Distribución beta

Una distribución beta con los dos parámetros de forma α y β tiene soporte en el rango [0,1] o (0,1). Es posible alterar la ubicación y la escala de la distribución introduciendo dos parámetros adicionales que representan los valores mínimo, a , y máximo c ( c > a ), de la distribución, ^{[ 1 ]} mediante una transformación lineal que sustituye la variable adimensional x en términos de la nueva variable y (con soporte [ a , c ] o ( a , c )) y los parámetros a y c :

$${\displaystyle y=x(c-a)+a,{\text{ therefore }}x={\frac {y-a}{c-a}}.}$$

La función de densidad de probabilidad de la distribución beta de cuatro parámetros es igual a la distribución de dos parámetros, escalada por el rango ( c  − a ), (de modo que el área total bajo la curva de densidad sea igual a una probabilidad de uno), y con la variable "y" desplazada y escalada de la siguiente manera:  $${\displaystyle {\begin{aligned}f(y;\alpha ,\beta ,a,c)={\frac {f(x;\alpha ,\beta )}{c-a}}&={\frac {\left({\frac {y-a}{c-a}}\right)^{\alpha -1}\left({\frac {c-y}{c-a}}\right)^{\beta -1}}{(c-a)B(\alpha ,\beta )}}\\[1ex]&={\frac {(y-a)^{\alpha -1}(c-y)^{\beta -1}}{(c-a)^{\alpha +\beta -1}B(\alpha ,\beta )}}.\end{aligned}}}$$

Que una variable aleatoria Y tenga una distribución beta con cuatro parámetros α , β , a y c se denotará por:

$${\displaystyle Y\sim \operatorname {Beta} (\alpha ,\beta ,a,c).}$$

Algunas medidas de ubicación central se escalan (por ( c  − a )) y se desplazan (por a ), de la siguiente manera: 

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{Y}&=\mu _{X}(c-a)+a\\[1ex]&={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}\left(c-a\right)+a={\frac {\alpha c+\beta a}{\alpha +\beta }}\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{mode}}(Y)&={\text{mode}}(X)(c-a)+a\\[1ex]&={\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2}}\left(c-a\right)+a\\[1ex]&={\frac {(\alpha -1)c+(\beta -1)a}{\alpha +\beta -2}}\ ,&{\text{ if }}\alpha ,\,\beta >1\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{median}}(Y)&={\text{median}}(X)(c-a)+a\\[1ex]&=I_{\frac {1}{2}}^{[-1]}(\alpha ,\beta )\left(c-a\right)+a\end{aligned}}}$$

Nota: la media geométrica y la media armónica no se pueden transformar mediante una transformación lineal como sí se puede hacer con la media, la mediana y la moda.

Los parámetros de forma de Y se pueden escribir en términos de su media y varianza como

$${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &={\frac {\left(a-\mu _{Y}\right)\left(a\,c-a\,\mu _{Y}-c\,\mu _{Y}+\mu _{Y}^{2}+\sigma _{Y}^{2}\right)}{\sigma _{Y}^{2}(c-a)}}\\\beta &=-{\frac {\left(c-\mu _{Y}\right)\left(a\,c-a\,\mu _{Y}-c\,\mu _{Y}+\mu _{Y}^{2}+\sigma _{Y}^{2}\right)}{\sigma _{Y}^{2}(c-a)}}\end{aligned}}}$$

Las medidas de dispersión estadística se escalan (no es necesario desplazarlas porque ya están centradas en la media) por el rango ( c  − a ), linealmente para la desviación media y no linealmente para la varianza: 

$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{(mean deviation around mean)}}(Y)\\[1ex]&=({\text{(mean deviation around mean)}}(X))(c-a)\\&={\frac {2\alpha ^{\alpha }\beta ^{\beta }}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )(\alpha +\beta )^{\alpha +\beta +1}}}(c-a)\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\text{var}}(Y)={\text{var}}(X)(c-a)^{2}={\frac {\alpha \beta (c-a)^{2}}{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}.}$$

Dado que la asimetría y la curtosis excesiva son cantidades adimensionales (como momentos centrados en la media y normalizados por la desviación estándar ), son independientes de los parámetros a y c , y por lo tanto son iguales a las expresiones dadas anteriormente en términos de X (con soporte [0,1] o (0,1)):

$${\displaystyle {\text{skewness}}(Y)={\text{skewness}}(X)={\frac {2(\beta -\alpha ){\sqrt {\alpha +\beta +1}}}{(\alpha +\beta +2){\sqrt {\alpha \beta }}}}.}$$

$${\displaystyle {\text{kurtosis excess}}(Y)={\text{kurtosis excess}}(X)={\frac {6\left[(\alpha -\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)-\alpha \beta (\alpha +\beta +2)\right]}{\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)}}}$$

