdots \right)&&{\text{for }}\left|\arg z\right|<{\frac {3\pi }{2}}.\end{aligned}}}

There is also the asymptotic form (for large real z{\displaystyle z})[46]Iα(z)=12πz1+α2z24exp⁡(−αarcsinh⁡(αz)+z1+α2z2)(1+O(1z1+α2z2)).{\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(z)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi z}}{\sqrt[{4}]{1+{\frac {\alpha ^{2}}{z^{2}}}}}}}\exp \left(-\alpha \operatorname {arcsinh} \left({\frac {\alpha }{z}}\right)+z{\sqrt {1+{\frac {\alpha ^{2}}{z^{2}}}}}\right)\left(1+{\mathcal {O}}\left({\frac {1}{z{\sqrt {1+{\frac {\alpha ^{2}}{z^{2}}}}}}}\right)\right).\end{aligned}}}

When α = ⁠1/2⁠, all the terms except the first vanish, and we have I1/2(z)=2πsinh⁡(z)z∼ez2πzfor |arg⁡z|<π2,K1/2(z)=π2e−zz.{\displaystyle {\begin{aligned}I_{{1}/{2}}(z)&={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {\sinh(z)}{\sqrt {z}}}\sim {\frac {e^{z}}{\sqrt {2\pi z}}}&&{\text{for }}\left|\arg z\right|<{\tfrac {\pi }{2}},\\[1ex]K_{{1}/{2}}(z)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}{\frac {e^{-z}}{\sqrt {z}}}.\end{aligned}}}

For small arguments 0<|z|≪α+1{\displaystyle 0<|z|\ll {\sqrt {\alpha +1}}}, we have Iα(z)∼1Γ(α+1)(z2)α,Kα(z)∼{−ln⁡(z2)−γif α=0Γ(α)2(2z)αif α>0{\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(z)&\sim {\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\left({\frac {z}{2}}\right)^{\alpha },\\[1ex]K_{\alpha }(z)&\sim {\begin{cases}-\ln \left({\dfrac {z}{2}}\right)-\gamma &{\text{if }}\alpha =0\\[1ex]{\frac {\Gamma (\alpha )}{2}}\left({\dfrac {2}{z}}\right)^{\alpha }&{\text{if }}\alpha >0\end{cases}}\end{aligned}}}

Properties

For any Bessel function whose order α{\displaystyle \alpha } is not a negative integer, the derivatives of the function can be defined as: [47]

ddxJα(x)=Jα−1(x)−αxJα(x){\displaystyle {d \over dx}J_{\alpha }(x)=J_{\alpha -1}(x)-{\alpha \over x}J_{\alpha }(x)}

or, equivalently,

ddxJα(x)=αxJα(x)−Jα+1(x){\displaystyle {d \over dx}J_{\alpha }(x)={\alpha \over x}J_{\alpha }(x)-J_{\alpha +1}(x)}

These formulas can be used to determine a recurrence relation for Jα(x){\displaystyle J_{\alpha }(x)}, a more general form of which is given below.[47]

For integer order α = n, Jn is often defined via a Laurent series for a generating function: ex2(t−1t)=∑n=−∞∞Jn(x)tn{\displaystyle e^{{\frac {x}{2}}\left(t-{\frac {1}{t}}\right)}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}(x)t^{n}} an approach used by P. A. Hansen in 1843. (This can be generalized to non-integer order by contour integration or other methods.)

Infinite series of Bessel functions in the form ∑ν=−∞∞JNν+p(x){\textstyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{N\nu +p}(x)} where ν,p∈Z, N∈Z+\nu ,p\in \mathbb {Z} ,\ N\in \mathbb {Z} ^{+} arise in many physical systems and are defined in closed form by the Sung series.[48] For example, when N = 3: ∑ν=−∞∞J3ν+p(x)=13[1+2cos⁡(x3/2−2πp/3)]{\textstyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{3\nu +p}(x)={\frac {1}{3}}\left[1+2\cos {(x{\sqrt {3}}/2-2\pi p/3)}\right]}. More generally, the Sung series and the alternating Sung series are written as: ∑ν=−∞∞JNν+p(x)=1N∑q=0N−1eixsin⁡2πq/Ne−i2πpq/N{\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{N\nu +p}(x)={\frac {1}{N}}\sum _{q=0}^{N-1}e^{ix\sin {2\pi q/N}}e^{-i2\pi pq/N}}∑ν=−∞∞(−1)νJNν+p(x)=1N∑q=0N−1eixsin⁡(2q+1)π/Ne−i(2q+1)πp/N{\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }(-1)^{\nu }J_{N\nu +p}(x)={\frac {1}{N}}\sum _{q=0}^{N-1}e^{ix\sin {(2q+1)\pi /N}}e^{-i(2q+1)\pi p/N}}

