Homomorfismo de Bockstein

En álgebra homológica , el homomorfismo de Bockstein , introducido por Meyer Bockstein  (1942, 1943, 1958), es un homomorfismo de conexión asociado con una secuencia exacta corta.

${\displaystyle 0\a P\a Q\a R\a 0}$

de grupos abelianos , cuando se introducen como coeficientes en un complejo de cadena C , y que aparece en los grupos de homología como un homomorfismo que reduce el grado en uno,

${\displaystyle \beta \colon H_{i}(C,R)\to H_{i-1}(C,P).}$

Para ser más precisos, C debería ser un complejo de grupos abelianos libres , o al menos libres de torsión , y la homología es la de los complejos formados por el producto tensorial con C (debería entrar alguna condición de módulo plano ). La construcción de β se realiza mediante el argumento habitual ( lema de la serpiente ).

Una construcción similar se aplica a los grupos de cohomología , pero esta vez aumentando el grado en uno. Por lo tanto, tenemos

${\displaystyle \beta \colon H^{i}(C,R)\to H^{i+1}(C,P).}$

El homomorfismo de Bockstein asociado a la secuencia de coeficientes ${\estilo de visualización \beta}$

${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /p^{2}\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \to 0}$

se utiliza como uno de los generadores del álgebra de Steenrod . Este homomorfismo de Bockstein tiene las dos propiedades siguientes:

${\displaystyle \beta \beta =0}$,

${\displaystyle \beta(a\cup b)=\beta(a)\cup b+(-1)^{\dim a}a\cup \beta(b)}$;

en otras palabras, es una superderivación que actúa sobre el módulo de cohomología p de un espacio.

• Secuencia espectral de Bockstein

• Bockstein, Meyer (1942), "Sistemas universales de anillos de ∇-homología", CR (Doklady) Acad. Sci. URSS , Nueva serie, 37 : 243–245, MR  0008701
• Bockstein, Meyer (1943), "Un sistema completo de campos de coeficientes para la dimensión ∇-homológica", CR (Doklady) Acad. Sci. URSS , Nueva Serie, 38 : 187–189, MR  0009115
• Bockstein, Meyer (1958), "Sur la formule des coeficientes Universels pour les groupes d'homologie", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I , 247 : 396–398, SEÑOR  0103918
• Hatcher, Allen (2002), Topología algebraica, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-79540-1, Sr.  1867354.
• Spanier, Edwin H. (1981), Topología algebraica. Reimpresión corregida , Nueva York-Berlín: Springer-Verlag , pp. xvi+528, ISBN 0-387-90646-0, Sr.  0666554