La moda de una variable aleatoria X con distribución beta con α , β > 1 es el valor más probable de la distribución (correspondiente al pico en la PDF), y viene dada por la siguiente expresión: ^{[ 1 ]}

$${\displaystyle {\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2}}.}$$

Cuando ambos parámetros son menores que uno ( α , β < 1), este es el antimodo: el punto más bajo de la curva de densidad de probabilidad. ^{[ 8 ]}

Si hacemos α = β , la expresión para la moda se simplifica a 1/2, lo que muestra que para α = β > 1 la moda (o antimoda cuando α , β < 1 ) está en el centro de la distribución: es simétrica en esos casos. Consulte la sección Formas en este artículo para obtener una lista completa de los casos de moda, para valores arbitrarios de α y β . Para varios de estos casos, el valor máximo de la función de densidad ocurre en uno o ambos extremos. En algunos casos, el valor (máximo) de la función de densidad que ocurre en el extremo es finito. Por ejemplo, en el caso de α = 2, β = 1 (o α = 1, β = 2), la función de densidad se convierte en una distribución de triángulo rectángulo que es finita en ambos extremos. En varios otros casos hay una singularidad en un extremo, donde el valor de la función de densidad se aproxima al infinito. Por ejemplo, en el caso α = β = 1/2, la distribución beta se simplifica a la distribución arcoseno . Existe un debate entre los matemáticos sobre algunos de estos casos y si los extremos ( x = 0 y x = 1) pueden llamarse modas o no. ^{[ 9 ] [ 2 ]}

• Si los extremos forman parte del dominio de la función de densidad
• Si una singularidad puede ser llamada alguna vez un modo
• Si los casos con dos máximos deben denominarse bimodales.

La mediana de la distribución beta es el único número real${\displaystyle x=I_{1/2}^{[-1]}(\alpha ,\beta )}$para la cual la función beta incompleta regularizada${\displaystyle I_{x}(\alpha ,\beta )={\tfrac {1}{2}}}$No existe una expresión general en forma cerrada para la mediana de la distribución beta para valores arbitrarios de α y β . A continuación se presentan expresiones en forma cerrada para valores particulares de los parámetros α y β :

• Para casos simétricos α = β , mediana = 1/2.
• Para α = 1 y β > 0, mediana${\displaystyle =1-2^{-1/\beta }}$(Este caso es la imagen especular de la distribución de la función de potencia )
• Para α > 0 y β = 1, mediana =${\displaystyle 2^{-1/\alpha }}$(este caso es la distribución de función de potencia ^{[ 9 ]} )
• Para α = 3 y β = 2, mediana = 0,6142724318676105..., la solución real de la ecuación cuártica 1 − 8 x ³ + 6 x ⁴ = 0, que se encuentra en [0,1].
• Para α = 2 y β = 3, mediana = 0,38572756813238945... = 1−mediana(Beta(3, 2))

Los siguientes son los límites con un parámetro finito (distinto de cero) y el otro aproximándose a estos límites:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{\beta \to 0}{\text{median}}=\lim _{\alpha \to \infty }{\text{median}}=1,\\\lim _{\alpha \to 0}{\text{median}}=\lim _{\beta \to \infty }{\text{median}}=0.\end{aligned}}}$$

Una aproximación razonable del valor de la mediana de la distribución beta, para α y β mayores o iguales a uno, viene dada por la fórmula ^{[ 10 ].}

$${\displaystyle {\text{median}}\approx {\frac {\alpha -{\tfrac {1}{3}}}{\alpha +\beta -{\tfrac {2}{3}}}}{\text{ for }}\alpha ,\beta \geq 1.}$$

Cuando α , β ≥ 1, el error relativo (el error absoluto dividido por la mediana) en esta aproximación es menor al 4% y para ambos α ≥ 2 y β ≥ 2 es menor al 1%. El error absoluto dividido por la diferencia entre la media y la moda es igualmente pequeño:

El valor esperado (media) ( μ ) de una variable aleatoria X con distribución beta y dos parámetros α y β es una función únicamente de la razón β / α de estos parámetros: ^{[ 1 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mu =\operatorname {E} [X]&=\int _{0}^{1}xf(x;\alpha ,\beta )\,dx\\&=\int _{0}^{1}x\,{\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\,dx\\&={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}\\&={\frac {1}{1+{\frac {\beta }{\alpha }}}}\end{aligned}}}$$

Si hacemos α = β en la expresión anterior, obtenemos μ = 1/2 , lo que demuestra que para α = β la media se encuentra en el centro de la distribución: es simétrica. Además, a partir de la expresión anterior se pueden obtener los siguientes límites:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{{\frac {\beta }{\alpha }}\to 0}\mu =1\\\lim _{{\frac {\beta }{\alpha }}\to \infty }\mu =0\end{aligned}}}$$

Por lo tanto, para β / α → 0, o para α / β → ∞, la media se encuentra en el extremo derecho, x = 1. Para estas razones límite, la distribución beta se convierte en una distribución degenerada de un punto con un pico de la función delta de Dirac en el extremo derecho, x = 1 , con probabilidad  1, y probabilidad cero en cualquier otro lugar. Hay una probabilidad del 100% (certeza absoluta) concentrada en el extremo derecho, x = 1 .

