Polígono de Reinhardt

En geometría, un polígono de Reinhardt es un polígono convexo cuyos triángulos, formados a partir de cada arista y del punto más alejado de la misma, son congruentes e isósceles . Los lados de estos triángulos isósceles forman los pares de vértices más alejados (sus diámetros ) e incluyen todos los vértices del polígono. Los polígonos de Reinhardt pueden construirse a partir de ciertos polígonos de Reuleaux , curvas de anchura constante formadas por arcos circulares de radio constante, subdividiendo y enderezando los arcos de un polígono de Reuleaux en segmentos de línea de igual longitud .

El número de lados de un polígono de Reinhardt puede ser cualquier entero positivo que no sea una potencia de dos . Para cualquier número impar${\displaystyle n}$, el regular${\displaystyle n}$-gon es un polígono de Reinhardt. Solo hay una forma de Reinhardt.${\displaystyle n}$-se fue cuando${\displaystyle n}$es un número primo o el doble de un número primo, pero para otros valores hay múltiples Reinhardt diferentes${\displaystyle n}$-gones. Una fórmula cuenta los Reinhardt${\displaystyle n}$-gonos con simetría rotacional, pero muchos polígonos de Reinhardt son asimétricos.

Entre todos los polígonos con${\displaystyle n}$Los polígonos de Reinhardt tienen el mayor perímetro posible para su diámetro, el mayor ancho posible para su diámetro y el mayor ancho posible para su perímetro. Reciben su nombre de Karl Reinhardt , quien los estudió en 1922. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Un polígono de Reuleaux es una figura convexa con lados en forma de arco circular, cada uno centrado en un vértice de la figura y con el mismo radio; un ejemplo es el triángulo de Reuleaux . Si los lados de un polígono de Reuleaux se pueden dividir en arcos de igual longitud, al reemplazar estos arcos por segmentos de línea se forma un polígono de Reinhardt. Este es un polígono equilátero (sus lados tienen la misma longitud), la envoltura convexa de los extremos de los arcos de igual longitud, y está inscrito en el polígono de Reuleaux. El polígono de Reuleaux subyacente es una curva de ancho constante , pero el polígono de Reinhardt formado a partir de él no lo es, ya que tiene lados rectos en lugar de arcos curvos. Los vértices del polígono de Reinhardt pueden incluir tanto los vértices del polígono de Reuleaux subyacente como puntos adicionales donde se han subdividido los arcos del polígono de Reuleaux. ^{[ 3 ]}

Si${\displaystyle n}$es una potencia de dos , entonces no es posible formar un polígono de Reinhardt con${\displaystyle n}$lados. Si${\displaystyle n}$es un número impar , entonces el polígono regular con${\displaystyle n}$Los lados son un polígono de Reinhardt. Cada número natural${\displaystyle n}$que no es una potencia de dos tiene un divisor impar${\displaystyle d\geq 3}$, a partir del cual un polígono de Reinhardt con${\displaystyle n}$Los lados pueden formarse subdividiendo cada arco de una línea regular.${\displaystyle d}$Polígono de Reuleaux de lados dividido en${\displaystyle n/d}$arcos más pequeños. Por lo tanto, los posibles números de lados de los polígonos de Reinhardt son los números educados , números que no son potencias de dos. Cuando${\displaystyle n}$es un número primo impar , o dos veces un número primo, solo hay una forma de${\displaystyle n}$Polígono de Reinhardt de lados, pero todos los demás valores de${\displaystyle n}$tienen polígonos de Reinhardt con múltiples formas. ^{[ 1 ]}

Los pares de diámetros de un polígono de Reinhardt forman muchos triángulos isósceles con lados del triángulo, con ángulo del vértice${\displaystyle \pi /n}$, a partir de lo cual se pueden calcular las dimensiones del polígono. Si la longitud del lado de un polígono de Reinhardt es 1, entonces su perímetro es simplemente${\displaystyle n}$. El diámetro del polígono (la distancia más larga entre dos cualesquiera de sus puntos) es igual a la longitud del lado de estos triángulos isósceles,${\displaystyle 1/2\sin(\pi /2n)}$. El ancho del polígono (la distancia más corta entre dos líneas de soporte paralelas cualesquiera ) es igual a la altura de este triángulo,${\displaystyle 1/2\tan(\pi /2n)}$. Estos polígonos son óptimos de tres maneras: ^{[ 1 ]}

• Tienen el perímetro más grande posible entre todos.${\displaystyle n}$Polígonos de lados con su diámetro y el diámetro más pequeño posible entre todos${\displaystyle n}$Polígonos de lados con su perímetro. ^{[ 1 ]}
• Tienen el mayor ancho posible entre todos.${\displaystyle n}$Polígonos de lados con su diámetro y el diámetro más pequeño posible entre todos${\displaystyle n}$Polígonos de lados con su ancho. ^{[ 1 ]}
• Tienen el mayor ancho posible entre todos.${\displaystyle n}$Polígonos de lados con su perímetro y el perímetro más pequeño posible entre todos${\displaystyle n}$Polígonos de lados con su ancho. ^{[ 1 ]}

La relación entre perímetro y diámetro para estos polígonos fue demostrada por Reinhardt, ^{[ 4 ]} y redescubierta independientemente en múltiples ocasiones. ^{[ 5 ] [ 6 ]} La relación entre diámetro y anchura fue demostrada por Bezdek y Fodor en 2000; su trabajo también investiga los polígonos óptimos para este problema cuando el número de lados es una potencia de dos (para los cuales no existen polígonos de Reinhardt). ^{[ 7 ]}

El${\displaystyle n}$Polígonos de Reinhardt de lados formados a partir de${\displaystyle d}$Los polígonos regulares de Reuleaux de lados son simétricos: pueden rotarse un ángulo de${\displaystyle 2\pi /d}$para obtener el mismo polígono. Los polígonos de Reinhardt que tienen este tipo de simetría rotacional se llaman periódicos , y los polígonos de Reinhardt sin simetría rotacional se llaman esporádicos . Si${\displaystyle n}$es un semiprimo (el producto de dos números primos ), o el producto de una potencia de dos con una potencia prima impar , entonces todos${\displaystyle n}$Los polígonos de Reinhardt de lados son periódicos. En los casos restantes, cuando${\displaystyle n}$tiene al menos dos factores primos impares distintos y no es semiprimo; también existen polígonos de Reinhardt esporádicos. ^{[ 2 ]}

Para cada${\displaystyle n}$, solo hay un número finito de distintos${\displaystyle n}$Polígonos de Reinhardt de lados. ^{[ 3 ]} Si${\displaystyle p}$es el factor primo más pequeño de${\displaystyle n}$, entonces el número de distintos${\displaystyle n}$Polígonos periódicos de Reinhardt de -lados $${\displaystyle {\frac {p2^{n/p}}{4n}}{\bigl (}1+o(1){\bigr )},}$$ donde el${\displaystyle o(1)}$El término utiliza poca notación O. Sin embargo, el número de polígonos de Reinhardt esporádicos se comprende menos, y para la mayoría de los valores de${\displaystyle n}$El número total de polígonos de Reinhardt está dominado por los esporádicos. ^{[ 2 ]}

Número de${\displaystyle n}$Polígonos periódicos de Reinhardt de -lados ^{[ 1 ]} (secuencia A374832 en el OEIS ) :

Número de${\displaystyle n}$Polígonos de Reinhardt esporádicos de -lados ^{[ 1 ]} (secuencia A373695 en el OEIS ) :

• Polígono pequeño más grande , los polígonos que maximizan el área para su diámetro.