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Modelo negro

El modelo Black (también conocido como modelo Black-76 ) es una variante del modelo de valoración de opciones Black-Scholes . Sus principales aplicaciones son la valoración de o...

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El modelo Black (también conocido como modelo Black-76 ) es una variante del modelo de valoración de opciones Black-Scholes . Sus principales aplicaciones son la valoración de opciones sobre contratos de futuros , opciones sobre bonos , límites máximos y mínimos de tipos de interés y swaptions . Fue presentado por primera vez en un artículo escrito por Fischer Black en 1976.

Se asume que el precio a plazo o de futuros correspondiente sigue una distribución log-normal bajo una medida de valoración neutral al riesgo y que el pago de la opción se descuenta a un tipo de interés libre de riesgo constante. En su forma estándar, el modelo se utiliza para valorar opciones de compra y venta europeas sobre futuros de materias primas, opciones sobre bonos , límites máximos y mínimos de tipos de interés y swaptions .

Antecedentes y relación con el modelo Black-Scholes

En 1976, Black publicó un artículo titulado " La fijación de precios de los contratos de materias primas" en el Journal of Financial Economics, en el que adaptó el enfoque de Black-Scholes a las opciones europeas sobre futuros de materias primas . [ 1 ] [ 2 ] En este contexto, la cantidad económica subyacente es un precio de futuros o un precio a plazo para la entrega de una materia prima en una fecha futura, en lugar del precio al contado de una acción negociada .

El modelo Black conserva los principales supuestos estructurales del modelo Black-Scholes original. En particular, bajo una medida neutral al riesgo, el precio a plazo o de futuros relevante se modela como un proceso log-normal con volatilidad constante. [ 3 ] [ 4 ]

Las relaciones estándar entre los precios al contado y a plazo implican que la conocida fórmula de Black-Scholes puede recuperarse del modelo de Black cuando el precio a plazo se expresa en términos del precio al contado y los costos de mantenimiento. [ 5 ] Por esta razón, el modelo de Black se describe a menudo como una versión de Black-Scholes especializada para contratos a plazo y futuros, y muchas derivaciones lo tratan como una aplicación del mecanismo general de Black-Scholes en lugar de como una teoría separada. Los detalles de la derivación de Black-Scholes se tratan en el artículo sobre el modelo de Black-Scholes .

Las opciones sobre tipos de interés a plazo, opciones sobre bonos , caps, floors y swaptions se valoran y cotizan frecuentemente asumiendo una dinámica log-normal para el tipo de interés a plazo o swap correspondiente y luego aplicando la fórmula de Black. [ 6 ] [ 7 ] En este contexto, el parámetro de volatilidad asociado se suele informar como una volatilidad implícita de Black .

El modelo de mercado LIBOR extiende la idea básica al especificar dinámicas conjuntas para una familia de tasas forward, manteniendo una fórmula de estilo Black para caplets , floorlets y swaptions individuales. [ 8 ] [ 9 ]

La fórmula negra

Bajo los supuestos del modelo de Black, el precio libre de arbitraje en el tiempo cero de una opción de compra europea sobre un contrato de futuros puede escribirse en términos del precio actual de los futuros y el factor de descuento libre de riesgo. [ 1 ] [ 3 ] SeaF{\displaystyle F}denota el precio actual de los futuros para entrega en el momentoT′{\displaystyle T'}, dejarK{\displaystyle K}Sea el precio de ejercicio de la opción,T≤T′{\displaystyle T\leq T'}sea ​​el momento de vencimiento de la opción, deje quer{\displaystyle r}Sea la tasa de interés libre de riesgo capitalizada continuamente , y seaσ{\displaystyle \sigma }Si la volatilidad del precio de los futuros es la siguiente:

do=mi−rT[Fnorte(d1)−Knorte(d2)]{\displaystyle c=e^{-rT}\left[FN(d_{1})-KN(d_{2})\right]}