De forma similar, para β / α → ∞, o para α / β → 0, la media se sitúa en el extremo izquierdo, x = 0. La distribución beta se convierte en una distribución degenerada de un punto con un pico de función delta de Dirac en el extremo izquierdo, x = 0, con probabilidad 1, y probabilidad cero en cualquier otro lugar. Hay una probabilidad del 100% (certeza absoluta) concentrada en el extremo izquierdo, x = 0. A continuación se muestran los límites con un parámetro finito (distinto de cero) y el otro aproximándose a estos límites:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{\beta \to 0}\mu =\lim _{\alpha \to \infty }\mu =1\\\lim _{\alpha \to 0}\mu =\lim _{\beta \to \infty }\mu =0\end{aligned}}}$$

Mientras que para las distribuciones unimodales típicas (con modas ubicadas en el centro, puntos de inflexión a ambos lados de la moda y colas más largas) (con Beta( α , β ) tal que α , β > 2 ) se sabe que la media muestral (como estimación de la ubicación) no es tan robusta como la mediana muestral, ocurre lo contrario para las distribuciones bimodales uniformes o en forma de "U" (con Beta( α , β ) tal que α , β ≤ 1 ), con las modas ubicadas en los extremos de la distribución. Como señalan Mosteller y Tukey ( ^{[ 11 ]} p. 207), "el promedio de las dos observaciones extremas utiliza toda la información de la muestra. Esto ilustra cómo, para las distribuciones de cola corta, las observaciones extremas deberían tener mayor peso". Por el contrario, se deduce que la mediana de las distribuciones bimodales en forma de "U" con modas en el borde de la distribución (con Beta( α , β ) tal que α , β ≤ 1 ) no es robusta, ya que la mediana muestral descarta las observaciones extremas de la muestra. Una aplicación práctica de esto ocurre, por ejemplo, para los paseos aleatorios , puesto que la probabilidad del tiempo de la última visita al origen en un paseo aleatorio se distribuye según la distribución arcoseno Beta(1/2, 1/2): ^{[ 5 ] [ 12 ]} la media de un número de realizaciones de un paseo aleatorio es un estimador mucho más robusto que la mediana (que es una estimación de medida muestral inapropiada en este caso).     

El logaritmo de la media geométrica G _X de una distribución con variable aleatoria X es la media aritmética de ln( X ), o, equivalentemente, su valor esperado:

$${\displaystyle \ln G_{X}=\operatorname {E} [\ln X]}$$

Para una distribución beta, la integral del valor esperado da como resultado:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [\ln X]&=\int _{0}^{1}\ln x\,f(x;\alpha ,\beta )\,dx\\[4pt]&=\int _{0}^{1}\ln x\,{\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\,dx\\[4pt]&={\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\,\int _{0}^{1}{\frac {\partial x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\partial \alpha }}\,dx\\[4pt]&={\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}\int _{0}^{1}x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}\,dx\\[4pt]&={\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}{\frac {\partial \mathrm {B} (\alpha ,\beta )}{\partial \alpha }}\\[4pt]&={\frac {\partial \ln \mathrm {B} (\alpha ,\beta )}{\partial \alpha }}\\[4pt]&={\frac {\partial \ln \Gamma (\alpha )}{\partial \alpha }}-{\frac {\partial \ln \Gamma (\alpha +\beta )}{\partial \alpha }}\\[4pt]&=\psi (\alpha )-\psi (\alpha +\beta )\end{aligned}}}$$

donde ψ es la función digamma .

Por lo tanto, la media geométrica de una distribución beta con parámetros de forma α y β es la exponencial de las funciones digamma de α y β de la siguiente manera:

$${\displaystyle G_{X}=e^{\operatorname {E} [\ln X]}=e^{\psi (\alpha )-\psi (\alpha +\beta )}}$$

Mientras que para una distribución beta con parámetros de forma iguales α = β , se deduce que asimetría = 0 y moda = media = mediana = 1/2, la media geométrica es menor que 1/2: 0 < G _X < 1/2 . La razón de esto es que la transformación logarítmica pondera fuertemente los valores de X cercanos a cero, ya que ln( X ) tiende fuertemente hacia menos infinito a medida que X se acerca a cero, mientras que ln( X ) se aplana hacia cero cuando X → 1 .

A lo largo de una línea α = β , se aplican los siguientes límites:

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\lim _{\alpha =\beta \to 0}G_{X}=0\\&\lim _{\alpha =\beta \to \infty }G_{X}={\tfrac {1}{2}}\end{aligned}}}$$

A continuación se muestran los límites con un parámetro finito (distinto de cero) y el otro aproximándose a estos límites:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{\beta \to 0}G_{X}=\lim _{\alpha \to \infty }G_{X}=1\\\lim _{\alpha \to 0}G_{X}=\lim _{\beta \to \infty }G_{X}=0\end{aligned}}}$$

El gráfico adjunto muestra la diferencia entre la media y la media geométrica para los parámetros de forma α y β desde cero hasta 2. Además de que la diferencia entre ellas tiende a cero cuando α y β tienden a infinito y que se vuelve grande para valores de α y β que se aproximan a cero, se puede observar una asimetría evidente de la media geométrica con respecto a los parámetros de forma α y β . La diferencia entre la media geométrica y la media es mayor para valores pequeños de α en relación con β que cuando se intercambian las magnitudes de β y α .

