La fórmula de Bethe

La fórmula de Bethe o fórmula de Bethe-Bloch describe la pérdida de energía media por distancia recorrida de partículas cargadas rápidas ( protones , partículas alfa , iones atómicos ) que atraviesan la materia (o alternativamente el poder de frenado del material). ^{[ 1 ]} Para los electrones, la pérdida de energía es ligeramente diferente debido a su pequeña masa (que requiere correcciones relativistas) y su indistinguibilidad , y dado que sufren pérdidas mucho mayores por Bremsstrahlung , se deben agregar términos para tener esto en cuenta. Las partículas cargadas rápidas que se mueven a través de la materia interactúan con los electrones de los átomos en el material. La interacción excita o ioniza los átomos, lo que lleva a una pérdida de energía de la partícula viajera.

La versión no relativista fue hallada por Hans Bethe en 1930; la versión relativista (que se muestra a continuación) fue hallada por él en 1932. ^{[ 2 ]} La pérdida de energía más probable difiere de la pérdida de energía media y se describe mediante la distribución de Landau-Vavilov. ^{[ 3 ]}

Para una partícula con velocidad v , carga z (en múltiplos de la carga del electrón) y energía E , que viaja una distancia x hacia un blanco con densidad numérica de electrones n y energía de excitación media I (ver más abajo), la versión relativista de la fórmula se lee, en unidades del SI: ^{[ 2 ]}

donde c es la velocidad de la luz y ε ₀ la permitividad del vacío ,${\displaystyle \beta ={\frac {v}{c}}}$, e y m _{e son} la carga y la masa en reposo del electrón respectivamente.

Aquí, la densidad electrónica del material se puede calcular mediante

${\displaystyle n={\frac {N_{A}\cdot Z\cdot \rho }{A\cdot M_{u}}}\,,}$

donde ρ es la densidad del material, Z su número atómico , A su masa atómica relativa , N _A el número de Avogadro y M _u la constante de masa molar .

En la figura de la derecha, los círculos pequeños representan los resultados experimentales obtenidos a partir de mediciones de diversos autores, mientras que la curva roja corresponde a la fórmula de Bethe. ^{[ 4 ]} Evidentemente, la teoría de Bethe concuerda muy bien con los resultados experimentales a altas energías. La concordancia es aún mejor al aplicar correcciones (véase más adelante).

Para energías bajas, es decir, para velocidades pequeñas de la partícula β << 1, la fórmula de Bethe se reduce a

Esto se puede ver reemplazando primero βc por v en la ecuación (1) y luego despreciando β ² debido a su pequeño tamaño.

A baja energía, la pérdida de energía según la fórmula de Bethe disminuye aproximadamente como v ⁻² con el aumento de la energía. Alcanza un mínimo para aproximadamente E = 3 Mc ² , donde M es la masa de la partícula (para protones, esto sería aproximadamente a 3000 MeV). Para casos altamente relativistas β ≈ 1, la pérdida de energía aumenta de nuevo, logarítmicamente debido a la componente transversal del campo eléctrico .

En la teoría de Bethe, el material se describe completamente mediante un único número, la energía de excitación media I. En 1933, Felix Bloch demostró que la energía de excitación media de los átomos viene dada aproximadamente por

donde Z es el número atómico de los átomos del material. Si se introduce esta aproximación en la fórmula ( 1 ) anterior, se obtiene una expresión que a menudo se denomina fórmula de Bethe-Bloch . Pero dado que ahora disponemos de tablas precisas de I en función de Z (véase más adelante), el uso de dicha tabla proporcionará mejores resultados que el uso de la fórmula ( 3 ).

La figura muestra valores normalizados de I , tomados de una tabla. ^{[ 5 ]} Los picos y valles en esta figura conducen a valles y picos correspondientes en el poder de frenado. Estos se denominan " oscilaciones Z ₂ " o "estructura Z ₂ " (donde Z ₂ = Z representa el número atómico del objetivo).

La fórmula de Bethe solo es válida para energías lo suficientemente altas como para que la partícula atómica cargada (el ion ) no transporte electrones. A energías menores, cuando el ion transporta electrones, su carga se reduce efectivamente, disminuyendo así su poder de frenado. Sin embargo, incluso si el átomo está completamente ionizado, es necesario realizar correcciones.

Bethe obtuvo su fórmula utilizando la teoría de perturbaciones cuánticas . Por lo tanto, su resultado es proporcional al cuadrado de la carga z de la partícula. La descripción puede mejorarse considerando correcciones que corresponden a potencias superiores de z . Estas son: el efecto Barkas-Andersen (proporcional a z³ ^, en honor a Walter H. Barkas y Hans Henrik Andersen ) y la corrección de Bloch ⁽ proporcional a z⁴ ). Además, hay que tener en cuenta que los electrones atómicos del material atravesado no son estacionarios ( corrección de capa ).

Las correcciones mencionadas se han incorporado a los programas PSTAR y ASTAR, por ejemplo, mediante los cuales se puede calcular el poder de frenado de protones y partículas alfa. ^{[ 6 ]} Las correcciones son grandes a bajas energías y se vuelven cada vez más pequeñas a medida que aumenta la energía.

A energías muy altas, Enrico FermiSe debe agregar la corrección de densidad ^{[ 5 ] .}

• Poder de frenado (radiación de partículas)
• Distribución de Landau
• Hans Bethe

• La función de dispersión. Distribución de la pérdida de energía de las partículas cargadas.
• Publicación original: Zur Theorie des Durchgangs schneller Korpuskularstrahlen durch Materie en "Annalen der Physik", vol. 397 (1930) 325 -400
• Paso de partículas cargadas a través de la materia, con un gráfico.
• Poder de frenado para protones y partículas alfa
• Gráficos y datos sobre el poder de frenado
• Soluciones numéricas recientes