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Articulo de referencia

Beta prime distribution

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In probability theory and statistics, the beta prime distribution (also known as inverted beta distribution or beta distribution of the second kind[1]) is an absolutely continuous probability distribution. If p∈[0,1]{\displaystyle p\in [0,1]} has a beta distribution, then the oddsp1−p{\displaystyle {\frac {p}{1-p}}} has a beta prime distribution.

Definitions

Beta prime distribution is defined for x>0{\displaystyle x>0} with two parameters α and β, having the probability density function:

f(x)=xα−1(1+x)−α−βB(α,β){\displaystyle f(x)={\frac {x^{\alpha -1}(1+x)^{-\alpha -\beta }}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}}

where B is the Beta function.

The cumulative distribution function is

F(x;α,β)=Ix1+x(α,β),{\displaystyle F(x;\alpha ,\beta )=I_{\frac {x}{1+x}}\left(\alpha ,\beta \right),}

where I is the regularized incomplete beta function.

While the related beta distribution is the conjugate prior distribution of the parameter of a Bernoulli distribution expressed as a probability, the beta prime distribution is the conjugate prior distribution of the parameter of a Bernoulli distribution expressed in odds. The distribution is a Pearson type VI distribution.[1]

The mode of a variate X distributed as β′(α,β){\displaystyle \beta '(\alpha,\beta)} is X^=α−1β+1{\displaystyle {\hat {X}}={\frac {\alpha -1}{\beta +1}}}. Its mean is αβ−1{\displaystyle {\frac {\alpha }{\beta -1}}} if β>1{\displaystyle \beta >1} (if β≤1{\displaystyle \beta \leq 1} the mean is infinite, in other words it has no well defined mean) and its variance is α(α+β−1)(β−2)(β−1)2{\displaystyle {\frac {\alpha (\alpha +\beta -1)}{(\beta -2)(\beta -1)^{2}}}} if β>2{\displaystyle \beta >2}.

For −α<k<β{\displaystyle -\alpha <k<\beta }, the k-th moment E[Xk]{\displaystyle E[X^{k}]} is given by

E[Xk]=B(α+k,β−k)B(α,β).{\displaystyle E[X^{k}]={\frac {\mathrm {B} (\alpha +k,\beta -k)}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}.}

For k∈N{\displaystyle k\in \mathbb {N} } with k<β,{\displaystyle k<\beta ,} this simplifies to

E[Xk]=∏i=1kα+i−1β−i.{\displaystyle E[X^{k}]=\prod _{i=1}^{k}{\frac {\alpha +i-1}{\beta -i}}.}

The cdf can also be written as

xα⋅2F1(α,α+β,α+1,−x)α⋅B(α,β){\displaystyle {\frac {x^{\alpha }\cdot {}_{2}F_{1}(\alpha ,\alpha +\beta ,\alpha +1,-x)}{\alpha \cdot \mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}}

where 2F1{\displaystyle {}_{2}F_{1}} is the Gauss's hypergeometric function2F1 .

Alternative parameterization

The beta prime distribution may also be reparameterized in terms of its mean μ > 0 and precision ν > 0 parameters ([2] p. 36).

Consider the parameterization μ = α/(β − 1) and ν = β − 2, i.e., α = μ(1 + ν) and β = 2 + ν. Under this parameterization E[Y] = μ and Var[Y] = μ(1 + μ)/ν.

Generalization

Two more parameters can be added to form the generalized beta prime distributionβ′(α,β,p,q){\displaystyle \beta '(\alpha ,\beta ,p,q)}:

  • p>0{\displaystyle p>0}shape (real)
  • q>0{\displaystyle q>0}escala ( real )

que tiene la función de densidad de probabilidad :

F(incógnita;α,β,pag,q)=pag(incógnitaq)αpag−1(1+(incógnitaq)pag)−α−βqB(α,β){\displaystyle f(x;\alpha ,\beta ,p,q)={\frac {p\left({\frac {x}{q}}\right)^{\alpha p-1}\left(1+\left({\frac {x}{q}}\right)^{p}\right)^{-\alpha -\beta }}{q\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}}

con significa

qΓ(α+1pag)Γ(β−1pag)Γ(α)Γ(β)si βpag>1{\displaystyle {\frac {q\Gamma \left(\alpha +{\tfrac {1}{p}}\right)\Gamma (\beta -{\tfrac {1}{p}})}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}\quad {\text{if }}\beta p>1}

y modo

q(αpag−1βpag+1)1pagsi αpag≥1{\displaystyle q\left({\frac {\alpha p-1}{\beta p+1}}\right)^{\tfrac {1}{p}}\quad {\text{if }}\alpha p\geq 1}

Nótese que si p = q = 1, entonces la distribución beta prima generalizada se reduce a la distribución beta prima estándar .

Esta generalización se puede obtener mediante la siguiente transformación invertible. Siy∼β′(α,β){\displaystyle y\sim \beta '(\alpha ,\beta )}yincógnita=qy1/pag{\displaystyle x=qy^{1/p}}paraq,pag>0{\displaystyle q,p>0}, entoncesincógnita∼β′(α,β,pag,q){\displaystyle x\sim \beta '(\alpha ,\beta ,p,q)}.