NLJohnson y S. Kotz ^{[ 1 ]} sugieren la aproximación logarítmica a la función digamma ψ ( α ) ≈ ln( α  −  1/2) que resulta en la siguiente aproximación a la media geométrica:

$${\displaystyle G_{X}\approx {\frac {\alpha \,-{\frac {1}{2}}}{\alpha +\beta -{\frac {1}{2}}}}{\text{ if }}\alpha ,\beta >1.}$$

Los valores numéricos para el error relativo en esta aproximación son los siguientes: [ ( α = β = 1): 9,39 % ]; [ ( α = β =2): 1,29% ]; [ ( α = 2, β = 3): 1,51% ]; [ ( α = 3, β = 2): 0,44% ]; [ ( α = β = 3): 0,51% ]; [ ( α = β = 4): 0,26% ]; [ ( α = 3, β = 4): 0,55% ]; [ ( α = 4, β = 3): 0,24% ].

De manera similar, se puede calcular el valor de los parámetros de forma necesarios para que la media geométrica sea igual a  1/2. Dado el valor del parámetro β , ¿cuál sería el valor del otro parámetro, α , necesario para que la media geométrica sea igual a 1/2? La respuesta es que (para β > 1 ), el valor de α requerido tiende hacia β + 1/2 cuando β → ∞ . Por ejemplo, todas estas parejas tienen la misma media geométrica de 1/2: [ β = 1, α = 1.4427 ], [ β = 2, α = 2.46958 ], [ β = 3, α = 3.47943 ], [ β = 4, α = 4.48449 ], [ β = 5, α = 5,48756 ], [ β = 10, α = 10,4938 ], [ β = 100, α = 100,499 ].   

La propiedad fundamental de la media geométrica, que puede demostrarse que es falsa para cualquier otra media, es

$${\displaystyle G{\left({\frac {X_{i}}{Y_{i}}}\right)}={\frac {G(X_{i})}{G(Y_{i})}}}$$

Esto hace que la media geométrica sea la única media correcta al promediar resultados normalizados , es decir, resultados que se presentan como razones respecto a valores de referencia. ^{[ 13 ]} Esto es relevante porque la distribución beta es un modelo adecuado para el comportamiento aleatorio de los porcentajes y es particularmente adecuada para el modelado estadístico de proporciones. La media geométrica juega un papel central en la estimación de máxima verosimilitud, véase la sección "Estimación de parámetros, máxima verosimilitud". De hecho, al realizar la estimación de máxima verosimilitud, además de la media geométrica G _X basada en la variable aleatoria X, también aparece naturalmente otra media geométrica: la media geométrica basada en la transformación lineal –– (1 − X ) , la imagen especular de X , denotada por G _{(1− X )} :

$${\displaystyle G_{1-X}=e^{\operatorname {E} [\ln(1-X)]}=e^{\psi (\beta )-\psi (\alpha +\beta )}}$$

A lo largo de una línea α = β , se aplican los siguientes límites:

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\lim _{\alpha =\beta \to 0}G_{1-X}=0\\&\lim _{\alpha =\beta \to \infty }G_{1-X}={\tfrac {1}{2}}\end{aligned}}}$$

A continuación se muestran los límites con un parámetro finito (distinto de cero) y el otro aproximándose a estos límites:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{\beta \to 0}G_{(1-X)}=\lim _{\alpha \to \infty }G_{(1-X)}=0\\\lim _{\alpha \to 0}G_{(1-X)}=\lim _{\beta \to \infty }G_{(1-X)}=1\end{aligned}}}$$

Tiene el siguiente valor aproximado:

$${\displaystyle G_{(1-X)}\approx {\frac {\beta -{\frac {1}{2}}}{\alpha +\beta -{\frac {1}{2}}}}{\text{ if }}\alpha ,\beta >1.}$$

Aunque tanto G _X como G _{1− X} son asimétricos, en el caso de que ambos parámetros de forma sean iguales α = β , las medias geométricas son iguales: G _X = G _{(1− X )} . Esta igualdad se deduce de la siguiente simetría que se muestra entre ambas medias geométricas:

$${\displaystyle G_{X}(\mathrm {B} (\alpha ,\beta ))=G_{1-X}(\mathrm {B} (\beta ,\alpha )).}$$

El inverso de la media armónica ( H _X ) de una distribución con variable aleatoria X es la media aritmética de 1/ X , o, equivalentemente, su valor esperado. Por lo tanto, la media armónica ( H _X ) de una distribución beta con parámetros de forma α y β es:

$${\displaystyle {\begin{aligned}H_{X}&={\frac {1}{\operatorname {E} \left[{\frac {1}{X}}\right]}}\\&={\frac {1}{\int _{0}^{1}{\frac {f(x;\alpha ,\beta )}{x}}\,dx}}\\&={\frac {1}{\int _{0}^{1}{\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{x\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\,dx}}\\&={\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -1}}{\text{ if }}\alpha >1{\text{ and }}\beta >0\\\end{aligned}}}$$

La media armónica ( H _X ) de una distribución beta con α < 1 no está definida, porque su expresión definitoria no está acotada en [0, 1] para un parámetro de forma α menor que la unidad.