A series expansion using Bessel functions (Kapteyn series) is 11−z=1+2∑n=1∞Jn(nz).{\displaystyle {\frac {1}{1-z}}=1+2\sum _{n=1}^{\infty }J_{n}(nz).}

Another important relation for integer orders is the Jacobi–Anger expansion: eizcos⁡ϕ=∑n=−∞∞inJn(z)einϕ{\displaystyle e^{iz\cos \phi }=\sum _{n=-\infty }^{\infty }i^{n}J_{n}(z)e^{in\phi }} and

eizsin⁡θ≡∑n=−∞∞Jn(z)einθ.{\displaystyle e^{iz\sin \theta }\equiv \sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}(z)\,e^{in\theta }.}

The latter is equivalent to e±izsin⁡ϕ=J0(z)+2∑n=1∞J2n(z)cos⁡(2nϕ)±2i∑n=0∞J2n+1(z)sin⁡((2n+1)ϕ){\displaystyle e^{\pm iz\sin \phi }=J_{0}(z)+2\sum _{n=1}^{\infty }J_{2n}(z)\cos(2n\phi )\pm 2i\sum _{n=0}^{\infty }J_{2n+1}(z)\sin((2n+1)\phi )} which is used to expand a plane wave as a sum of cylindrical waves, or to find the Fourier series of a tone-modulated FM signal.

More generally, a series f(z)=a0νJν(z)+2⋅∑k=1∞akνJν+k(z){\displaystyle f(z)=a_{0}^{\nu }J_{\nu }(z)+2\cdot \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}^{\nu }J_{\nu +k}(z)} is called Neumann expansion of f. The coefficients for ν = 0 have the explicit form ak0=12πi∫|z|=cf(z)Ok(z)dz{\displaystyle a_{k}^{0}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{|z|=c}f(z)O_{k}(z)\,dz} where Ok is Neumann's polynomial.[49]

Selected functions admit the special representation f(z)=∑k=0∞akνJν+2k(z){\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}^{\nu }J_{\nu +2k}(z)} with akν=2(ν+2k)∫0∞f(z)Jν+2k(z)zdz{\displaystyle a_{k}^{\nu }=2(\nu +2k)\int _{0}^{\infty }f(z){\frac {J_{\nu +2k}(z)}{z}}\,dz} due to the orthogonality relation ∫0∞Jα(z)Jβ(z)dzz=2πsin⁡(π2(α−β))α2−β2{\displaystyle \int _{0}^{\infty }J_{\alpha }(z)J_{\beta }(z){\frac {dz}{z}}={\frac {2}{\pi }}{\frac {\sin \left({\frac {\pi }{2}}(\alpha -\beta )\right)}{\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}}

More generally, if f has a branch-point near the origin of such a nature that f(z)=∑k=0akJν+k(z){\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}a_{k}J_{\nu +k}(z)} then L{∑k=0akJν+k}(s)=11+s2∑k=0ak(s+1+s2)ν+k{\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{\sum _{k=0}a_{k}J_{\nu +k}\right\}(s)={\frac {1}{\sqrt {1+s^{2}}}}\sum _{k=0}{\frac {a_{k}}{\left(s+{\sqrt {1+s^{2}}}\right)^{\nu +k}}}} or ∑k=0akξν+k=1+ξ22ξL{f}(1−ξ22ξ){\displaystyle \sum _{k=0}a_{k}\xi ^{\nu +k}={\frac {1+\xi ^{2}}{2\xi }}{\mathcal {L}}\{f\}\left({\frac {1-\xi ^{2}}{2\xi }}\right)} where L{f}{\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}} is the Laplace transform of f.[50]

