El polígono pequeño más grande

En geometría, el polígono pequeño más grande para un número n es el polígono de n lados que tiene un diámetro de uno (es decir, cada dos de sus puntos están a una distancia unitaria entre sí) y que tiene el área más grande entre todos los n -gonos de diámetro uno . Una solución no única cuando n = 4 es un cuadrado , y la solución es un polígono regular cuando n es un número impar, pero la solución es irregular en caso contrario.

Para n = 4, el área de un cuadrilátero arbitrario está dada por la fórmula S  =  pq  sin( θ )/2 donde p y q son las dos diagonales del cuadrilátero y θ es cualquiera de los ángulos que forman entre sí. Para que el diámetro sea como máximo 1, tanto p como q deben ser como máximo 1. Por lo tanto, el cuadrilátero tiene el área más grande cuando los tres factores en la fórmula del área se maximizan individualmente, con p  =  q  = 1 y sin( θ ) = 1. La condición de que p  =  q significa que el cuadrilátero es un cuadrilátero equidiagonal (sus diagonales tienen la misma longitud), y la condición de que sin( θ ) = 1 significa que es un cuadrilátero ortodiagonal (sus diagonales se cruzan en ángulos rectos). Los cuadriláteros de este tipo incluyen el cuadrado con diagonales de longitud unitaria, que tiene un área de 1/2. Sin embargo, hay infinitos otros cuadriláteros ortodiagonales y equidiagonales que también tienen diámetro 1 y tienen la misma área que el cuadrado, por lo que en este caso la solución no es única. ^[1]

Para valores impares de n , Karl Reinhardt demostró en 1922 que un polígono regular tiene el área más grande entre todos los polígonos de diámetro uno. ^[2]

En el caso n = 6, el único polígono óptimo no es regular. La solución a este caso fue publicada en 1975 por Ronald Graham , respondiendo a una pregunta planteada en 1956 por Hanfried Lenz ; ^[3] toma la forma de un pentágono equidiagonal irregular con un triángulo isósceles obtuso unido a uno de sus lados, con la distancia desde el vértice del triángulo al vértice opuesto del pentágono igual a las diagonales del pentágono. ^[4] Su área es 0.674981.... (sucesión A111969 en la OEIS ), un número que satisface la ecuación (aunque no expresable en radicales debido a que tiene el grupo de Galois S ₁₀ )

4096  x ¹⁰  + 8192 x ⁹  − 3008 x ⁸  − 30848 x ⁷  + 21056 x ⁶  + 146496 x ⁵  − 221360 x ⁴  + 1232 x ³  + 144464 x ²  − 78488 x  + 11993 = 0.

Graham conjeturó que la solución óptima para el caso general de valores pares de n consiste de la misma manera en un ( n  − 1)-gono equidiagonal con un triángulo isósceles unido a uno de sus lados, su vértice a una distancia unitaria del vértice opuesto ( n  − 1)-gono. En el caso n  = 8 esto fue verificado por un cálculo computacional por Audet et al. ^[5] La prueba de Graham de que su hexágono es óptimo, y la prueba computacional del caso n  = 8, ambas involucraron un análisis de caso de todos los posibles n -vértices de hexágono con aristas rectas.

La conjetura completa de Graham, que caracteriza la solución al problema del polígono pequeño más grande para todos los valores pares de n , fue demostrada en 2007 por Foster y Szabo. ^[6]

• El pequeño octágono de Hansen
• Polígono de Reinhardt , los polígonos que maximizan el perímetro para su diámetro, maximizan el ancho para su diámetro y maximizan el ancho para su perímetro

• Weisstein, Eric W. , "El polígono más pequeño y grande", MathWorld
• El hexágono pequeño más grande de Graham, del Salón de los Hexágonos