Haciendo α = β en la expresión anterior se obtiene

$${\displaystyle H_{X}={\frac {\alpha -1}{2\alpha -1}},}$$

mostrando que para α = β la media armónica varía de 0, para α = β = 1, a 1/2, para α = β → ∞.

A continuación se muestran los límites con un parámetro finito (distinto de cero) y el otro aproximándose a estos límites:

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\lim _{\alpha \to 0}H_{X}{\text{ is undefined}}\\&\lim _{\alpha \to 1}H_{X}=\lim _{\beta \to \infty }H_{X}=0\\&\lim _{\beta \to 0}H_{X}=\lim _{\alpha \to \infty }H_{X}=1\end{aligned}}}$$

La media armónica desempeña un papel en la estimación de máxima verosimilitud para el caso de cuatro parámetros, además de la media geométrica. De hecho, al realizar la estimación de máxima verosimilitud para el caso de cuatro parámetros, además de la media armónica H _X basada en la variable aleatoria X , también aparece naturalmente otra media armónica: la media armónica basada en la transformación lineal (1  − X ), la imagen especular de X , denotada por H _{1 − X} :   

$${\displaystyle H_{1-X}={\frac {1}{\operatorname {E} \left[{\frac {1}{1-X}}\right]}}={\frac {\beta -1}{\alpha +\beta -1}}{\text{ if }}\beta >1,{\text{ and }}\alpha >0.}$$

La media armónica ( H _{(1  − X )}  ) de una distribución beta con β < 1 no está definida, porque su expresión definitoria no está acotada en [0, 1] para un parámetro de forma β menor que la unidad.

Haciendo α = β en la expresión anterior se obtiene

$${\displaystyle H_{(1-X)}={\frac {\beta -1}{2\beta -1}},}$$

mostrando que para α = β la media armónica varía de 0, para α = β = 1, a 1/2, para α = β → ∞.

A continuación se muestran los límites con un parámetro finito (distinto de cero) y el otro aproximándose a estos límites:

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\lim _{\beta \to 0}H_{1-X}{\text{ is undefined}}\\&\lim _{\beta \to 1}H_{1-X}=\lim _{\alpha \to \infty }H_{1-X}=0\\&\lim _{\alpha \to 0}H_{1-X}=\lim _{\beta \to \infty }H_{1-X}=1\end{aligned}}}$$

Aunque tanto H _X como H _{1− X} son asimétricos, en el caso de que ambos parámetros de forma sean iguales α = β , las medias armónicas son iguales: H _X ​​= H _{1− X.} Esta igualdad se deduce de la siguiente simetría que se muestra entre ambas medias armónicas:

$${\displaystyle H_{X}(\mathrm {B} (\alpha ,\beta ))=H_{1-X}(\mathrm {B} (\beta ,\alpha )){\text{ if }}\alpha ,\beta >1.}$$

La varianza (el segundo momento centrado en la media) de una variable aleatoria X con distribución beta y parámetros α y β es: ^{[ 1 ] [ 14 ]}

$${\displaystyle \operatorname {var} (X)=\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right]={\frac {\alpha \beta }{\left(\alpha +\beta \right)^{2}\left(\alpha +\beta +1\right)}}}$$

Haciendo α = β en la expresión anterior se obtiene

$${\displaystyle \operatorname {var} (X)={\frac {1}{4(2\beta +1)}},}$$

demostrando que para α = β la varianza disminuye monótonamente a medida que α = β aumenta. Haciendo α = β = 0 en esta expresión, se encuentra la varianza máxima var( X ) = 1/4 ^{[ 1 ]} que solo ocurre al aproximarse al límite, en α = β = 0 .

La distribución beta también puede parametrizarse en términos de su media μ (0 < μ < 1) y tamaño de muestra ν = α + β ( ν > 0 ) (véase la subsección Media y tamaño de muestra ):

$${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=\mu \nu ,&{\text{ where }}\nu =(\alpha +\beta )>0,\\\beta &=(1-\mu )\nu ,&{\text{ where }}\nu =(\alpha +\beta )>0.\end{aligned}}}$$

Utilizando esta parametrización , se puede expresar la varianza en términos de la media μ y el tamaño de la muestra ν de la siguiente manera:

$${\displaystyle \operatorname {var} (X)={\frac {\mu (1-\mu )}{1+\nu }}}$$

Dado que ν = α + β > 0 , se deduce que var( X ) < μ (1 − μ ) .