El precio de venta correspondiente es

pag=mi−rT[Knorte(−d2)−Fnorte(−d1)]{\displaystyle p=e^{-rT}\left[KN(-d_{2})-FN(-d_{1})\right]}

dónde

d1=ln⁡(F/K)+12σ2TσT{\displaystyle d_{1}={\frac {\ln(F/K)+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}T}{\sigma {\sqrt {T}}}}}
d2=ln⁡(F/K)−12σ2TσT=d1−σT{\displaystyle d_{2}={\frac {\ln(F/K)-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}T}{\sigma {\sqrt {T}}}}=d_{1}-\sigma {\sqrt {T}}}

ynorte(⋅){\displaystyle N(\cdot )}denota la función de distribución normal acumulativa de una variable aleatoria normal estándar. [ 4 ]

Para una opción sobre un contrato a plazo que se liquida en un momento determinado.T′{\displaystyle T'}estrictamente después del vencimiento de la opciónT{\displaystyle T}La recompensa se obtiene enT′{\displaystyle T'}Por lo tanto, se aplican las mismas expresiones con el factor de descuento.mi−rT{\displaystyle e^{-rT}}reemplazado pormi−rT′{\displaystyle e^{-rT'}}. [ 3 ] Cuando los tipos de interés son deterministas, el precio a plazo y el precio de los futuros con la misma fecha de entrega son iguales, y por lo tanto, las fórmulas para las opciones sobre contratos a plazo y las opciones sobre futuros tienen la misma forma funcional. [ 10 ]

Derivación y supuestos

Supuestos del modelo

Bajo una medida de precios neutral al riesgo, el proceso de precios de futuros o a plazo(Ft)0≤t≤T{\displaystyle (F_{t})_{0\leq t\leq T}}se modela como un movimiento browniano geométrico con volatilidad constante y deriva cero. En forma diferencial, esto se puede escribir como

dFt=σFtdWt,0≤t≤T,{\displaystyle \mathrm {d} F_{t}=\sigma F_{t}\,\mathrm {d} W_{t},\quad 0\leq t\leq T,}

dóndeσ{\displaystyle \sigma }es el parámetro de volatilidad y(Wt){\displaystyle (W_{t})}es un movimiento browniano estándar. [ 1 ] [ 4 ] Esto implica queln⁡FT{\displaystyle \ln F_{T}}tiene una distribución normal y el valor descontado del pago de la opción se puede calcular tomando las esperanzas con respecto a esta distribución log-normal.

Derivación

DejarincógnitaT{\displaystyle X_{T}}denotan una recompensa en el tiempoT{\displaystyle T}. Bajo la medida neutral al riesgo, el precio en el tiempo cero de esta recompensa viene dado por la expectativa descontada

Precio0=mi−rTmi[incógnitaT],{\displaystyle {\text{Precio}}_{0}=e^{-rT}\mathbb {E} [X_{T}],}

dóndemi{\displaystyle \mathbb {E} }denota expectativa. [ 3 ] Para una opción de compra europea sobre un contrato de futuros con vencimientoT{\displaystyle T}y golpearK{\displaystyle K}la recompensa es(FT−K)+{\displaystyle (F_{T}-K)^{+}}. Sustituyendo este pago en la expresión de precios y utilizando la distribución log-normal deFT{\displaystyle F_{T}}conduce, tras la integración, a las fórmulas de forma cerrada para los precios de las opciones de compra y venta. [ 4 ]

Una derivación alternativa considera la opción de compra de un contrato de futuros o a plazo como una opción para intercambiar un activo por otro. Según este enfoque, el titular de la opción tiene derecho al vencimiento a recibir el pago del futuro y abonar la cantidad fija.K{\displaystyle K}, que puede representarse como un intercambio entre una posición vinculada al contrato de futuros y un bono cupón cero. [ 11 ] Bajo los supuestos log-normales del modelo de Black y con tasas de interés deterministas, esta opción de intercambio puede valorarse utilizando la fórmula de Margrabe , y el resultado se reduce a la fórmula de precios de Black para opciones sobre forwards y futuros. [ 3 ] [ 12 ]