Another way to define the Bessel functions is the Poisson representation formula and the Mehler-Sonine formula: Jν(z)=(z2)νΓ(ν+12)π∫−11eizs(1−s2)ν−12ds=2(z2)ν⋅π⋅Γ(12−ν)∫1∞sin⁡zu(u2−1)ν+12du{\displaystyle {\begin{aligned}J_{\nu }(z)&={\frac {\left({\frac {z}{2}}\right)^{\nu }}{\Gamma \left(\nu +{\frac {1}{2}}\right){\sqrt {\pi }}}}\int _{-1}^{1}e^{izs}\left(1-s^{2}\right)^{\nu -{\frac {1}{2}}}\,ds\\[5px]&={\frac {2}{{\left({\frac {z}{2}}\right)}^{\nu }\cdot {\sqrt {\pi }}\cdot \Gamma \left({\frac {1}{2}}-\nu \right)}}\int _{1}^{\infty }{\frac {\sin zu}{\left(u^{2}-1\right)^{\nu +{\frac {1}{2}}}}}\,du\end{aligned}}} where ν > −⁠1/2⁠ and z ∈ C.[51] This formula is useful especially when working with Fourier transforms.

Because Bessel's equation becomes Hermitian (self-adjoint) if it is divided by x, the solutions must satisfy an orthogonality relationship for appropriate boundary conditions. In particular, it follows that: ∫01xJα(xuα,m)Jα(xuα,n)dx=δm,n2[Jα+1(uα,m)]2=δm,n2[Jα′(uα,m)]2{\displaystyle \int _{0}^{1}xJ_{\alpha }\left(xu_{\alpha ,m}\right)J_{\alpha }\left(xu_{\alpha ,n}\right)\,dx={\frac {\delta _{m,n}}{2}}\left[J_{\alpha +1}\left(u_{\alpha ,m}\right)\right]^{2}={\frac {\delta _{m,n}}{2}}\left[J_{\alpha }'\left(u_{\alpha ,m}\right)\right]^{2}} where α > −1, δm,n is the Kronecker delta, and uα,m is the mth zero of Jα(x). This orthogonality relation can then be used to extract the coefficients in the Fourier–Bessel series, where a function is expanded in the basis of the functions Jα(xuα,m) for fixed α and varying m.

An analogous relationship for the spherical Bessel functions follows immediately: ∫01x2jα(xuα,m)jα(xuα,n)dx=δm,n2[jα+1(uα,m)]2{\displaystyle \int _{0}^{1}x^{2}j_{\alpha }\left(xu_{\alpha ,m}\right)j_{\alpha }\left(xu_{\alpha ,n}\right)\,dx={\frac {\delta _{m,n}}{2}}\left[j_{\alpha +1}\left(u_{\alpha ,m}\right)\right]^{2}}

If one defines a boxcar function of x that depends on a small parameter ε as: fε(x)=1εrect⁡(x−1ε){\displaystyle f_{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\varepsilon }}\operatorname {rect} \left({\frac {x-1}{\varepsilon }}\right)} (where rect is the rectangle function) then the Hankel transform of it (of any given order α > −⁠1/2⁠), gε(k), approaches Jα(k) as ε approaches zero, for any given k. Conversely, the Hankel transform (of the same order) of gε(k) is fε(x): ∫0∞kJα(kx)gε(k)dk=fε(x){\displaystyle \int _{0}^{\infty }kJ_{\alpha }(kx)g_{\varepsilon }(k)\,dk=f_{\varepsilon }(x)} which is zero everywhere except near 1. As ε approaches zero, the right-hand side approaches δ(x − 1), where δ is the Dirac delta function. This admits the limit (in the distributional sense): ∫0∞kJα(kx)Jα(k)dk=δ(x−1){\displaystyle \int _{0}^{\infty }kJ_{\alpha }(kx)J_{\alpha }(k)\,dk=\delta (x-1)}

A change of variables then yields the closure equation:[52]∫0∞xJα(ux)Jα(vx)dx=1uδ(u−v){\displaystyle \int _{0}^{\infty }xJ_{\alpha }(ux)J_{\alpha }(vx)\,dx={\frac {1}{u}}\delta (u-v)} para α > − 1 / 2 . Para las funciones de Bessel esféricas, la relación de ortogonalidad es: ∫0∞incógnita2jα(túincógnita)jα(vincógnita)dincógnita=π2túvδ(tú−v){\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2}j_{\alpha }(ux)j_{\alpha }(vx)\,dx={\frac {\pi }{2uv}}\delta (u-v)} para α > −1 .

