Espacio bitopológico

En matemáticas , un espacio bitopológico es un conjunto dotado de dos topologías . Típicamente, si el conjunto es${\displaystyle X}$y las topologías son${\displaystyle \sigma }$y${\displaystyle \tau }$entonces el espacio bitopológico se denomina${\displaystyle (X,\sigma ,\tau )}$Este concepto fue introducido por JC Kelly en el estudio de las cuasimetrías , es decir, funciones de distancia que no tienen por qué ser simétricas.

Un mapa${\displaystyle f:X\to X'}$desde un espacio bitopológico${\displaystyle (X,\tau _{1},\tau _{2})}$a otro espacio bitopológico${\displaystyle (X',\tau _{1}',\tau _{2}')}$se denomina continuo o a veces continuo por pares si${\displaystyle f}$es continuo tanto como un mapa de${\displaystyle (X,\tau _{1})}$a${\displaystyle (X',\tau _{1}')}$y como mapa de${\displaystyle (X,\tau _{2})}$a${\displaystyle (X',\tau _{2}')}$.

En consonancia con las propiedades bien conocidas de los espacios topológicos, existen versiones para espacios bitopológicos.

• Un espacio bitopológico${\displaystyle (X,\tau _{1},\tau _{2})}$es compacto por pares si cada cubierta${\displaystyle \{U_{i}\mid i\in I\}}$de${\displaystyle X}$con${\displaystyle U_{i}\in \tau _{1}\cup \tau _{2}}$, contiene una subcubierta finita. En este caso,${\displaystyle \{U_{i}\mid i\in I\}}$debe contener al menos un miembro de${\displaystyle \tau _{1}}$y al menos un miembro de${\displaystyle \tau _{2}}$
• Un espacio bitopológico${\displaystyle (X,\tau _{1},\tau _{2})}$es Hausdorff por pares si para cualesquiera dos puntos distintos${\displaystyle x,y\in X}$existen disjuntos${\displaystyle U_{1}\in \tau _{1}}$y${\displaystyle U_{2}\in \tau _{2}}$con${\displaystyle x\in U_{1}}$y${\displaystyle y\in U_{2}}$.
• Un espacio bitopológico${\displaystyle (X,\tau _{1},\tau _{2})}$es cero-dimensional por pares si se abre en${\displaystyle (X,\tau _{1})}$que están cerrados en${\displaystyle (X,\tau _{2})}$formar una base para${\displaystyle (X,\tau _{1})}$y se abre en${\displaystyle (X,\tau _{2})}$que están cerrados en${\displaystyle (X,\tau _{1})}$formar una base para${\displaystyle (X,\tau _{2})}$.
• Un espacio bitopológico${\displaystyle (X,\sigma ,\tau )}$se denomina binormal si para cada${\displaystyle F_{\sigma }}$${\displaystyle \sigma }$-cerrado y${\displaystyle F_{\tau }}$${\displaystyle \tau }$-conjuntos cerrados hay${\displaystyle G_{\sigma }}$${\displaystyle \sigma }$-abierto y${\displaystyle G_{\tau }}$${\displaystyle \tau }$-conjuntos abiertos tales que${\displaystyle F_{\sigma }\subseteq G_{\tau }}$${\displaystyle F_{\tau }\subseteq G_{\sigma }}$, y${\displaystyle G_{\sigma }\cap G_{\tau }=\emptyset .}$

• Espacio politopológico

• Kelly, JC (1963). Espacios bitopológicos. Proc. London Math. Soc. , 13(3) 71–89.
• Reilly, IL (1972). Sobre las propiedades de separación bitopológica. Nanta Math. , (2) 14–25.
• Reilly, IL (1973). Espacios bitopológicos de dimensión cero. Indag. Math. , (35) 127–131.
• Salbany, S. (1974). Espacios bitopológicos, compactificaciones y completaciones . Departamento de Matemáticas, Universidad de Ciudad del Cabo, Ciudad del Cabo.
• Kopperman, R. (1995). Asimetría y dualidad en topología. Topology Appl. , 66(1) 1--39.
• Fletcher. P, Hoyle HB III y Patty CW (1969). La comparación de topologías. Duke Math. J. ,36(2) 325–331.
• Dochviri, I., Noiri T. (2015). Sobre algunas propiedades de los espacios bitopológicos estables. Topol. Proc. , 45 111–119.