Teorema de Bézout

Supongamos que X e Y son dos curvas proyectivas planas definidas sobre un cuerpo F que no tienen componente común (esta condición significa que X e Y están definidas por polinomios, sin divisor común de grado positivo). Entonces, el número total de puntos de intersección de X e Y con coordenadas en un cuerpo algebraicamente cerrado E que contiene a F , contados con sus multiplicidades , es igual al producto de los grados de X e Y.

La generalización en dimensiones superiores puede enunciarse de la siguiente manera:

Sean n hipersuperficies proyectivas dadas en un espacio proyectivo de dimensión n sobre un cuerpo algebraicamente cerrado, definidas por n polinomios homogéneos en n + 1 variables, de grados${\displaystyle d_{1},\ldots ,d_{n}.}$Entonces, o bien el número de puntos de intersección es infinito, o bien el número de puntos de intersección, contados con multiplicidad, es igual al producto${\displaystyle d_{1}\cdots d_{n}.}$Si las hipersuperficies están en posición general relativa , entonces hay${\displaystyle d_{1}\cdots d_{n}}$puntos de intersección, todos con multiplicidad 1.

Existen diversas demostraciones de este teorema, algunas expresadas en términos puramente algebraicos y otras que utilizan el lenguaje de la geometría algebraica . A continuación se esbozan tres demostraciones algebraicas.

El teorema de Bézout se ha generalizado como el llamado teorema de Bézout multihomogéneo .

El caso afín del teorema es la siguiente afirmación, que fue demostrada en 1983 por David Masser y Gisbert Wüstholz . ^{[ 8 ]}

Consideremos n hipersuperficies afines definidas sobre un cuerpo algebraicamente cerrado por n polinomios en n variables, de grados${\displaystyle d_{1},\ldots ,d_{n}.}$Entonces, o bien el número de puntos de intersección es infinito, o bien el número de puntos de intersección, contados con sus multiplicidades, es como máximo el producto${\displaystyle d_{1}\cdots d_{n}.}$Si las hipersuperficies están en una posición general relativa , entonces hay exactamente${\displaystyle d_{1}\cdots d_{n}}$puntos de intersección, todos con multiplicidad 1.

La última afirmación es un corolario del teorema de Bézout, pero la primera no lo es, debido a la posibilidad de un número finito de puntos de intersección en el espacio afín, junto con infinitos puntos de intersección en el infinito.

Este teorema es un corolario, no enunciado explícitamente, de una afirmación más general demostrada por Masser y Wüstholz.

Para enunciar el resultado general, es necesario recordar que los puntos de intersección forman un conjunto algebraico y que existe un número finito de puntos de intersección si y solo si todos los componentes de la intersección tienen dimensión cero (un conjunto algebraico de dimensión positiva tiene un número infinito de puntos sobre un cuerpo algebraicamente cerrado). Se dice que un punto de intersección es aislado si no pertenece a un componente de dimensión positiva de la intersección; esta terminología tiene sentido, ya que un punto de intersección aislado tiene vecindades (para la topología de Zariski o para la topología usual en el caso de hipersuperficies complejas) que no contienen ningún otro punto de intersección.

Consideremos n hipersuperficies proyectivas definidas sobre un cuerpo algebraicamente cerrado por n polinomios homogéneos en${\displaystyle n+1}$ variables, de grados${\displaystyle d_{1},\ldots ,d_{n}.}$Entonces, la suma de las multiplicidades de sus puntos de intersección aislados es como máximo el producto${\displaystyle d_{1}\cdots d_{n}.}$El resultado sigue siendo válido para cualquier número m de hipersuperficies, si se establece${\displaystyle d_{m+1}=0}$en el caso${\displaystyle m<n,}$y, de otro modo, si uno ordena los grados por tener${\displaystyle d_{2}\geq d_{3}\geq \cdots \geq d_{m}\geq d_{1}.}$Es decir, no hay ningún punto de intersección aislado si${\displaystyle m<n,}$y, en caso contrario, el límite es el producto del grado más pequeño y el${\displaystyle n-1}$grados más grandes.

La ecuación de una recta en un plano euclidiano es lineal , es decir, iguala un polinomio de grado uno a cero. Por lo tanto, la cota de Bézout para dos rectas es 1 , lo que significa que dos rectas se intersecan en un solo punto o no se intersecan. En este último caso, las rectas son paralelas y se encuentran en un punto en el infinito .