Para una distribución simétrica, la media se encuentra en el punto medio de la distribución, μ = 1/2 , y por lo tanto:

$${\displaystyle \operatorname {var} (X)={\frac {1}{4(1+\nu )}}{\text{ if }}\mu ={\tfrac {1}{2}}}$$

Además, a partir de las expresiones anteriores se pueden obtener los siguientes límites (con solo la variable indicada aproximándose al límite):

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\lim _{\beta \to 0}\operatorname {var} (X)=\lim _{\alpha \to 0}\operatorname {var} (X)=\lim _{\beta \to \infty }\operatorname {var} (X)=\lim _{\alpha \to \infty }\operatorname {var} (X)=0\\&\lim _{\nu \to \infty }\operatorname {var} (X)=\lim _{\mu \to 0}\operatorname {var} (X)=\lim _{\mu \to 1}\operatorname {var} (X)=0\\&\lim _{\nu \to 0}\operatorname {var} (X)=\mu (1-\mu )\end{aligned}}}$$

El logaritmo de la varianza geométrica, ln(var _GX ), de una distribución con variable aleatoria X es el segundo momento del logaritmo de X centrado en la media geométrica de X , ln( G _X ):

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ln \operatorname {var} _{GX}&=\operatorname {E} \left[\left(\ln X-\ln G_{X}\right)^{2}\right]\\&=\operatorname {E} \left[\left(\ln X-\operatorname {E} \left[\ln X\right]\right)^{2}\right]\\&=\operatorname {E} \left[\left(\ln X\right)^{2}\right]-\left(\operatorname {E} [\ln X]\right)^{2}\\&=\operatorname {var} [\ln X]\end{aligned}}}$$

y por lo tanto, la varianza geométrica es:

$${\displaystyle \operatorname {var} _{GX}=e^{\operatorname {var} [\ln X]}}$$

En la matriz de información de Fisher y la curvatura de la función de verosimilitud logarítmica, aparecen el logaritmo de la varianza geométrica de la variable reflejada 1  − X y el logaritmo de la covarianza geométrica entre X y 1 − X :   

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ln \operatorname {var_{G(1-X)}} &=\operatorname {E} \left[\left(\ln(1-X)-\ln G_{1-X}\right)^{2}\right]\\&=\operatorname {E} \left[\left(\ln(1-X)-\operatorname {E} [\ln(1-X)]\right)^{2}\right]\\&=\operatorname {E} \left[(\ln(1-X))^{2}\right]-\left(\operatorname {E} [\ln(1-X)]\right)^{2}\\&=\operatorname {var} [\ln(1-X)]\\&\\\operatorname {var_{G(1-X)}} &=e^{\operatorname {var} [\ln(1-X)]}\\&\\\ln \operatorname {cov_{G{X,1-X}}} &=\operatorname {E} [(\ln X-\ln G_{X})(\ln(1-X)-\ln G_{1-X})]\\&=\operatorname {E} [(\ln X-\operatorname {E} [\ln X])(\ln(1-X)-\operatorname {E} [\ln(1-X)])]\\&=\operatorname {E} \left[\ln X\ln(1-X)\right]-\operatorname {E} [\ln X]\operatorname {E} [\ln(1-X)]\\&=\operatorname {cov} [\ln X,\ln(1-X)]\\&\\\operatorname {cov} _{G{X,(1-X)}}&=e^{\operatorname {cov} [\ln X,\ln(1-X)]}\end{aligned}}}$$

Para una distribución beta, los momentos logarítmicos de orden superior pueden derivarse utilizando la representación de una distribución beta como una proporción de dos distribuciones gamma y derivando a través de la integral. Pueden expresarse en términos de funciones poligamma de orden superior. Véase la sección §  Momentos de variables aleatorias transformadas logarítmicamente . La varianza de las variables logarítmicas y la covarianza de ln X y ln(1− X ) son: 

$${\displaystyle \operatorname {var} [\ln X]=\psi _{1}(\alpha )-\psi _{1}(\alpha +\beta )}$$$${\displaystyle \operatorname {var} [\ln(1-X)]=\psi _{1}(\beta )-\psi _{1}(\alpha +\beta )}$$$${\displaystyle \operatorname {cov} [\ln X,\ln(1-X)]=-\psi _{1}(\alpha +\beta )}$$

donde la función trigamma , denotada ψ ₁ ( α ), es la segunda de las funciones poligamma , y ​​se define como la derivada de la función digamma :

$${\displaystyle \psi _{1}(\alpha )={\frac {d^{2}\ln \Gamma (\alpha )}{d\alpha ^{2}}}={\frac {d\psi (\alpha )}{d\alpha }}.}$$