Otra propiedad importante de las ecuaciones de Bessel, que se deriva de la identidad de Abel , involucra el Wronskiano de las soluciones: Aα(incógnita)dBαdincógnita−dAαdincógnitaBα(incógnita)=doαincógnita{\displaystyle A_{\alpha }(x){\frac {dB_{\alpha }}{dx}}-{\frac {dA_{\alpha }}{dx}}B_{\alpha }(x)={\frac {C_{\alpha }}{x}}} donde A α y B α son dos soluciones cualesquiera de la ecuación de Bessel, y C α es una constante independiente de x (que depende de α y de las funciones de Bessel particulares consideradas). En particular, Jα(incógnita)dYαdincógnita−dJαdincógnitaYα(incógnita)=2πincógnita{\displaystyle J_{\alpha }(x){\frac {dY_{\alpha }}{dx}}-{\frac {dJ_{\alpha }}{dx}}Y_{\alpha }(x)={\frac {2}{\pi x}}} y Iα(incógnita)dKαdincógnita−dIαdincógnitaKα(incógnita)=−1incógnita,{\displaystyle I_{\alpha }(x){\frac {dK_{\alpha }}{dx}}-{\frac {dI_{\alpha }}{dx}}K_{\alpha }(x)=-{\frac {1}{x}},} para α > −1 .

Para α > −1 , la función entera par de género 1, x − α J α ( x ) , tiene solo ceros reales. Sea 0<jα,1<jα,2<⋯<jα,norte<⋯{\displaystyle 0<j_{\alpha ,1}<j_{\alpha ,2}<\cdots <j_{\alpha ,n}<\cdots } sean todos sus ceros positivos, entonces Jα(z)=(z2)αΓ(α+1)∏norte=1∞(1−z2jα,norte2){\displaystyle J_{\alpha }(z)={\frac {\left({\frac {z}{2}}\right)^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{j_{\alpha ,n}^{2}}}\right)}

(Existen muchas otras integrales e identidades conocidas que no se reproducen aquí, pero que se pueden encontrar en las referencias).

Relaciones de recurrencia

Las funciones J α , Y α , H (1) α , y H (2) α satisfacen todas las relaciones de recurrencia [ 53 ].2αincógnitaZα(incógnita)=Zα−1(incógnita)+Zα+1(incógnita){\displaystyle {\frac {2\alpha }{x}}Z_{\alpha }(x)=Z_{\alpha -1}(x)+Z_{\alpha +1}(x)} y 2dZα(incógnita)dincógnita=Zα−1(incógnita)−Zα+1(incógnita),{\displaystyle 2{\frac {dZ_{\alpha }(x)}{dx}}=Z_{\alpha -1}(x)-Z_{\alpha +1}(x),} donde Z denota J , Y , H (1) o H (2) . Estas dos identidades se combinan a menudo, por ejemplo, sumándolas o restándolas, para obtener diversas relaciones. De esta forma, por ejemplo, se pueden calcular funciones de Bessel de órdenes superiores (o derivadas superiores) dados los valores de órdenes inferiores (o derivadas inferiores). En particular, se deduce que [ 54 ](1incógnitaddincógnita)metro[incógnitaαZα(incógnita)]=incógnitaα−metroZα−metro(incógnita),(1incógnitaddincógnita)metro[Zα(incógnita)incógnitaα]=(−1)metroZα+metro(incógnita)incógnitaα+metro.{\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{m}\left[x^{\alpha }Z_{\alpha }(x)\right]&=x^{\alpha -m}Z_{\alpha -m}(x),\\\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{m}\left[{\frac {Z_{\alpha }(x)}{x^{\alpha }}}\right]&=(-1)^{m}{\frac {Z_{\alpha +m}(x)}{x^{\alpha +m}}}.\end{aligned}}}

