Bicorn

En geometría , el bicornio , también conocido como curva de sombrero de tres picos debido a su parecido con un bicornio , es una curva cuártica racional definida por la ecuación ^{[ 1 ].}$${\displaystyle y^{2}\left(a^{2}-x^{2}\right)=\left(x^{2}+2ay-a^{2}\right)^{2}.}$$ Tiene dos cúspides y es simétrica respecto al eje y. ^{[ 2 ]}

En 1864, James Joseph Sylvester estudió la curva $${\displaystyle y^{4}-xy^{3}-8xy^{2}+36x^{2}y+16x^{2}-27x^{3}=0}$$ En relación con la clasificación de ecuaciones quínticas , denominó a la curva bicorne porque tiene dos cúspides. Esta curva fue estudiada posteriormente por Arthur Cayley en 1867. ^{[ 3 ]}

El bicornio es una curva algebraica plana de grado cuatro y género cero. Tiene dos singularidades de cúspide en el plano real y un punto doble en el plano proyectivo complejo en${\displaystyle (x=0,z=0)}$Si nos movemos${\displaystyle x=0}$y${\displaystyle z=0}$al origen y realizar una rotación imaginaria en${\displaystyle x}$sustituyendo${\displaystyle ix/z}$ para${\displaystyle x}$y${\displaystyle 1/z}$para${\displaystyle y}$En la curva bicorn, obtenemos $${\displaystyle \left(x^{2}-2az+a^{2}z^{2}\right)^{2}=x^{2}+a^{2}z^{2}.}$$ Esta curva, un limaçon , tiene un punto doble ordinario en el origen y dos nodos en el plano complejo, en${\displaystyle x=\pm i}$y${\displaystyle z=1}$. ^{[ 4 ]}

Las ecuaciones paramétricas de una curva bicorne son $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\sin \theta \\y&=a\,{\frac {(2+\cos \theta )\cos ^{2}\theta }{3+\sin ^{2}\theta }}\end{aligned}}}$$ con${\displaystyle -\pi \leq \theta \leq \pi .}$

• Lista de curvas

• Weisstein, Eric W. "Bicorn" . MathWorld .