Esto se puede verificar con ecuaciones. La ecuación de una primera recta se puede escribir en forma de pendiente-ordenada al origen.${\displaystyle y=sx+m}$o, en coordenadas proyectivas${\displaystyle y=sx+mt}$(si la línea es vertical, se pueden intercambiar x e y ). Si la ecuación de una segunda línea es (en coordenadas proyectivas)${\displaystyle ax+by+ct=0,}$sustituyendo${\displaystyle sx+mt}$para y en él, uno obtiene${\displaystyle (a+bs)x+(c+bm)t=0.}$Si${\displaystyle a+bs\neq 0,}$Se obtiene la coordenada x del punto de intersección resolviendo la última ecuación en x y haciendo t = 1.

Si${\displaystyle a+bs=0,}$eso es${\displaystyle s=-a/b,}$Las dos líneas son paralelas ya que tienen la misma pendiente.${\displaystyle m\neq -c/b,}$son distintos, y la ecuación sustituida da t = 0. Esto da el punto en el infinito de coordenadas proyectivas (1, s , 0) .

Como se indicó anteriormente, se puede escribir la ecuación de la recta en coordenadas proyectivas como${\displaystyle y=sx+mt.}$Si la curva está definida en coordenadas proyectivas por un polinomio homogéneo${\displaystyle p(x,y,t)}$De grado n , la sustitución de y proporciona un polinomio homogéneo de grado n en x y t . El teorema fundamental del álgebra implica que puede factorizarse en factores lineales. Cada factor da la razón de las coordenadas x y t de un punto de intersección, y la multiplicidad del factor es la multiplicidad del punto de intersección.

Si se considera que t es la coordenada del infinito , un factor igual a t representa un punto de intersección en el infinito.

Si al menos una derivada parcial del polinomio p no es cero en un punto de intersección, entonces la tangente de la curva en dicho punto está definida (véase Curva algebraica §  Tangente en un punto ), y la multiplicidad de intersección es mayor que uno si y solo si la recta es tangente a la curva. Si todas las derivadas parciales son cero, el punto de intersección es un punto singular , y la multiplicidad de intersección es al menos dos.

Dos secciones cónicas generalmente se intersecan en cuatro puntos, algunos de los cuales pueden coincidir. Para tener en cuenta correctamente todos los puntos de intersección, puede ser necesario permitir coordenadas complejas e incluir los puntos de la línea infinita en el plano proyectivo. Por ejemplo:

• Dos círculos nunca se intersecan en más de dos puntos del plano, mientras que el teorema de Bézout predice cuatro. La discrepancia proviene del hecho de que cada círculo pasa por los mismos dos puntos complejos en la línea del infinito. Escribiendo el círculo$${\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}}$$en coordenadas homogéneas , obtenemos$${\displaystyle (x-az)^{2}+(y-bz)^{2}-r^{2}z^{2}=0,}$$De lo cual se deduce que los dos puntos (1  : i  : 0) y (1  : – i  : 0) se encuentran en cualquier circunferencia. Cuando dos circunferencias no se intersecan en el plano real, las otras dos intersecciones tienen coordenadas no reales; o, si las circunferencias son concéntricas, se intersecan exactamente en los dos puntos de la recta en el infinito con una multiplicidad de intersección de dos.
• Según el teorema, cualquier cónica interseca la recta del infinito en dos puntos. Una hipérbola la interseca en dos puntos reales que corresponden a las dos direcciones de las asíntotas. Una elipse la interseca en dos puntos complejos conjugados entre sí ; en el caso de un círculo, los puntos (1  : i  : 0) y (1  : – i  : 0) . Una parábola la interseca en un solo punto, pero este es un punto de tangencia y, por lo tanto, cuenta dos veces.
• Las siguientes imágenes muestran ejemplos en los que el círculo x² + y² ^– 1 = 0 ^se encuentra con otra elipse en menos puntos de intersección porque al menos uno de ellos tiene multiplicidad mayor que uno:

Sean P y Q dos polinomios homogéneos en las indeterminadas x , y , t de grados p y q, respectivamente . Sus raíces son las coordenadas homogéneas de dos curvas proyectivas . Por lo tanto , las coordenadas homogéneas de sus puntos de intersección son las raíces comunes de P y Q.

Al agrupar las potencias de una indeterminada, digamos y , se obtienen polinomios univariados cuyos coeficientes son polinomios homogéneos en x y t .

Por razones técnicas, se debe aplicar un cambio de coordenadas de modo que los grados en y de P y Q sean iguales a sus grados totales ( p y q ), y cada línea que pasa por dos puntos de intersección no pasa por el punto (0, 1, 0) (esto significa que no hay dos puntos que tengan la misma coordenada x cartesiana ).

