secuencia espectral de Bockstein

En matemáticas, la sucesión espectral de Bockstein es una sucesión espectral que relaciona la homología con coeficientes módulo p y la homología reducida módulo p . Recibe su nombre de Meyer Bockstein .  

Sea C un complejo de cadenas de grupos abelianos sin torsión y p un número primo . Entonces tenemos la secuencia exacta :

${\displaystyle 0\longrightarrow C{\overset {p}{\longrightarrow }}C{\overset {{\text{mod}}p}{\longrightarrow }}C\otimes \mathbb {Z} /p\longrightarrow 0.}$

Tomando la homología integral H , obtenemos el par exacto de grupos abelianos "doblemente graduados":

${\displaystyle H_{*}(C){\overset {i=p}{\longrightarrow }}H_{*}(C){\overset {j}{\longrightarrow }}H_{*}(C\otimes \mathbb {Z} /p){\overset {k}{\longrightarrow }}.}$

dónde se realiza la calificación:${\displaystyle H_{*}(C)_{s,t}=H_{s+t}(C)}$y lo mismo para${\displaystyle H_{*}(C\otimes \mathbb {Z} /p),\deg i=(1,-1),\deg j=(0,0),\deg k=(-1,0).}$

Esto nos da la primera página de la secuencia espectral: tomamos${\displaystyle E_{s,t}^{1}=H_{s+t}(C\otimes \mathbb {Z} /p)}$con el diferencial${\displaystyle {}^{1}d=j\circ k}$. El par derivado del par exacto anterior da entonces la segunda página y así sucesivamente. Explícitamente, tenemos${\displaystyle D^{r}=p^{r-1}H_{*}(C)}$que encaja perfectamente con la pareja:

${\displaystyle D^{r}{\overset {i=p}{\longrightarrow }}D^{r}{\overset {{}^{r}j}{\longrightarrow }}E^{r}{\overset {k}{\longrightarrow }}}$

dónde${\displaystyle {}^{r}j=({\text{mod }}p)\circ p^{-{r+1}}}$y${\displaystyle \deg({}^{r}j)=(-(r-1),r-1)}$(los grados de i , k son los mismos que antes). Ahora, tomando${\displaystyle D_{n}^{r}\otimes -}$de

${\displaystyle 0\longrightarrow \mathbb {Z} {\overset {p}{\longrightarrow }}\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /p\longrightarrow 0,}$

obtenemos:

${\displaystyle 0\longrightarrow \operatorname {Tor} _{1}^{\mathbb {Z} }(D_{n}^{r},\mathbb {Z} /p)\longrightarrow D_{n}^{r}{\overset {p}{\longrightarrow }}D_{n}^{r}\longrightarrow D_{n}^{r}\otimes \mathbb {Z} /p\longrightarrow 0}$.

Esto le dice al núcleo y al co-núcleo de${\displaystyle D_{n}^{r}{\overset {p}{\longrightarrow }}D_{n}^{r}}$. Expandiendo el par exacto en una secuencia exacta larga, obtenemos: para cualquier r ,

${\displaystyle 0\longrightarrow (p^{r-1}H_{n}(C))\otimes \mathbb {Z} /p\longrightarrow E_{n,0}^{r}\longrightarrow \operatorname {Tor} (p^{r-1}H_{n-1}(C),\mathbb {Z} /p)\longrightarrow 0}$.

Cuando${\displaystyle r=1}$, esto es lo mismo que el teorema del coeficiente universal para la homología.

Supongamos el grupo abeliano${\displaystyle H_{*}(C)}$es finitamente generado; en particular, solo un número finito de módulos cíclicos de la forma${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{s}}$puede aparecer como un sumando directo de${\displaystyle H_{*}(C)}$Alquiler${\displaystyle r\to \infty }$así vemos${\displaystyle E^{\infty }}$es isomorfo a${\displaystyle ({\text{parte libre de }}H_{*}(C))\otimes \mathbb {Z} /p}$.

• McCleary, John (2001), Guía del usuario para secuencias espectrales , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol.  58 (2.ª  ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-56759-6, MR 1793722 
• JP May , Una introducción a las secuencias espectrales