Bitangentes de un cuártico

En la teoría de curvas planas algebraicas , una curva plana cuártica general tiene 28 líneas bitangentes , es decir, líneas tangentes a la curva en dos puntos. Estas líneas existen en el plano proyectivo complejo , pero es posible definir curvas cuárticas para las cuales las 28 de estas líneas tienen coordenadas reales y, por lo tanto, pertenecen al plano euclidiano .

Plücker ( 1839 ) dio por primera vez una cuártica explícita con veintiocho bitangentes reales . ^{[ 1 ]} Como demostró Plücker, el número de bitangentes reales de cualquier cuártica debe ser 28, 16 o un número menor que 9. Otra cuártica con 28 bitangentes reales se puede formar mediante el lugar geométrico de los centros de elipses con longitudes de eje fijas, tangentes a dos líneas no paralelas. ^{[ 2 ]} Shioda (1995) dio una construcción diferente de una cuártica con veintiocho bitangentes, formada por la proyección de una superficie cúbica ; veintisiete de las bitangentes de la curva de Shioda son reales, mientras que la vigésimo octava es la línea en el infinito en el plano proyectivo. 

La curva de Trott , otra curva con 28 bitangentes reales, es el conjunto de puntos ( x , y ) que satisfacen la ecuación polinómica de grado cuatro.

${\displaystyle \displaystyle 144(x^{4}+y^{4})-225(x^{2}+y^{2})+350x^{2}y^{2}+81=0.}$

Estos puntos forman una curva cuártica no singular que tiene género tres y que tiene veintiocho bitangentes reales . ^{[ 3 ]}

Al igual que los ejemplos de Plücker y de Blum y Guinand, la curva de Trott tiene cuatro óvalos separados, el número máximo para una curva de grado cuatro, y por lo tanto es una curva M. Los cuatro óvalos se pueden agrupar en seis pares diferentes; para cada par de óvalos hay cuatro bitangentes que tocan ambos óvalos del par, dos que los separan y dos que no. Además, cada óvalo delimita una región no convexa del plano y tiene una bitangente que abarca la porción no convexa de su límite.

La curva dual de una curva cuártica tiene 28 puntos dobles ordinarios reales, duales a las 28 bitangantes de la curva primal.

Las 28 bitangentes de una cuártica también pueden colocarse en correspondencia con símbolos de la forma

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\\end{bmatrix}}}$

donde a, b, c, d, e, f son todos cero o uno y donde

${\displaystyle ad+be+cf=1\ (\operatorname {mod} \ 2).}$^{[ 4 ]}

Hay 64 opciones para a, b, c, d, e, f , pero solo 28 de ellas producen una suma impar. También se puede interpretar a, b, c como las coordenadas homogéneas de un punto del plano de Fano y d, e, f como las coordenadas de una recta en el mismo plano proyectivo finito; la condición de que la suma sea impar equivale a exigir que el punto y la recta no se toquen, y existen 28 pares diferentes de un punto y una recta que no se tocan.

Los puntos y líneas del plano de Fano que son disjuntos de un par punto-línea no incidente forman un triángulo, y las bitangentes de una cuártica se han considerado en correspondencia con los 28 triángulos del plano de Fano. ^{[ 5 ]} El grafo de Levi del plano de Fano es el grafo de Heawood , en el que los triángulos del plano de Fano están representados por ciclos de 6 lados. Los 28 ciclos de 6 lados del grafo de Heawood corresponden a su vez a los 28 vértices del grafo de Coxeter . ^{[ 6 ]}

Las 28 bitangentes de una cuártica también corresponden a pares de las 56 líneas en una superficie de del Pezzo de grado 2 , ^{[ 5 ]} y a las 28 características theta impares .

Las 27 líneas en la cúbica y las 28 bitangentes en una cuártica, junto con los 120 planos tritangentes de una curva séxtica canónica de género 4, forman una " trinidad " en el sentido de Vladimir Arnold , específicamente una forma de correspondencia de McKay , ^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]} y pueden relacionarse con muchos otros objetos, incluidos E ₇ y E ₈ , como se discute en trinidades .

• Blum, R.; Guinand, AP (1964). "Una cuártica con 28 bitangentes reales". Boletín Matemático Canadiense . 7 (3): 399– 404. doi : 10.4153/cmb-1964-038-6 .
• Cayley, Arthur ( 1879), "Sobre las bitangentes de una cuártica", Curvas planas superiores de Salmon , págs. 387–389 En The collected mathematical papers of Arthur Cayley , Andrew Russell Forsyth, ed., The University Press, 1896, vol. 11, pp.  221–223.
• Gray, Jeremy (1982), "De la historia de un grupo simple", The Mathematical Intelligencer , 4 (2): 59– 67, CiteSeerX 10.1.1.163.2944 , doi : 10.1007/BF03023483 , MR 0672918 , S2CID 14602496   Reimpreso en Levy, Silvio, ed. (1999), The Eightfold Way , MSRI Publications, vol. 35, Cambridge University Press, pp . 115–131 , ISBN   0-521-66066-1, MR 1722415 .
• Manivel, L. (2006), "Configuraciones de líneas y modelos de álgebras de Lie", Journal of Algebra , 304 (1): 457– 486, arXiv : math/0507118 , doi : 10.1016/j.jalgebra.2006.04.029 , S2CID 17374533 .
• McKay, John; Sebbar, Abdellah (2007). «Funciones replicables: una introducción». Fronteras en teoría de números, física y geometría II . págs. 373–386 . doi : 10.1007/978-3-540-30308-4_10 . ISBN  978-3-540-30307-7.
• Plücker, J. (1839), Theorie der algebraischen Curven: gegrundet auf eine neue Behandlungsweise der analytischen Geometrie , Berlín: Adolph Marcus.
• Riemann, GFB (1876), "Zur Theorie der Abel'schen Funktionen für den Fall p  =  3", Ges. Werke , Leipzig, págs. 456-472 {{citation}}: CS1 maint: falta el editor de ubicación ( enlace ) . Como lo cita Cayley.
• Shioda, Tetsuji (1995), "Transformaciones de Weierstrass y superficies cúbicas" (PDF) , Commentarii Mathematici Universitatis Sancti Pauli , 44 (1): 109– 128, MR 1336422 
• Trott, Michael (1997), "Aplicación de la base de Groebner a tres problemas de geometría", Mathematica in Education and Research , 6 ( 1): 15–28.