Aplicaciones

El modelo Black se utiliza ampliamente para opciones sobre futuros y forwards en los mercados de materias primas y renta fija. [ 1 ] [ 2 ]

Futuros y opciones sobre materias primas

En los mercados de materias primas y futuros financieros, el modelo Black subyace a la fijación de precios de las opciones sobre futuros negociadas en bolsa y extrabursátiles. Algunos ejemplos incluyen opciones sobre futuros de petróleo crudo, futuros de metales y futuros de índices bursátiles. [ 1 ] [ 13 ] Las bolsas y los intermediarios suelen tratar el parámetro de volatilidad en la fórmula de Black como la cantidad cotizada principal y convierten entre precios de opciones y las llamadas volatilidades implícitas de Black al comparar contratos con diferentes precios de ejercicio y vencimientos. [ 14 ] Las superficies de volatilidad construidas a partir de estas volatilidades implícitas proporcionan una forma de resumir los precios de las opciones en un rango de vencimientos y niveles de precio de ejercicio.

Opciones de límites máximos, mínimos y bonos

En los mercados de renta fija, el marco de Black se utiliza para opciones sobre bonos y para caps y floors . Un cap o floor puede descomponerse en caplets o floorlets individuales. Cada componente tiene un pago que depende de una única tasa de interés a plazo durante un período de acumulación específico. [ 4 ] [ 7 ] Bajo el supuesto de que la tasa a plazo relevante es log-normal bajo una medida de precios apropiada, cada caplet o floorlet se valora aplicando la fórmula de Black a esa tasa a plazo y escalándola por el factor nocional y de acumulación. [ 15 ] Los participantes del mercado cotizan precios de caps y floors en términos de volatilidades implícitas de Black para vencimientos y niveles de ejercicio estándar.

Modelos de swaptions y tipos de interés a plazo

Las swaptions europeas se tratan de manera similar. La variable subyacente es un tipo de swap a plazo y los precios de las swaptions con diferentes vencimientos y plazos se suelen cotizar en términos de volatilidades implícitas de Black. [ 6 ] [ 15 ] En los modelos de tipos a plazo log-normales, la fórmula de Black sigue siendo el elemento básico para valorar caplets, floorlets y swaptions individuales. El modelo especifica la dinámica conjunta para una familia de tipos a plazo y se calibra de forma que reproduzca las superficies de volatilidad implícita de Black o normal observadas que se utilizan en los mercados de swaptions y caps. [ 8 ] [ 16 ]

Límites máximos y mínimos vinculados a la inflación para los incrementos de pensiones

En el Reino Unido, muchos planes de pensiones de prestaciones definidas ofrecen incrementos vinculados al IPC o al RPI , sujetos a un mínimo y un máximo anuales, una estructura conocida como indexación de precios limitada y a menudo escrita como LPI(a{\displaystyle a},b{\displaystyle b}). Un beneficio típico podría prometer aumentos anuales en línea con el IPC sujeto a un mínimo de0%{\displaystyle 0\%}y una gorra de5%{\displaystyle 5\%}, denotado LPI(0,5). [ 17 ] [ 18 ] Estas garantías pueden valorarse o cubrirse utilizando derivados de inflación como swaps de RPI y límites máximos y mínimos de inflación. [ 19 ] [ 20 ]

Por un solo año de alquilerI{\displaystyle I}denota la tasa de inflación anual aleatoria del IPC expresada como una proporción. Con un límite inferiora{\displaystyle a}y gorrab{\displaystyle b}En el incremento anual, la tasa de indexación de precios limitada se puede escribir como

L(I)=min(máximo(I,a),b).{\displaystyle L(I)=\min {\bigl (}\max(I,a),b{\bigr )}.}

Utilizando la notaciónincógnita+=máximo(incógnita,0){\displaystyle x^{+}=\max(x,0)}esto se descompone como

L(I)=I−(I−b)++(a−I)+.{\displaystyle L(I)=I-(Ib)^{+}+(aI)^{+}.}

El segundo término elimina los resultados donde la inflación está por encima del límite máximo, y el tercer término reemplaza los resultados de inflación muy baja con el nivel mínimo. [ 19 ] [ 21 ]

