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Articulo de referencia

Problema de apilamiento de bloques

Los primeros nueve bloques en la solución al problema de apilamiento de bloques de ancho simple con los voladizos indicados En estática , el problema de apilamiento de bloques (...

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Los primeros nueve bloques en la solución al problema de apilamiento de bloques de ancho simple con los voladizos indicados

En estática , el problema de apilamiento de bloques (a veces conocido como La Torre Inclinada de Lire ( Johnson 1955 ) , también el problema de apilamiento de libros , escalera armónica , [ 1 ] o una serie de otros términos similares) es un rompecabezas que trata sobre el apilamiento de bloques en el borde de una mesa.

Declaración

El problema de apilar bloques es el siguiente rompecabezas:

Lugarnorte{\displaystyle N}Bloques rectangulares rígidos idénticos apilados de forma estable sobre el borde de una mesa, de manera que se maximice el voladizo.

Paterson et al. (2007) proporcionan una larga lista de referencias sobre este problema que se remonta a textos de mecánica de mediados del siglo XIX.

Variantes

Ancho simple

El problema de un solo bloque implica tener solo un bloque en cualquier nivel dado. En el caso ideal de bloques perfectamente rectangulares y aceleración gravitacional uniforme (el valor de g disminuye con el aumento de la altura), la solución al problema de un solo bloque es que el voladizo máximo viene dado por∑i=1norte12i{\textstyle \sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{2i}}}veces el ancho de un bloque. Esta suma es la mitad de la suma parcial correspondiente de la serie armónica . Debido a que la serie armónica diverge, el voladizo máximo tiende a infinito cuandonorte{\displaystyle N}aumenta, lo que significa que es posible lograr cualquier voladizo arbitrariamente grande, con suficientes bloques.

El número de bloques necesarios para alcanzar al menosnorte{\displaystyle N}Las longitudes de bloque más allá del borde de la tabla son 4, 31, 227, 1674, 12367, 91380, ... (secuencia A014537 en el OEIS ) . [ 2 ]

Multiancho

Comparación de las soluciones al problema de apilamiento de bloques de ancho simple (arriba) y de ancho múltiple (abajo) con tres bloques.

Las pilas de múltiples anchos que utilizan contrapeso pueden generar voladizos mayores que una pila de un solo ancho. Incluso para tres bloques, apilar dos bloques contrabalanceados sobre otro bloque puede generar un voladizo de 1, mientras que el voladizo en el caso ideal simple es como máximo 11/12 . Como demostraron Paterson et al. (2007) , asintóticamente, el voladizo máximo que pueden lograr las pilas de múltiples anchos es proporcional a la raíz cúbica del número de bloques, en contraste con el caso de un solo ancho en el que el voladizo es proporcional al logaritmo del número de bloques. Sin embargo, se ha demostrado que en realidad esto es imposible y que el número de bloques que podemos mover hacia la derecha, debido a la tensión del bloque, no es mayor que un número especificado. Por ejemplo, para un ladrillo especial con h =0,20  m , módulo de Young E =3000  MPa y densidad ρ =1,8 × 10³ kg  /m³ y tensión de compresión límite3  MPa , el valor aproximado de N será 853 y la altura máxima de la torre será170  m . [ 3 ]

Prueba de solución de la variante de ancho simple

La fórmula anterior para el voladizo máximo denorte{\displaystyle n}bloques, cada uno con longitudl{\displaystyle l}y masametro{\displaystyle m}, apilados uno al nivel, se puede demostrar por inducción considerando los pares de torsión en los bloques alrededor del borde de la mesa sobre los que sobresalen. Los bloques se pueden modelar como masas puntuales ubicadas en el centro de cada bloque, suponiendo una densidad de masa uniforme. En el caso base (norte=1{\displaystyle n=1}), el centro de masa del bloque se encuentra por encima del borde de la mesa, lo que significa un voladizo del/2{\displaystyle l/2}. Parak{\displaystyle k}bloques, el centro de masa de lak{\displaystyle k}-El sistema de bloques debe estar por encima del borde de la mesa, y el centro de masa delk−1{\displaystyle k-1}Los bloques superiores deben quedar por encima del borde del primero para lograr el equilibrio estático. [ 4 ] Si elk{\displaystyle k}El bloque sobresale del(k−1){\displaystyle (k-1)}porl/2{\displaystyle l/2}y el voladizo del primero esincógnita{\displaystyle x}, [ 5 ]