Por lo tanto,

$${\displaystyle \ln \operatorname {var} _{GX}=\operatorname {var} [\ln X]=\psi _{1}(\alpha )-\psi _{1}(\alpha +\beta )}$$$${\displaystyle \ln \operatorname {var} _{G(1-X)}=\operatorname {var} [\ln(1-X)]=\psi _{1}(\beta )-\psi _{1}(\alpha +\beta )}$$$${\displaystyle \ln \operatorname {cov} _{GX,1-X}=\operatorname {cov} [\ln X,\ln(1-X)]=-\psi _{1}(\alpha +\beta )}$$

Los gráficos adjuntos muestran las varianzas geométricas logarítmicas y la covarianza geométrica logarítmica en función de los parámetros de forma α y β . Los gráficos muestran que las varianzas geométricas logarítmicas y la covarianza geométrica logarítmica son cercanas a cero para parámetros de forma α y β mayores que 2, y que las varianzas geométricas logarítmicas aumentan rápidamente para valores de parámetros de forma α y β menores que la unidad. Las varianzas geométricas logarítmicas son positivas para todos los valores de los parámetros de forma. La covarianza geométrica logarítmica es negativa para todos los valores de los parámetros de forma, y ​​alcanza valores negativos elevados para α y β menores que la unidad.

A continuación se muestran los límites con un parámetro finito (distinto de cero) y el otro aproximándose a estos límites:

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\lim _{\alpha \to 0}\ln \operatorname {var} _{GX}=\lim _{\beta \to 0}\ln \operatorname {var} _{G(1-X)}=\infty \\&\lim _{\beta \to 0}\ln \operatorname {var} _{GX}=\lim _{\alpha \to \infty }\ln \operatorname {var} _{GX}=\lim _{\alpha \to 0}\ln \operatorname {var} _{G(1-X)}=\lim _{\beta \to \infty }\ln \operatorname {var} _{G(1-X)}=0\\&\lim _{\alpha \to \infty }\ln \operatorname {cov} _{GX,(1-X)}=\lim _{\beta \to \infty }\ln \operatorname {cov} _{GX,(1-X)}=0\\&\lim _{\beta \to \infty }\ln \operatorname {var} _{GX}=\psi _{1}(\alpha )\\&\lim _{\alpha \to \infty }\ln \operatorname {var} _{G(1-X)}=\psi _{1}(\beta )\\&\lim _{\alpha \to 0}\ln \operatorname {cov} _{GX,(1-X)}=-\psi _{1}(\beta )\\&\lim _{\beta \to 0}\ln \operatorname {cov} _{GX,(1-X)}=-\psi _{1}(\alpha )\end{aligned}}}$$

Límites con dos parámetros variables:

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\lim _{\alpha \to \infty }(\lim _{\beta \to \infty }\ln \operatorname {var} _{GX})=\lim _{\beta \to \infty }(\lim _{\alpha \to \infty }\ln \operatorname {var} _{G(1-X)})=\lim _{\alpha \to \infty }(\lim _{\beta \to 0}\ln \operatorname {cov} _{GX,(1-X)})=\lim _{\beta \to \infty }(\lim _{\alpha \to 0}\ln \operatorname {cov} _{GX,(1-X)})=0\\&\lim _{\alpha \to \infty }(\lim _{\beta \to 0}\ln \operatorname {var} _{GX})=\lim _{\beta \to \infty }(\lim _{\alpha \to 0}\ln \operatorname {var} _{G(1-X)})=\infty \\&\lim _{\alpha \to 0}(\lim _{\beta \to 0}\ln \operatorname {cov} _{GX,(1-X)})=\lim _{\beta \to 0}(\lim _{\alpha \to 0}\ln \operatorname {cov} _{GX,(1-X)})=-\infty \end{aligned}}}$$

Aunque tanto ln(var _GX ) como ln(var _{G (1  − X )}  ) son asimétricos, cuando los parámetros de forma son iguales, α = β , se tiene: ln(var _GX ) = ln(var _{G (1− X )} ). Esta igualdad se deriva de la siguiente simetría que se muestra entre ambas varianzas geométricas logarítmicas:

$${\displaystyle \ln \operatorname {var} _{GX}(\mathrm {B} (\alpha ,\beta ))=\ln \operatorname {var} _{G(1-X)}(\mathrm {B} (\beta ,\alpha )).}$$

La covarianza geométrica logarítmica es simétrica:

$${\displaystyle \ln \operatorname {cov} _{GX,(1-X)}(\mathrm {B} (\alpha ,\beta ))=\ln \operatorname {cov} _{GX,(1-X)}(\mathrm {B} (\beta ,\alpha ))}$$

La desviación absoluta media alrededor de la media para la distribución beta con parámetros de forma α y β es: ^{[ 9 ]}

$${\displaystyle \operatorname {E} [|X-E[X]|]={\frac {2\alpha ^{\alpha }\beta ^{\beta }}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )(\alpha +\beta )^{\alpha +\beta +1}}}}$$

La desviación absoluta media alrededor de la media es un estimador más robusto de la dispersión estadística que la desviación estándar para distribuciones beta con colas y puntos de inflexión a cada lado de la moda, distribuciones Beta( α , β ) con α , β > 2, ya que depende de las desviaciones lineales (absolutas) en lugar de las desviaciones cuadráticas respecto a la media. Por lo tanto, el efecto de desviaciones muy grandes respecto a la media no se ve tan sobrevalorado. 