Utilizando las relaciones anteriores se pueden obtener relaciones similares para las funciones de Bessel esféricas :

2α+1incógnitajα(incógnita)=jα−1+jα+1{\displaystyle {\frac {2\alpha +1}{x}}j_{\alpha }(x)=j_{\alpha -1}+j_{\alpha +1}}

y

djα(incógnita)dincógnita=jα−1−α+1incógnitajα{\displaystyle {\frac {dj_{\alpha }(x)}{dx}}=j_{\alpha -1}-{\frac {\alpha +1}{x}}j_{\alpha }}

Las funciones de Bessel modificadas siguen relaciones similares: mi(incógnita2)(t+1t)=∑norte=−∞∞Inorte(incógnita)tnorte{\displaystyle e^{\left({\frac {x}{2}}\right)\left(t+{\frac {1}{t}}\right)}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }I_{n}(x)t^{n}} y mizporque⁡θ=I0(z)+2∑norte=1∞Inorte(z)porque⁡norteθ{\displaystyle e^{z\cos \theta }=I_{0}(z)+2\sum _{n=1}^{\infty }I_{n}(z)\cos n\theta } y 12π∫02πmizporque⁡(metroθ)+yporque⁡θdθ=I0(z)I0(y)+2∑norte=1∞Inorte(z)Imetronorte(y).{\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{z\cos(m\theta )+y\cos \theta }d\theta =I_{0}(z)I_{0}(y)+2\sum _{n=1}^{\infty }I_{n}(z)I_{mn}(y).}

La relación de recurrencia se lee así: doα−1(incógnita)−doα+1(incógnita)=2αincógnitadoα(incógnita),doα−1(incógnita)+doα+1(incógnita)=2ddincógnitadoα(incógnita),{\displaystyle {\begin{aligned}C_{\alpha -1}(x)-C_{\alpha +1}(x)&={\frac {2\alpha }{x}}C_{\alpha }(x),\\[1ex]C_{\alpha -1}(x)+C_{\alpha +1}(x)&=2{\frac {d}{dx}}C_{\alpha }(x),\end{aligned}}} donde C α denota I α o e αi π K α . Estas relaciones de recurrencia son útiles para problemas de difusión discreta.

Trascendencia

En 1929, Carl Ludwig Siegel demostró que J ν ( x ) , J ' ν ( x ) , y la derivada logarítmica ⁠ J ' ν ( x ) / J ν ( x ) ⁠ son números trascendentales cuando ν es racional y x es algebraico y distinto de cero. [ 55 ] La misma demostración también implica queΓ(v+1)(2/incógnita)vJv(incógnita){\displaystyle \Gamma (v+1)(2/x)^{v}J_{v}(x)}es trascendental bajo los mismos supuestos. [ 56 ]

Sumas con funciones de Bessel

El producto de dos funciones de Bessel admite la siguiente suma: ∑ν=−∞∞Jν(incógnita)Jnorte−ν(y)=Jnorte(incógnita+y),{\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{\nu }(x)J_{n-\nu }(y)=J_{n}(x+y),}∑ν=−∞∞Jν(incógnita)Jν+norte(y)=Jnorte(y−incógnita).{\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{\nu }(x)J_{\nu +n}(y)=J_{n}(y-x).} De estas igualdades se deduce que ∑ν=−∞∞Jν(incógnita)Jν+norte(incógnita)=δnorte,0{\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{\nu }(x)J_{\nu +n}(x)=\delta _{n,0}} y como consecuencia ∑ν=−∞∞Jν2(incógnita)=1.{\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{\nu }^{2}(x)=1.}