(k−1)metrogramoincógnita=(l/2−incógnita)metrogramo⟹incógnita=l/2k,{\displaystyle (k-1)mgx=(l/2-x)mg\implies x=l/2k,}

dóndegramo{\displaystyle g}denota el campo gravitatorio . Si elk−1{\displaystyle k-1}Los bloques superiores sobresalen de su centro de masa pory{\displaystyle y}, entonces, asumiendo la hipótesis inductiva, el voladizo máximo fuera de la mesa es

y+l2k=∑i=1kl/2i⟹y=∑i=1k−1l/2i.{\displaystyle y+{\frac {l}{2k}}=\sum _{i=1}^{k}{l/2i}\implies y=\sum _{i=1}^{k-1}{l/2i}.}

Parak+1{\displaystyle k+1}bloques,y{\displaystyle y}indica cuántok+1−1{\displaystyle k+1-1}Los bloques superiores sobresalen de su centro de masa.(y=∑i=1kl/2i){\displaystyle (y=\sum _ {i=1}^{k}l/2i)}, yincógnita=l2(k+1){\displaystyle x={\frac {l}{2(k+1)}}}Entonces, el voladizo máximo sería:

l2(k+1)+∑i=1kl/2i=∑i=1k+1l/2i.{\displaystyle {\frac {l}{2(k+1)}}+\sum _{i=1}^{k}l/2i=\sum _{i=1}^{k+1}l/2i.}

Método de Mike Paterson para aumentar el voladizo de 16 bloques de ancho unitario y anchura b a21+b2{\displaystyle 2{\sqrt {1+b^{2}}}} desplazando los bloques perpendicularmente a sus longitudes en una formación de diamante [ 6 ]

Robustez

Hall (2005) analiza este problema, demuestra que es robusto ante no idealizaciones como esquinas de bloques redondeadas y precisión finita en la colocación de bloques, e introduce varias variantes que incluyen fuerzas de fricción no nulas entre bloques adyacentes.

Referencias

  1. ↑ Polster, Burkard ; Ross, Marty; Treeby, David (2012). "Un caso de resaca continua" . The American Mathematical Monthly . 119 (2): 122– 139. doi : 10.4169/amer.math.monthly.119.02.122 . ISSN 0002-9890 . JSTOR 10.4169/amer.math.monthly.119.02.122 .  
  2. ↑ Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A014537 (Número de libros necesarios para n longitudes de libro de voladizo en el problema de apilamiento armónico de libros)" . La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS.  
  3. ↑ Khoshbin-e-Khoshnazar, MR (2007). "Simplificar los modelos puede llevar a error a los estudiantes" . Educación en Física . 42 : 14–15 . doi : 10.1088/0031-9120/42/1/F05 . S2CID 250745206 . 
  4. ↑ Cazelais, Gilles. "Problema de apilamiento de bloques" (PDF) . Archivado del original (PDF) el 4 de diciembre de 2023.
  5. ↑ Joanna (14 de abril de 2022). "El problema del apilamiento infinito de bloques o la torre inclinada de Lire" . Carreras en matemáticas . Consultado el 4 de diciembre de 2023 .
  6. ↑ M. Paterson et al., Voladizo máximo , The Mathematical Association of America, noviembre de 2009
  • Hall, JF (2005). "Diversión con bloques apilables". American Journal of Physics . 73 (12): 1107– 1116. Bibcode : 2005AmJPh..73.1107H . doi : 10.1119/1.2074007 ..
  • Johnson, Paul B. (abril de 1955). "Torre inclinada de Lire". American Journal of Physics . 23 (4): 240. Bibcode : 1955AmJPh..23..240J . doi : 10.1119/1.1933957 .
  • Paterson, Mike ; Peres, Yuval ; Thorup, Mikkel ; Winkler, Pedro ; Zwick, Uri (2007). "Voladizo máximo". arXiv : 0707.0093 [ matemáticas.HO ].