Distribución gamma compuesta

La distribución gamma compuesta [ 3 ] es la generalización de la beta prima cuando se agrega el parámetro de escala, q , pero donde p  =  1. Se denomina así porque se forma mediante la composición de dos distribuciones gamma :

β′(incógnita;α,β,1,q)=∫0∞GRAMO(incógnita;α,r)GRAMO(r;β,q)dr{\displaystyle \beta '(x;\alpha ,\beta ,1,q)=\int _{0}^{\infty }G(x;\alpha ,r)G(r;\beta ,q)\;dr}

dóndeGRAMO(incógnita;a,b){\displaystyle G(x;a,b)}es la función de densidad de probabilidad gamma con formaa{\displaystyle a}y escala inversab{\displaystyle b}.

La moda, la media y la varianza de la gamma compuesta se pueden obtener multiplicando la moda y la media en el cuadro de información anterior por q y la varianza por q 2 .

Otra forma de expresar la capitalización es sir∼GRAMO(β,q){\displaystyle r\sim G(\beta ,q)}yincógnita∣r∼GRAMO(α,r){\displaystyle x\mid r\sim G(\alpha ,r)}, entoncesincógnita∼β′(α,β,1,q){\displaystyle x\sim \beta '(\alpha ,\beta ,1,q)}Esto proporciona una forma de generar variables aleatorias con distribuciones gamma compuestas o beta prima. Otra forma es mediante la razón de variables gamma independientes, como se muestra a continuación.

