Tipo binomial

En matemáticas , una secuencia de polinomios , es decir, una secuencia de polinomios indexados por enteros no negativos.${\textstyle \left\{0,1,2,3,\ldots \right\}}$en el que el índice de cada polinomio es igual a su grado , se dice que es de tipo binomial si satisface la secuencia de identidades.

${\displaystyle p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\,p_{k}(x)\,p_{nk}(y).}$

Existen muchas secuencias de este tipo. El conjunto de todas ellas forma un grupo de Lie bajo la operación de composición umbral , que se explica más adelante. Toda secuencia de tipo binomial puede expresarse en términos de los polinomios de Bell . Toda secuencia de tipo binomial es una secuencia de Sheffer (aunque la mayoría de las secuencias de Sheffer no son de tipo binomial). Las secuencias polinomiales fundamentan las vagas nociones decimonónicas del cálculo umbral .

• En consecuencia de esta definición, el teorema del binomio puede enunciarse diciendo que la secuencia${\displaystyle \{x^{n}:n=0,1,2,\ldots \}}$es de tipo binomial.
• La secuencia de " factoriales inferiores " se define por$${\displaystyle (x)_{n}=x(x-1)(x-2)\cdot \cdots \cdot (x-n+1).}$$(En la teoría de funciones especiales , esta misma notación denota factoriales superiores , pero este uso actual es universal entre los combinatorialistas ). Se entiende que el producto es 1 si n = 0, ya que en ese caso es un producto vacío . Esta secuencia polinómica es de tipo binomial. ^{[ 1 ]}
• De manera similar, los " factoriales superiores "$${\displaystyle x^{(n)}=x(x+1)(x+2)\cdot \cdots \cdot (x+n-1)}$$son una secuencia polinómica de tipo binomial.
• Los polinomios de Abel$${\displaystyle p_{n}(x)=x(x-an)^{n-1}}$$son una secuencia polinómica de tipo binomial.
• Los polinomios de Touchard$${\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}S(n,k)x^{k}}$$dónde${\displaystyle S(n,k)}$es el número de particiones de un conjunto de tamaño${\displaystyle n}$en${\displaystyle k}$subconjuntos disjuntos no vacíos , es una secuencia polinómica de tipo binomial. Eric Temple Bell los llamó "polinomios exponenciales" y ese término también se ve a veces en la literatura. Los coeficientes${\displaystyle S(n,k)}$son " números de Stirling de segunda especie". Esta secuencia tiene una curiosa conexión con la distribución de Poisson : Si${\displaystyle X}$es una variable aleatoria con distribución de Poisson con valor esperado${\displaystyle \lambda }$entonces${\displaystyle E(X^{n})=p_{n}(\lambda )}$. En particular, cuando${\displaystyle \lambda =1}$, vemos que el${\displaystyle n}$momento n de la distribución de Poisson con valor esperado${\displaystyle 1}$es el número de particiones de un conjunto de tamaño${\displaystyle n}$, llamado el${\displaystyle n}$Número de Bell . Este hecho sobre el${\displaystyle n}$El momento de esa distribución de Poisson en particular es la " fórmula de Dobinski ".

Se puede demostrar que una sucesión polinómica { p _n (x): n  = 0, 1, 2, … } es de tipo binomial si y solo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

• La transformación lineal en el espacio de polinomios en x que se caracteriza por$${\displaystyle p_{n}(x)\mapsto np_{n-1}(x)}$$es equivariante al desplazamiento y
• p ₀ ( x ) = 1 para todo x , y
• p _n (0) = 0 para n > 0.

(La afirmación de que este operador es equivariante bajo desplazamientos es equivalente a decir que la sucesión polinómica es una sucesión de Sheffer ; el conjunto de sucesiones de tipo binomial está propiamente incluido dentro del conjunto de sucesiones de Sheffer).

Para cualquier secuencia a ₁ , a ₂ , a ₃ , … de escalares , sea

${\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(a_{1},\dots ,a_{n-k+1})x^{k}}$

donde B _{n , k} ( a ₁ , …, a _{n − k +1} ) es el polinomio de Bell . Entonces esta secuencia polinómica es de tipo binomial. Nótese que para cada n ≥ 1,

${\displaystyle p_{n}'(0)=a_{n}.}$

Este es el resultado principal de esta sección:

Teorema: Todas las secuencias de polinomios de tipo binomial son de esta forma.

Un resultado en Mullin y Rota, repetido en Rota, Kahaner y Odlyzko ^{[ 2 ]} afirma que toda secuencia polinómica { p _n ( x ) } _n de tipo binomial está determinada por la secuencia { p _n ′ (0) } _n , pero esas fuentes no mencionan los polinomios de Bell.    

Esta secuencia de escalares también está relacionada con el operador delta. Sea

${\displaystyle P(t)=\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n!}t^{n}.}$

Entonces

${\displaystyle P^{-1}\left({d \over dx}\right),}$

dónde${\displaystyle P^{-1}(P(x))=P(P^{-1}(x))=1}$, es el operador delta de esta secuencia.