Para obtener una fórmula manejable, suponga que bajo una medida de precios la tasa de inflación de un añoI{\displaystyle I}es estrictamente positivo y log normal con media hacia adelanteF{\displaystyle F}volatilidadσ{\displaystyle \sigma }y tiempo hasta la madurezT{\displaystyle T}. Esta es la misma configuración log-normal utilizada anteriormente para la fórmula de Black, conF{\displaystyle F}desempeñando el papel del precio a plazo y los precios de ejercicio máximo y mínimo desempeñando el papel del precio de ejercicio de la opción. [ 19 ] [ 20 ] Bajo esta suposición

mi[L(I)]=F−mi[(I−b)+]+mi[(a−I)+].{\displaystyle \mathbb {E} [L(I)]=F-\mathbb {E} {\bigl [}(Ib)^{+}{\bigr ]}+\mathbb {E} {\bigl [}(aI)^{+}{\bigr ]}.}

Por una huelgaK{\displaystyle K}definir

d1(K)=ln⁡(F/K)+12σ2TσT,d2(K)=d1(K)−σT,{\displaystyle d_{1}^{(K)}={\frac {\ln(F/K)+{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}T}{\sigma {\sqrt {T}}}},\quad d_{2}^{(K)}=d_{1}^{(K)}-\sigma {\sqrt {T}},}

y dejarnorte{\displaystyle N}denota la función de distribución acumulativa de una variable aleatoria normal estándar. Ignorando el descuento durante un solo año, las expectativas correspondientes de opciones call y put son

mi[(I−K)+]=Fnorte(d1(K))−Knorte(d2(K)),{\displaystyle \mathbb {E} {\bigl [}(IK)^{+}{\bigr ]}=FN{\bigl (}d_{1}^{(K)}{\bigr )}-KN{\bigl (}d_{2}^{(K)}{\bigr )},}
mi[(K−I)+]=Knorte(−d2(K))−Fnorte(−d1(K)),{\displaystyle \mathbb {E} {\bigl [}(KI)^{+}{\bigr ]}=KN{\bigl (}-d_{2}^{(K)}{\bigr )}-FN{\bigl (}-d_{1}^{(K)}{\bigr )},}

que reflejan las fórmulas de compra y venta de Black en la sección de fórmulas, omitiendo el factor de descuento exponencial por simplicidad. [ 3 ]

Para LPI general(a{\displaystyle a},b{\displaystyle b}) esto da

mi[L(I)]=F−(Fnorte(d1(b))−bnorte(d2(b)))+(anorte(−d2(a))−Fnorte(−d1(a))),{\displaystyle \mathbb {E} [L(I)]=F-{\bigl (}FN{\bigl (}d_{1}^{(b)}{\bigr )}-bN{\bigl (}d_{2}^{(b)}{\bigr )}{\bigr )}+{\bigl (}aN{\bigl (}-d_{2}^{(a)}{\bigr )}-FN{\bigl (}-d_{1}^{(a)}{\bigr )}{\bigr )},}
Gráfico del aumento esperado del LPI(0,5) a un año frente a la tasa RPI a plazo, con varias líneas curvas para diferentes volatilidades de la inflación, una diagonal recta para volatilidad cero, líneas horizontales delgadas en 0% y 5% que marcan el piso y el techo, y una línea horizontal en 2,5% que muestra el límite cuando la volatilidad se vuelve muy grande.
Incremento esperado del LPI(0,5) a un año en función de la tasa RPI a plazo a un año bajo un modelo normal (Bachelier). La línea recta muestra el LPI(0,5) determinista cuando la volatilidad es cero, las líneas curvas muestran el incremento esperado para diferentes supuestos de volatilidad, las líneas horizontales delgadas marcan el límite inferior en 0% y el límite superior en 5%, y la línea horizontal en 2,5% muestra la tasa límite esperada cuando la volatilidad tiende a infinito.

dónded1(a){\displaystyle d_{1}^{(a)}},d2(a){\displaystyle d_{2}^{(a)}}usar huelgaa{\displaystyle a}yd1(b){\displaystyle d_{1}^{(b)}},d2(b){\displaystyle d_{2}^{(b)}}usar huelgab{\displaystyle b}.