Propiedades

  • Siincógnita∼β′(α,β){\displaystyle X\sim \beta '(\alpha ,\beta )}entonces1incógnita∼β′(β,α){\displaystyle {\tfrac {1}{X}}\sim \beta '(\beta ,\alpha )}.
  • SiY∼β′(α,β){\displaystyle Y\sim \beta '(\alpha ,\beta )}, yincógnita=qY1/pag{\displaystyle X=qY^{1/p}}, entoncesincógnita∼β′(α,β,pag,q){\displaystyle X\sim \beta '(\alpha ,\beta ,p,q)}.
  • Siincógnita∼β′(α,β,pag,q){\displaystyle X\sim \beta '(\alpha ,\beta ,p,q)}entonceskincógnita∼β′(α,β,pag,kq){\displaystyle kX\sim \beta '(\alpha ,\beta ,p,kq)}.
  • β′(α,β,1,1)=β′(α,β){\displaystyle \beta '(\alpha ,\beta ,1,1)=\beta '(\alpha ,\beta )}
  • Siincógnita∼Beta(α,β){\displaystyle X\sim {\textrm {Beta}}(\alpha ,\beta )}, entoncesincógnita1−incógnita∼β′(α,β){\displaystyle {\frac {X}{1-X}}\sim \beta '(\alpha ,\beta )}y1incógnita−1∼β′(β,α){\displaystyle {\frac {1}{X}}-1\sim \beta '(\beta ,\alpha )}Esta propiedad se puede utilizar para generar variables aleatorias con distribución beta prima.
  • Siincógnita∼β′(α,β){\displaystyle X\sim \beta '(\alpha ,\beta )}, entoncesincógnita1+incógnita∼Beta(α,β){\displaystyle {\frac {X}{1+X}}\sim {\textrm {Beta}}(\alpha ,\beta )}y1incógnita+1∼Beta(β,α){\displaystyle {\frac {1}{X+1}}\sim {\textrm {Beta}}(\beta ,\alpha )}Esto es un corolario de la propiedad anterior.
  • Siincógnita∼F(2α,2β){\displaystyle X\sim F(2\alpha ,2\beta )}tiene una distribución F , entoncesαβincógnita∼β′(α,β){\displaystyle {\tfrac {\alpha }{\beta }}X\sim \beta '(\alpha ,\beta )}, o equivalentemente,incógnita∼β′(α,β,1,βα){\displaystyle X\sim \beta '(\alpha ,\beta ,1,{\tfrac {\beta }{\alpha }})}.
  • Para la parametrización de la distribución gamma I:
    • Siincógnitak∼Γ(αk,θk){\displaystyle X_{k}\sim \Gamma (\alpha _{k},\theta _{k})}son independientes, entoncesincógnita1incógnita2∼β′(α1,α2,1,θ1θ2){\displaystyle {\tfrac {X_{1}}{X_{2}}}\sim \beta '(\alpha _{1},\alpha _{2},1,{\tfrac {\theta _{1}}{\theta _{2}}})}. Notaθ1,θ2,θ1θ2{\displaystyle \theta _{1},\theta _{2},{\tfrac {\theta _{1}}{\theta _{2}}}}son todos parámetros de escala para sus respectivas distribuciones.
  • Para la parametrización de la distribución gamma II:
    • Siincógnitak∼Γ(αk,βk){\displaystyle X_{k}\sim \Gamma (\alpha _{k},\beta _{k})}son independientes, entoncesincógnita1incógnita2∼β′(α1,α2,1,β2β1){\displaystyle {\tfrac {X_{1}}{X_{2}}}\sim \beta '(\alpha _{1},\alpha _{2},1,{\tfrac {\beta _{2}}{\beta _{1}}})}. Elβk{\displaystyle \beta _{k}}son parámetros de velocidad, mientras queβ2β1{\displaystyle {\tfrac {\beta _{2}}{\beta _{1}}}}es un parámetro de escala.
    • Siβ2∼Γ(α1,β1){\displaystyle \beta _{2}\sim \Gamma (\alpha _{1},\beta _{1})}yincógnita2∣β2∼Γ(α2,β2){\displaystyle X_{2}\mid \beta _{2}\sim \Gamma (\alpha _{2},\beta _{2})}, entoncesincógnita2∼β′(α2,α1,1,β1){\displaystyle X_{2}\sim \beta '(\alpha _{2},\alpha _{1},1,\beta _{1})}. Elβk{\displaystyle \beta _{k}}son parámetros de tasa para las distribuciones gamma, peroβ1{\displaystyle \beta _{1}}es el parámetro de escala para la beta prima.
  • β′(pag,1,a,b)=Dagum(pag,a,b){\displaystyle \beta '(p,1,a,b)={\textrm {Dagum}}(p,a,b)}la distribución de Dagum
  • β′(1,pag,a,b)=SinghMaddala(pag,a,b){\displaystyle \beta '(1,p,a,b)={\textrm {SinghMaddala}}(p,a,b)}la distribución Singh-Maddala .
  • β′(1,1,γ,σ)=LL(γ,σ){\displaystyle \beta '(1,1,\gamma ,\sigma )={\textrm {LL}}(\gamma ,\sigma )}la distribución logística .
  • La distribución beta prima es un caso especial de la distribución de Pearson de tipo 6 .
  • Si X tiene una distribución de Pareto con mínimoincógnitametro{\displaystyle x_{m}}y parámetro de formaα{\displaystyle \alpha }, entoncesincógnitaincógnitametro−1∼β′(1,α){\displaystyle {\dfrac {X}{x_{m}}}-1\sim \beta ^{\prime }(1,\alpha )}.
  • Si X tiene una distribución de Lomax , también conocida como distribución de Pareto de tipo II, con parámetro de formaα{\displaystyle \alpha }y parámetro de escalaλ{\displaystyle \lambda }, entoncesincógnitaλ∼β′(1,α){\displaystyle {\frac {X}{\lambda }}\sim \beta ^{\prime }(1,\alpha )}.
  • Si X tiene una distribución estándar de Pareto de tipo IV con parámetro de formaα{\displaystyle \alpha }y parámetro de desigualdadγ{\displaystyle \gamma }, entoncesincógnita1γ∼β′(1,α){\displaystyle X^{\frac {1}{\gamma }}\sim \beta ^{\prime }(1,\alpha )}, o equivalentemente,incógnita∼β′(1,α,1γ,1){\displaystyle X\sim \beta ^{\prime }(1,\alpha ,{\tfrac {1}{\gamma }},1)}.
  • La distribución de Dirichlet invertida es una generalización de la distribución beta prima.
  • Siincógnita∼β′(α,β){\displaystyle X\sim \beta '(\alpha ,\beta )}, entoncesln⁡incógnita{\displaystyle \ln X}tiene una distribución logística generalizada . De manera más general, siincógnita∼β′(α,β,pag,q){\displaystyle X\sim \beta '(\alpha ,\beta ,p,q)}, entoncesln⁡incógnita{\displaystyle \ln X}tiene una distribución logística generalizada escalada y desplazada .
  • Siincógnita∼β′(12,12){\displaystyle X\sim \beta '\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}, entonces±incógnita{\displaystyle \pm {\sqrt {X}}}sigue una distribución de Cauchy, que es equivalente a una distribución t de Student con 1 grado de libertad.

Notas

  1. 1 2 Johnson et al (1995), pág. 248
  2. ↑ Bourguignon, M.; Santos-Neto, M.; de Castro, M. (2021). "Un nuevo modelo de regresión para variables aleatorias positivas con cola larga y asimétrica". Metron . 79 : 33–55 . doi : 10.1007/s40300-021-00203-y . S2CID 233534544 . 
  3. ↑ Dubey, Satya D. (diciembre de 1970). "Distribuciones gamma, beta y F compuestas". Metrika . 16 : 27–31 . doi : 10.1007/BF02613934 . S2CID 123366328 . 

Referencias

  • Johnson, NL, Kotz, S., Balakrishnan, N. (1995). Distribuciones univariadas continuas , Volumen 2 (2.ª edición), Wiley. ISBN 0-471-58494-0
  • Bourguignon, M.; Santos-Neto, M.; de Castro, M. (2021), "Un nuevo modelo de regresión para variables aleatorias positivas con cola larga y asimétrica", Metron , 79 : 33–55 , doi : 10.1007/s40300-021-00203-y , S2CID 233534544 

  • Artículo de MathWorld