Espacio politopológico

En topología general , un espacio politopológico consta de un conjunto${\displaystyle X}$junto con una familia${\displaystyle \{\tau _{i}\}_{i\in I}}$de topologías en${\displaystyle X}$que está ordenado linealmente por la relación de inclusión donde${\displaystyle I}$es un conjunto de índices arbitrario . Generalmente se asume que las topologías están en orden no decreciente. ^{[ 1 ] [ 2 ]} Sin embargo, algunos autores prefieren los operadores de cierre asociados.${\displaystyle \{k_{i}\}_{i\in I}}$estar en orden no decreciente donde${\displaystyle k_{i}\leq k_{j}}$si y solo si${\displaystyle k_{i}A\subseteq k_{j}A}$a pesar de${\displaystyle A\subsetequ X}$Esto requiere topologías no crecientes. ^{[ 3 ]}

Un${\displaystyle L}$-espacio topológico${\displaystyle (X,\tau )}$ es un conjunto${\displaystyle X}$junto con un mapa monocromático${\displaystyle \tau :L\to }$Arriba${\displaystyle (X)}$dónde${\displaystyle (L,\leq )}$es un conjunto parcialmente ordenado y Top${\displaystyle (X)}$es el conjunto de todas las topologías posibles en${\displaystyle X,}$ordenado por inclusión. Cuando el orden parcial${\displaystyle \leq }$entonces es un orden lineal${\displaystyle (X,\tau )}$se denomina espacio politopológico . Tomando${\displaystyle L}$ser el número ordinal${\displaystyle n=\{0,1,\dots ,n-1\},}$un${\displaystyle n}$-espacio topológico${\displaystyle (X,\tau _{0},\dots ,\tau _{n-1})}$puede pensarse como un conjunto${\displaystyle X}$con topologías${\displaystyle \tau _{0}\subseteq \dots \subseteq \tau _{n-1}}$sobre él. Más generalmente un espacio multitopológico${\displaystyle (X,\tau )}$es un conjunto${\displaystyle X}$junto con una familia arbitraria${\displaystyle \tau }$de topologías en ella. ^{[ 2 ]}

Los espacios politopológicos fueron introducidos en 2008 por el filósofo Thomas Icard con el propósito de definir un modelo topológico de la lógica polimodal (GLP) de Japaridze . ^{[ 1 ]} Posteriormente se utilizaron para generalizar variantes del problema de cierre-complemento de Kuratowski . ^{[ 2 ] [ 3 ]} Por ejemplo, Taras Banakh et al. demostraron que bajo la composición de operadores,${\displaystyle n}$operadores de cierre y operador de complemento en un arbitrario${\displaystyle n}$-el espacio topológico puede generar en conjunto como máximo${\displaystyle 2\cdot K(n)}$operadores distintos ^{[ 2 ]} donde$${\displaystyle K(n)=\sum _{i,j=0}^{n}{\tbinom {i+j}{i}}\cdot {\tbinom {i+j}{j}}.}$$En 1965, el lógico finlandés Jaakko Hintikka encontró este límite para el caso.${\displaystyle n=2}$y afirmó ^{[ 4 ]} que "no parece obedecer ninguna ley muy simple en función de${\displaystyle n}$".

• Espacio bitopológico