Como ejemplo, consideremos una estructura LPI(0,5) a un año con una tasa de inflación RPI a plazo de3.5%{\displaystyle 3.5\%}, entoncesF=0,035{\displaystyle F=0.035}, una gorrab=0,05{\displaystyle b=0.05}, un pisoa=0{\displaystyle a=0}, parámetro de volatilidadσ=0,02{\displaystyle \sigma =0.02}yT=1{\displaystyle T=1}. Bajo el modelo log-normal, el término piso es cero, ya queI{\displaystyle I}es estrictamente positivo y

mi[L(I)]=F−(Fnorte(d1(0,05))−0,05norte(d2(0,05))).{\displaystyle \mathbb {E} [L(I)]=F-{\bigl (}FN{\bigl (}d_{1}^{(0.05)}{\bigr )}-0.05N{\bigl (}d_{2}^{(0.05)}{\bigr )}{\bigr )}.}

ConF{\displaystyle F}sustancialmente por debajo del límite máximo en relación con la volatilidad lognormal supuesta, el límite máximo rara vez se activa, el plazo de la opción de compra es muy pequeño y, por lo tanto, el aumento esperado del LPI(0,5) está muy cerca de la tasa de inflación a plazo de3.5%{\displaystyle 3.5\%}.

Es común aproximar la tasa de inflación anual mediante una variable aleatoria normal, en línea con el modelo de Bachelier , especialmente cuando se considera una inflación negativa. [ 22 ] [ 23 ] Bajo ese modelo normal, con el mismo supuesto centralF=3.5%{\displaystyle F=3.5\%}volatilidadσ=2%{\displaystyle \sigma =2\%}y LPI(0,5), la expectativami[L(I)]{\displaystyle \mathbb {E} [L(I)]}es menor, aproximadamente3.27%{\displaystyle 3.27\%}, porque tanto el límite en5%{\displaystyle 5\%}y el piso en0%{\displaystyle 0\%}son activos en una gama más amplia de resultados. [ 24 ] [ 25 ] [ 26 ] [ 27 ]

Limitaciones y extensiones

En mercados líquidos , los precios de las opciones en diferentes precios de ejercicio y vencimientos suelen mostrar sonrisas y asimetrías de volatilidad, por lo que un único parámetro de volatilidad en la fórmula de Black no puede reproducir la superficie de volatilidad implícita completa para caps, floors o swaptions. [ 28 ] [ 15 ]

La especificación log-normal también implica que los tipos a plazo, los precios de los futuros y los tipos de swap permanecen estrictamente positivos. En periodos de tipos de interés muy bajos o negativos, esto entra en conflicto con el comportamiento observado del mercado y la fórmula estándar de Black puede valorar erróneamente las opciones al asignar una probabilidad cero a los resultados negativos que realmente ocurren. [ 29 ] [ 30 ] Para abordar esto, los profesionales suelen utilizar modelos log-normales desplazados o adoptar un modelo normal como el modelo de Bachelier , que permite que el tipo subyacente tome valores negativos. [ 22 ] [ 23 ]

Los modelos de volatilidad local y estocástica, incluido el modelo de volatilidad SABR , se utilizan para ajustar las sonrisas de volatilidad observadas de cap y swaption. [ 31 ] [ 32 ] [ 33 ] Los modelos de estructura temporal multifactoriales, como el modelo de mercado LIBOR, especifican la dinámica conjunta para una familia de tipos forward y se calibran de modo que sus precios coincidan con las volatilidades implícitas Black o normales cotizadas en el mercado. [ 8 ] [ 16 ]

Véase también

Referencias

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Discusión

Herramientas en línea

  • Calculadora de caplets y floorlets. Dr. Shing Hing Man, Gestión de Riesgos de Thomson-Reuters.