El resultante R ( x , t ) de P y Q con respecto a y es un polinomio homogéneo en x y t que tiene la siguiente propiedad: ${\displaystyle R(\alpha ,\tau )=0}$con${\displaystyle (\alpha ,\tau )\neq (0,0)}$si y solo si existe${\displaystyle \beta }$de tal manera que${\displaystyle (\alpha ,\beta ,\tau )}$es un cero común de P y Q (véase Ceros resultantes  ). La condición técnica anterior garantiza que${\displaystyle \beta }$es único. La primera condición técnica anterior significa que los grados utilizados en la definición del resultante son p y q ; esto implica que el grado de R es pq (ver Resultante §  Homogeneidad ).

Como R es un polinomio homogéneo en dos indeterminadas, el teorema fundamental del álgebra implica que R es un producto de pq polinomios lineales. Si se define la multiplicidad de un cero común de P y Q como el número de veces que aparece el factor correspondiente en el producto, se demuestra así el teorema de Bézout.

Para demostrar que la multiplicidad de intersección que se acaba de definir es igual a la definición en términos de una deformación, basta con observar que la resultante y, por lo tanto, sus factores lineales son funciones continuas de los coeficientes de P y Q.

Demostrar la igualdad con otras definiciones de multiplicidades de intersección depende de los aspectos técnicos de dichas definiciones y, por lo tanto, queda fuera del alcance de este artículo.

A principios del siglo XX, Francis Sowerby Macaulay introdujo la resultante multivariada (también conocida como resultante de Macaulay ) de n polinomios homogéneos en n indeterminadas, que es una generalización de la resultante usual de dos polinomios. La resultante de Macaulay es una función polinómica de los coeficientes de n polinomios homogéneos que es cero si y solo si los polinomios tienen un cero común no trivial (es decir, algún componente es distinto de cero) en un cuerpo algebraicamente cerrado que contiene los coeficientes.

El U -resultante es un caso particular del resultante de Macaulay, introducido también por Macaulay. Dados n polinomios homogéneos${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}}$en n + 1 indeterminadas${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n},}$El U -resultante es el resultante de${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n},}$y${\displaystyle U_{0}x_{0}+\cdots +U_{n}x_{n},}$donde los coeficientes${\displaystyle U_{0},\ldots ,U_{n}}$son indeterminadas auxiliares. El U -resultante es un polinomio homogéneo en${\displaystyle U_{0},\ldots ,U_{n},}$cuyo grado es el producto de los grados de la${\displaystyle f_{i}.}$

Aunque un polinomio multivariado es generalmente irreducible , el U -resultante puede factorizarse en lineal (en el${\displaystyle U_{i}}$) polinomios sobre un cuerpo algebraicamente cerrado que contiene los coeficientes de los${\displaystyle f_{i}.}$Estos factores lineales corresponden a los ceros comunes de la${\displaystyle f_{i}}$de la siguiente manera: a cada cero común${\displaystyle (\alpha _{0},\ldots ,\alpha _{n})}$corresponde a un factor lineal${\displaystyle (\alpha _{0}U_{0}+\cdots +\alpha _{n}U_{n}),}$y viceversa.

Esto prueba el teorema de Bézout, si la multiplicidad de un cero común se define como la multiplicidad del factor lineal correspondiente de la U -resultante. Al igual que en la prueba anterior, la igualdad de esta multiplicidad con la definición por deformación resulta de la continuidad de la U -resultante como función de los coeficientes de la${\displaystyle f_{i}.}$

Esta demostración del teorema de Bézout parece ser la demostración más antigua que satisface los criterios modernos de rigor.

El teorema de Bézout se puede demostrar mediante recurrencia en el número de polinomios utilizando el siguiente teorema.

Sea V un conjunto algebraico proyectivo de dimensión${\displaystyle \delta }$y título${\displaystyle d_{1}}$y sea H una hipersuperficie (definida por un único polinomio) de grado${\displaystyle d_{2}}$, que no contiene ningún componente irreducible de V ; bajo estas hipótesis, la intersección de V y H tiene dimensión${\displaystyle \delta -1}$y título${\displaystyle d_{1}d_{2}.}$

Para una demostración (esbozada) usando series de Hilbert , véase Series de Hilbert y polinomio de Hilbert §  Grado de una variedad proyectiva y teorema de Bézout .

Además de permitir una demostración conceptualmente sencilla del teorema de Bézout, este teorema es fundamental para la teoría de la intersección , ya que esta teoría se dedica esencialmente al estudio de las multiplicidades de intersección cuando no se aplican las hipótesis del teorema anterior.