Bucle de bol

En matemáticas y álgebra abstracta , un bucle de Bol es una estructura algebraica que generaliza la noción de grupo . Los bucles de Bol reciben su nombre del matemático holandés Gerrit Bol, quien los introdujo en (Bol 1937).

Se dice que un bucle , L , es un bucle Bol izquierdo si satisface la identidad

${\displaystyle a(b(ac))=(a(ba))c}$, para cada a , b , c en L ,

mientras que L se dice que es un bucle Bol derecho si satisface

${\displaystyle ((ca)b)a=c((ab)a)}$, para cada a , b , c en L .

Estas identidades pueden verse como formas debilitadas de asociatividad o una forma fortalecida de alternatividad (de izquierda o de derecha) .

Un bucle es tanto Bol izquierdo como Bol derecho si y solo si es un bucle Moufang . Alternativamente, un bucle Bol derecho o izquierdo es Moufang si y solo si satisface la identidad flexible a(ba) = (ab)a . Diferentes autores usan el término "bucle Bol" para referirse a un bucle Bol izquierdo o a un bucle Bol derecho.

La identidad de Bol izquierda (derecha) implica directamente la propiedad alternativa izquierda (derecha) , como se puede demostrar al establecer b en la identidad.

También implica la propiedad inversa izquierda (derecha) , como se puede ver al establecer b como la inversa izquierda (derecha) de a y usar la división de bucles para cancelar el factor superfluo de a. Como resultado, los bucles de Bol tienen inversas bilaterales.

Los bucles de Bol también son asociativos de potencia .

Un bucle de Bol en el que la inversa bilateral mencionada anteriormente satisface la propiedad inversa automórfica, ( ab ) ⁻¹ = a ⁻¹ b ⁻¹ para todo a,b en L , se conoce como bucle de Bruck (izquierdo o derecho) o bucle K (nombrado en honor al matemático estadounidense Richard Bruck ). El ejemplo en la siguiente sección es un bucle de Bruck.

Los bucles de Bruck tienen aplicaciones en la relatividad especial ; véase Ungar (2002). Los bucles de Bruck de la izquierda son equivalentes a los girogrupos giroconmutativos de Ungar (2002) , aunque las dos estructuras se definen de forma diferente.

Sea L el conjunto de nxn matrices hermíticas definidas positivas sobre los números complejos. En general, no es cierto que el producto matricial AB de las matrices A , B en L sea hermítico, y mucho menos definido positivo. Sin embargo, existe una única P en L y una única matriz unitaria U tal que AB = PU ; esta es la descomposición polar de AB . Definamos una operación binaria * sobre L por A * B = P . Entonces ( L , *) es un bucle de Bruck por la izquierda. Una fórmula explícita para * está dada por A * B = ( AB ² A ) ^{1/2 , donde el superíndice 1/2 indica la única} raíz cuadrada hermítica definida positiva .

Un álgebra de Bol (izquierda) es un espacio vectorial equipado con una operación binaria y una operación ternaria que satisface las siguientes identidades: ^[1]${\displaystyle [a,b]+[b,a]=0}$${\estilo de visualización \{a,b,c\}}$

${\displaystyle \{a,b,c\}+\{b,a,c\}=0}$

y

${\displaystyle \{a,b,c\}+\{b,c,a\}+\{c,a,b\}=0}$

y

${\displaystyle [\{a,b,c\},d]-[\{a,b,d\},c]+\{c,d,[a,b]\}-\{a,b,[c,d]\}+[[a,b],[c,d]]=0}$

y

${\displaystyle \{a,b,\{c,d,e\}\}-\{\{a,b,c\},d,e\}-\{c,\{a,b,d\},e\}-\{c,d,\{a,b,e\}\}=0}$.

Nótese que {.,.,.} actúa como un sistema triple de Lie . Si A es un álgebra alternativa izquierda o derecha , entonces tiene un álgebra de Bol asociada A ^b , donde es el conmutador y es el asociador de Jordan . ${\displaystyle [a,b]=ab-ba}$${\displaystyle \{a,b,c\}=\langle b,c,a\rangle }$

• Bol, G. (1937), "Gewebe und gruppen", Mathematische Annalen , 114 (1): 414–431, doi :10.1007/BF01594185, ISSN  0025-5831, JFM  63.1157.04, MR  1513147, Zbl  0016.22603
• Kiechle, H. (2002). Teoría de los bucles K. Springer. ISBN. 978-3-540-43262-3.
• Pflugfelder, HO (1990). Cuasigrupos y bucles: Introducción . Heldermann. ISBN 978-3-88538-007-8. El capítulo VI trata sobre los bucles de Bol.
• Robinson, DA (1966). "Bucles de Bol". Trans. Amer. Math. Soc . 123 (2): 341–354. doi : 10.1090/s0002-9947-1966-0194545-4 . JSTOR  1994661.
• Ungar, AA (2002). Más allá de la ley de adición de Einstein y su precesión giroscópica de Thomas: la teoría de los girogrupos y los espacios girovectoriales . Kluwer. ISBN 978-0-7923-6909-7.