Fórmula de Bochner

En matemáticas , la fórmula de Bochner es una afirmación que relaciona funciones armónicas en una variedad riemanniana.${\displaystyle (M,g)}$a la curvatura de Ricci . La fórmula lleva el nombre del matemático estadounidense Salomon Bochner .

Si${\displaystyle u\colon M\rightarrow \mathbb {R} }$es una función suave, entonces

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\Delta |\nabla u|^{2}=g(\nabla \Delta u,\nabla u)+|\nabla ^{2}u|^{2}+{\mbox{Ric}}(\nabla u,\nabla u)}$,

dónde${\displaystyle \nabla u}$es el gradiente de${\displaystyle u}$con respecto a${\displaystyle g}$,${\displaystyle \nabla ^{2}u}$es el hessiano de${\displaystyle u}$con respecto a${\displaystyle g}$y${\displaystyle {\mbox{Ric}}}$es el tensor de curvatura de Ricci . ^{[ 1 ]} Si${\displaystyle u}$es armónico (es decir,${\displaystyle \Delta u=0}$, dónde${\displaystyle \Delta =\Delta _ {g}}$es el laplaciano con respecto a la métrica${\displaystyle g}$), la fórmula de Bochner se convierte en

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\Delta |\nabla u|^{2}=|\nabla ^{2}u|^{2}+{\mbox{Ric}}(\nabla u,\nabla u)}$.

Bochner utilizó esta fórmula para demostrar el teorema de desaparición de Bochner .

Como corolario, si${\displaystyle (M,g)}$es una variedad riemanniana sin frontera y${\displaystyle u\colon M\rightarrow \mathbb {R} }$es una función fluida y compactamente soportada, entonces

${\displaystyle \int _{M}(\Delta u)^{2}\,d{\mbox{vol}}=\int _{M}{\Big (}|\nabla ^{2}u|^{2}+{\mbox{Ric}}(\nabla u,\nabla u){\Big )}\,d{\mbox{vol}}}$.

Esto se deduce inmediatamente de la primera identidad, observando que la integral del lado izquierdo se anula (por el teorema de la divergencia ) e integrando por partes el primer término del lado derecho.

• Identidad de Bochner
• Identidad de Weitzenböck