Fórmula de Bochner-Martinelli

En matemáticas, la fórmula de Bochner-Martinelli es una generalización de la fórmula integral de Cauchy a funciones de varias variables complejas , introducida por Enzo Martinelli ( 1938 ) y Salomon Bochner ( 1943 ) .  

La fórmula (53) del presente artículo y una demostración del teorema 5 basada en ella acaban de ser publicadas por Enzo Martinelli (...) . ^{[ 1 ]} Se permite al autor del presente artículo declarar que estos resultados fueron presentados por él en un curso de posgrado de Princeton en el invierno de 1940/1941 y posteriormente fueron incorporados en una tesis doctoral de Princeton (junio de 1941) por Donald C. May, titulada: Una fórmula integral para funciones analíticas de k variables con algunas aplicaciones.

Sin embargo, la afirmación de este autor en la nota al pie 1 de loc. cit. , ^{[ 2 ]} de que podría haber estado familiarizado con la forma general de la fórmula antes de Martinelli, era totalmente injustificada y por la presente se retira.

Para ζ , z en${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$El núcleo de Bochner-Martinelli ω( ζ , z ) es una forma diferencial en ζ de grado binario ( n , n −1) definida por

${\displaystyle \omega (\zeta ,z)={\frac {(n-1)!}{(2\pi i)^{n}}}{\frac {1}{|z-\zeta |^{2n}}}\sum _{1\leq j\leq n}({\overline {\zeta }}_{j}-{\overline {z}}_{j})\,d{\overline {\zeta }}_{1}\land d\zeta _{1}\land \cdots \land d\zeta _{j}\land \cdots \land d{\overline {\zeta }}_{n}\land d\zeta _{n}}$

(donde se omite el término d ζ _{j ).}

Supongamos que f es una función continuamente diferenciable en la clausura de un dominio D en${\displaystyle \mathbb {C} }$ⁿ con frontera suave por partes ∂ D . Entonces la fórmula de Bochner-Martinelli establece que si z está en el dominio D entonces

${\displaystyle \displaystyle f(z)=\int _{\partial D}f(\zeta )\omega (\zeta ,z)-\int _ {D}{\overline {\partial }}f(\zeta )\land \omega (\zeta ,z).}$

En particular, si f es holomorfa, el segundo término se anula, por lo que

${\displaystyle \displaystyle f(z)=\int _{\partial D}f(\zeta )\omega (\zeta ,z).}$

• Fórmula de Bergman-Weil