Utilizando la aproximación de Stirling a la función Gamma , NLJohnson y S.Kotz ^{[ 1 ]} derivaron la siguiente aproximación para valores de los parámetros de forma mayores que la unidad (el error relativo para esta aproximación es solo −3,5% para α = β = 1, y disminuye a cero cuando α → ∞, β → ∞):

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\text{mean abs. dev. from mean}}{\text{standard deviation}}}&={\frac {\operatorname {E} [|X-E[X]|]}{\sqrt {\operatorname {var} (X)}}}\\&\approx {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\left(1+{\frac {7}{12(\alpha +\beta )}}{}-{\frac {1}{12\alpha }}-{\frac {1}{12\beta }}\right),{\text{ if }}\alpha ,\beta >1.\end{aligned}}}$$

En el límite α → ∞, β → ∞, la razón entre la desviación absoluta media y la desviación estándar (para la distribución beta) se vuelve igual a la razón de las mismas medidas para la distribución normal:${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}}$. Para α = β = 1 esta razón es igual a${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$, de modo que desde α = β = 1 hasta α , β → ∞ la razón disminuye en un 8,5%. Para α = β = 0 la desviación estándar es exactamente igual a la desviación absoluta media alrededor de la media. Por lo tanto, esta razón disminuye en un 15% desde α = β = 0 hasta α = β = 1, y en un 25% desde α = β = 0 hasta α , β → ∞ . Sin embargo, para distribuciones beta asimétricas tales que α → 0 o β → 0, la razón de la desviación estándar a la desviación absoluta media tiende a infinito (aunque cada una de ellas, individualmente, tiende a cero) porque la desviación absoluta media tiende a cero más rápido que la desviación estándar.

Utilizando la parametrización en términos de media μ y tamaño de muestra ν = α + β > 0:

La desviación absoluta media alrededor de la media se puede expresar en términos de la media μ y el tamaño de la muestra ν de la siguiente manera:

$${\displaystyle \operatorname {E} [|X-E[X]|]={\frac {2\mu ^{\mu \nu }(1-\mu )^{(1-\mu )\nu }}{\nu \mathrm {B} (\mu \nu ,(1-\mu )\nu )}}}$$

Para una distribución simétrica, la media se encuentra en el punto medio de la distribución, μ = 1/2, y por lo tanto:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [|X-E[X]|]={\frac {2^{1-\nu }}{\nu \mathrm {B} ({\tfrac {\nu }{2}},{\tfrac {\nu }{2}})}}&={\frac {2^{1-\nu }\Gamma (\nu )}{\nu (\Gamma ({\tfrac {\nu }{2}}))^{2}}}\\\lim _{\nu \to 0}\left(\lim _{\mu \to {\frac {1}{2}}}\operatorname {E} [|X-E[X]|]\right)&={\frac {1}{2}}\\\lim _{\nu \to \infty }\left(\lim _{\mu \to {\frac {1}{2}}}\operatorname {E} [|X-E[X]|]\right)&=0\end{aligned}}}$$

Además, a partir de las expresiones anteriores se pueden obtener los siguientes límites (con solo la variable indicada aproximándose al límite):

$${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{\beta \to 0}\operatorname {E} [|X-E[X]|]&=\lim _{\alpha \to 0}\operatorname {E} [|X-E[X]|]=0\\\lim _{\beta \to \infty }\operatorname {E} [|X-E[X]|]&=\lim _{\alpha \to \infty }\operatorname {E} [|X-E[X]|]=0\\\lim _{\mu \to 0}\operatorname {E} [|X-E[X]|]&=\lim _{\mu \to 1}\operatorname {E} [|X-E[X]|]=0\\\lim _{\nu \to 0}\operatorname {E} [|X-E[X]|]&={\sqrt {\mu (1-\mu )}}\\\lim _{\nu \to \infty }\operatorname {E} [|X-E[X]|]&=0\end{aligned}}}$$

La diferencia absoluta media para la distribución beta es:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {MD} &=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}f(x;\alpha ,\beta )\,f(y;\alpha ,\beta )\left|x-y\right|dx\,dy\\[1ex]&={\frac {4}{\alpha +\beta }}{\frac {B(\alpha +\beta ,\alpha +\beta )}{B(\alpha ,\alpha )B(\beta ,\beta )}}\end{aligned}}}$$

El coeficiente de Gini para la distribución beta es la mitad de la diferencia absoluta media relativa:

$${\displaystyle \mathrm {G} =\left({\frac {2}{\alpha }}\right){\frac {B(\alpha +\beta ,\alpha +\beta )}{B(\alpha ,\alpha )B(\beta ,\beta )}}}$$