El problema de Björling

En geometría diferencial , el problema de Björling consiste en encontrar una superficie mínima que pase por una curva dada con planos normales (o tangentes) prescritos. El problema fue planteado y resuelto por el matemático sueco Emanuel Gabriel Björling , ^{[ 1 ]} con posterior perfeccionamiento por Hermann Schwarz . ^{[ 2 ]}

El problema se puede resolver extendiendo la superficie desde la curva usando una continuación analítica compleja . Si${\displaystyle c(s)}$es una curva analítica real en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$definido sobre un intervalo I , con${\displaystyle c'(s)\neq 0}$y un campo vectorial${\displaystyle n(s)}$a lo largo de c de tal manera que${\displaystyle ||n(t)||=1}$y${\displaystyle c'(t)\cdot n(t)=0}$, entonces la siguiente superficie es mínima:

${\displaystyle X(u,v)=\Re \left(c(w)-i\int _{w_{0}}^{w}n(w)\times c'(w)\,dw\right)}$

dónde${\displaystyle w=u+iv\in \Omega }$,${\displaystyle u_{0}\in I}$, y${\displaystyle I\subset \Omega }$es un dominio simplemente conexo donde se incluye el intervalo y las expansiones en serie de potencias de${\displaystyle c(s)}$y${\displaystyle n(s)}$son convergentes. ^{[ 3 ]}

Un ejemplo clásico es la superficie mínima de Catalan , que pasa por una curva cicloide . Al aplicar el método a una parábola semicúbica se obtiene la superficie de Henneberg , y a un círculo (con un campo normal adecuadamente retorcido) una cinta de Möbius mínima . ^{[ 4 ]}

Siempre existe una solución única. Puede considerarse como un problema de Cauchy para superficies mínimas, que permite encontrar una superficie si se conoce una geodésica, una asíntota o líneas de curvatura. En particular, si la curva es plana y geodésica, entonces el plano de la curva será un plano de simetría de la superficie. ^{[ 5 ]}

• Superficies de Björling, en el Archivo de Superficies Minimalistas de Indiana: http://www.indiana.edu/~minimal/archive/Bjoerling/index.html