Para secuencias a _n , b _n , n = 0, 1, 2, …, definamos una especie de convolución mediante

${\displaystyle (a{\mathbin {\diamondsuit }}b)_{n}=\sum _{j=0}^{n}{n \choose j}a_{j}b_{nj}.}$

Dejar${\displaystyle a_{n}^{k\diamondsuit }}$sea ​​el enésimo término de la secuencia

${\displaystyle \underbrace {a\mathbin {\diamondsuit } \cdots \mathbin {\diamondsuit } a} _{k{\text{ factores}}}.}$

Entonces, para cualquier secuencia a _i , i = 0, 1, 2, ..., con a ₀ = 0, la secuencia definida por p ₀ ( x ) = 1 y

${\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}{a_{n}^{k\diamondsuit }x^{k} \over k!}\,}$

para n ≥ 1, es de tipo binomial, y toda secuencia de tipo binomial es de esta forma.

Las sucesiones polinómicas de tipo binomial son precisamente aquellas cuyas funciones generadoras son series de potencias formales (no necesariamente convergentes ) de la forma

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{p_{n}(x) \over n!}t^{n}=e^{xf(t)}}$

donde f ( t ) es una serie de potencias formal cuyo término constante es cero y cuyo término de primer grado no es cero. ^{[ 3 ]} Se puede demostrar mediante el uso de la versión en serie de potencias de la fórmula de Faà di Bruno que

${\displaystyle f(t)=\sum _{n=1}^{\infty }{p_{n}'(0) \over (n-1)!}t^{n-1}.}$

El operador delta de la secuencia es el inverso compositivo.${\displaystyle f^{-1}(D)}$, de modo que

${\displaystyle f^{-1}(D)p_{n}(x)=np_{n-1}(x).}$

El conjunto de todas las secuencias polinómicas de tipo binomial es un grupo en el que la operación de grupo es la "composición umbral" de secuencias polinómicas. Dicha operación se define de la siguiente manera. Supongamos que { p _n ( x ): n = 0, 1, 2, 3, ... } y { q _n ( x ): n = 0, 1, 2, 3, ... } son secuencias polinómicas, y

${\displaystyle p_{n}(x)=\sum _ {k=0}^{n}a_{n,k}\,x^{k}.}$

Entonces la composición umbral p o q es la secuencia polinómica cuyo n- ésimo término es

${\displaystyle (p_{n}\circ q)(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}\,q_{k}(x)}$

(el subíndice n aparece en p _n , puesto que este es el n-ésimo término de esa secuencia, pero no en q , puesto que este se refiere a la secuencia en su conjunto y no a uno de sus términos).

Con el operador delta definido por una serie de potencias en D como se indicó anteriormente, la biyección natural entre operadores delta y secuencias polinómicas de tipo binomial, también definidas anteriormente, es un isomorfismo de grupo , en el cual la operación de grupo sobre series de potencias es una composición formal de series de potencias formales.

La secuencia κ _n de coeficientes de los términos de primer grado en una secuencia polinómica de tipo binomial puede denominarse cumulantes de la secuencia polinómica. Se puede demostrar que toda la secuencia polinómica de tipo binomial está determinada por sus cumulantes, de una manera que se discute en el artículo titulado cumulante . Por lo tanto,

${\displaystyle p_{n}'(0)=\kappa _ {n}=}$el n -ésimo cumulante

y

${\displaystyle p_{n}(1)=\mu _{n}'=}$el momento n .

Se trata de cumulantes "formales" y momentos "formales" , a diferencia de los cumulantes de una distribución de probabilidad y los momentos de una distribución de probabilidad.

Dejar

${\displaystyle f(t)=\sum _ {n=1}^{\infty }{\frac {\kappa _ {n}}{n!}}t^{n}}$

Sea la función generadora de cumulantes (formal). Entonces

${\displaystyle f^{-1}(D)}$

es el operador delta asociado con la secuencia polinómica, es decir, tenemos

${\displaystyle f^{-1}(D)p_{n}(x)=np_{n-1}(x).}$

El concepto de tipo binomial tiene aplicaciones en combinatoria , probabilidad , estadística y una variedad de otros campos.

• Lista de temas sobre factorial y binomial
• Filtros de ondículas de Daubechies ( QMF binomial )

• R. Mullin y G.-C. Rota, "Sobre los fundamentos de la teoría combinatoria III: Teoría de la enumeración binomial", en Teoría de grafos y sus aplicaciones , editado por Bernard Harris, Academic Press, Nueva York, 1970.
• Roman, Stephen (2008). Álgebra lineal avanzada . Textos de posgrado en matemáticas (Tercera  ed.). Springer. ISBN 978-0-387-72828-5.

Como sugiere el título, el segundo punto trata explícitamente sobre aplicaciones a la enumeración combinatoria .

• di Bucchianico, Alessandro. Aspectos probabilísticos y analíticos del cálculo umbral , Ámsterdam, CWI , 1997.
• Weisstein, Eric W. "Secuencia de tipo binomial" . MathWorld .