Estas sumas pueden extenderse para incluir un término multiplicador que sea una función polinómica del índice. Por ejemplo, ∑ν=−∞∞νJν(incógnita)Jν+norte(incógnita)=incógnita2(δnorte,1+δnorte,−1),{\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }\nu J_{\nu }(x)J_{\nu +n}(x)={\frac {x}{2}}\left(\delta _{n,1}+\delta _{n,-1}\right),}∑ν=−∞∞νJν2(incógnita)=0,{\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }\nu J_{\nu }^{2}(x)=0,}∑ν=−∞∞ν2Jν(incógnita)Jν+norte(incógnita)=incógnita2(δnorte,−1−δnorte,1)+incógnita24(δnorte,−2+2δnorte,0+δnorte,2),{\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }\nu ^{2}J_{\nu }(x)J_{\nu +n}(x)={\frac {x}{2}}\left(\delta _{n,-1}-\delta _{n,1}\right)+{\frac {x^{2}}{4}}\left(\delta _{n,-2}+2\delta _{n,0}+\delta _{n,2}\right),}∑ν=−∞∞ν2Jν2(incógnita)=incógnita22.{\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }\nu ^{2}J_{\nu }^{2}(x)={\frac {x^{2}}{2}}.}

Teorema de la multiplicación

Las funciones de Bessel obedecen un teorema de multiplicación.λ−νJν(λz)=∑norte=0∞1norte¡((1−λ2)z2)norteJν+norte(z),{\displaystyle \lambda ^{-\nu }J_{\nu }(\lambda z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\left({\frac {\left(1-\lambda ^{2}\right)z}{2}}\right)^{n}J_{\nu +n}(z),} donde λ y ν pueden tomarse como números complejos arbitrarios. [ 57 ] [ 58 ] Para | λ 2 − 1 | < 1 , [ 57 ] la expresión anterior también se cumple si J se reemplaza por Y . Las identidades análogas para funciones de Bessel modificadas y | λ 2 − 1 | < 1 son λ−νIν(λz)=∑norte=0∞1norte¡((λ2−1)z2)norteIν+norte(z){\displaystyle \lambda ^{-\nu }I_{\nu }(\lambda z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\left({\frac {\left(\lambda ^{2}-1\right)z}{2}}\right)^{n}I_{\nu +n}(z)} y λ−νKν(λz)=∑norte=0∞(−1)nortenorte¡((λ2−1)z2)norteKν+norte(z).{\displaystyle \lambda ^{-\nu }K_{\nu }(\lambda z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\left({\frac {\left(\lambda ^{2}-1\right)z}{2}}\right)^{n}K_{\nu +n}(z).}

Ceros de la función de Bessel

La hipótesis de Bourget

El propio Bessel demostró originalmente que, para enteros no negativos n , la ecuación J n ( x ) = 0 tiene un número infinito de soluciones en x . [ 59 ] Sin embargo, cuando las funciones J n ( x ) se representan en la misma gráfica, ninguno de los ceros parece coincidir para diferentes valores de n, excepto el cero en x = 0. Este fenómeno se conoce como la hipótesis de Bourget, en honor al matemático francés del siglo XIX que estudió las funciones de Bessel. Específicamente, establece que para cualesquiera enteros n ≥ 0 y m ≥ 1 , las funciones J n ( x ) y J n + m ( x ) no tienen ceros comunes aparte del que se encuentra en x = 0. La hipótesis fue demostrada por Carl Ludwig Siegel en 1929. [ 60 ]

Trascendencia

Siegel demostró en 1929 que cuando ν es racional, todas las raíces no nulas de J ν (x) y J ' ν (x) son trascendentales , [ 61 ] al igual que todas las raíces de K ν (x) . [ 56 ] También se sabe que todas las raíces de las derivadas superioresJν(norte)(incógnita){\displaystyle J_{\nu }^{(n)}(x)}para n ≤ 18 son trascendentales, excepto para los valores especialesJ1(3)(±3)=0{\displaystyle J_{1}^{(3)}(\pm {\sqrt {3}})=0}yJ0(4)(±3)=0{\displaystyle J_{0}^{(4)}(\pm {\sqrt {3}})=0}. [ 61 ]

Enfoques numéricos

Para estudios numéricos sobre los ceros de la función de Bessel, ver Gil, Segura & Temme (2007) , Kravanja et al. (1998) y Moler (2004) .

Valores numéricos

Los primeros ceros en J 0 (es decir, j 0,1 , j 0,2 y j 0,3 ) aparecen en argumentos de aproximadamente 2,40483, 5,52008 y 8,65373, respectivamente. [ 62 ]

Historia

Problemas de ondas y elasticidad

La primera aparición de una función de Bessel se encuentra en el trabajo de Daniel Bernoulli en 1732, mientras trabajaba en el análisis de una cuerda vibrante , un problema que ya había sido abordado por su padre Johann Bernoulli . [ 1 ] Daniel consideró una cadena flexible suspendida de un punto fijo en la parte superior y libre en su extremo inferior. [ 1 ] La solución de la ecuación diferencial condujo a la introducción de una función que ahora se considera J0(incógnita){\displaystyle J_{0}(x)}Bernoulli también desarrolló un método para encontrar los ceros de la función. [ 1 ]

En 1736, Leonhard Euler encontró una relación entre otras funciones (ahora conocidas como polinomios de Laguerre ) y la solución de Bernoulli. Euler también introdujo una cadena no uniforme que condujo a la introducción de funciones ahora relacionadas con las funciones de Bessel modificadas.Inorte(incógnita){\displaystyle I_{n}(x)}. [ 1 ]

A mediados del siglo XVIII, Jean le Rond d'Alembert había encontrado una fórmula para resolver la ecuación de onda . Hacia 1771, existía una disputa entre Bernoulli, Euler, d'Alembert y Joseph-Louis Lagrange sobre la naturaleza de las soluciones de cuerdas vibrantes. [ 1 ]

Euler trabajó en 1778 en el pandeo , introduciendo el concepto de carga crítica de Euler . Para resolver el problema, introdujo la serie paraJ±1/3(incógnita){\displaystyle J_{\pm 1/3}(x)}. [ 1 ] Euler también calculó las soluciones de membranas vibrantes 2D en coordenadas cilíndricas en 1780. Para resolver su ecuación diferencial introdujo una serie de potencias asociada aJnorte(incógnita){\displaystyle J_{n}(x)}, para entero n . [ 1 ]

Durante finales del siglo XVIII, Lagrange, Pierre-Simon Laplace y Marc-Antoine Parseval también encontraron equivalentes a las funciones de Bessel. [ 1 ] Parseval, por ejemplo, encontró una representación integral deJ0(incógnita){\displaystyle J_{0}(x)}usando el coseno. [ 1 ]

A principios del siglo XIX, Joseph Fourier utilizóJ0(incógnita){\displaystyle J_{0}(x)}para resolver la ecuación del calor en un problema con simetría cilíndrica. [ 1 ] Fourier ganó un premio de la Academia Francesa de Ciencias por este trabajo en 1811. [ 1 ] Pero la mayoría de los detalles de su trabajo, incluido el uso de una serie de Fourier , permanecieron inéditos hasta 1822. [ 1 ] Poisson, en rivalidad con Fourier, extendió el trabajo de Fourier en 1823, introduciendo nuevas propiedades de las funciones de Bessel, incluidas las funciones de Bessel de orden semientero (ahora conocidas como funciones de Bessel esféricas). [ 1 ]

Problemas astronómicos

En 1770, Lagrange introdujo el desarrollo en serie de las funciones de Bessel para resolver la ecuación de Kepler , una ecuación trascendental en astronomía. Friedrich Wilhelm Bessel había visto la solución de Lagrange, pero le resultó difícil de manejar. En 1813, en una carta a Carl Friedrich Gauss , Bessel simplificó el cálculo utilizando funciones trigonométricas. [ 1 ] Bessel publicó su trabajo en 1819, introduciendo de forma independiente el método de las series de Fourier sin conocer el trabajo de Fourier, que se publicó posteriormente. [ 1 ] En 1824, Bessel llevó a cabo una investigación sistemática de las funciones, que le valieron su nombre. [ 1 ] En la literatura antigua, las funciones se denominaban funciones cilíndricas o incluso funciones de Bessel-Fourier. [ 1 ]

Véase también

Notas

  1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Dutka, Jacques (1995). "Sobre la historia temprana de las funciones de Bessel". Archivo para la Historia de las Ciencias Exactas . 49 (2): 105– 134. doi : 10.1007/BF00376544 .
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