Sistema triple

En álgebra , un sistema triple (o ternar ) es un espacio vectorial V sobre un cuerpo F junto con una función F -trilineal.

${\displaystyle (\cdot ,\cdot ,\cdot )\colon V\veces V\veces V\to V.}$

Los ejemplos más importantes son los sistemas triples de Lie y los sistemas triples de Jordan . Fueron introducidos por Nathan Jacobson en 1949 para estudiar subespacios de álgebras asociativas cerradas bajo conmutadores triples [[ u , v ], w ] y anticonmutadores triples { u , { v , w }}. En particular, cualquier álgebra de Lie define un sistema triple de Lie y cualquier álgebra de Jordan define un sistema triple de Jordan. Son importantes en las teorías de espacios simétricos , particularmente espacios simétricos hermíticos y sus generalizaciones ( R-espacios simétricos y sus duales no compactos).

Se dice que un sistema triple es un sistema triple de Lie si la función trilineal, denotada , satisface las siguientes identidades: ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ,\cdot ]}$

${\displaystyle [u,v,w]=-[v,u,w]}$

${\displaystyle [u,v,w]+[w,u,v]+[v,w,u]=0}$

${\displaystyle [u,v,[w,x,y]]=[[u,v,w],x,y]+[w,[u,v,x],y]+[w,x,[u,v,y]].}$

Las dos primeras identidades abstraen la simetría oblicua y la identidad de Jacobi para el conmutador triple, mientras que la tercera identidad significa que la función lineal L _{u , v} :  V  →  V , definida por L _{u , v} ( w ) = [ u , v , w ], es una derivación del producto triple. La identidad también muestra que el espacio k = span {L _{u , v}  : u , v ∈ V } está cerrado bajo el corchete del conmutador, por lo tanto, es un álgebra de Lie.

Escribiendo m en lugar de V , se deduce que

${\displaystyle {\mathfrak {g}}:=k\oplus {\mathfrak {m}}}$

se puede convertir en un álgebra de Lie graduada, la incrustación estándar de m , con corchetes ${\displaystyle \mathbb {Z} _ {2}}$

${\displaystyle [(L,u),(M,v)]=([L,M]+L_{u,v},L(v)-M(u)).}$

La descomposición de g es claramente una descomposición simétrica para este corchete de Lie y, por lo tanto, si G es un grupo de Lie conexo con álgebra de Lie g y K es un subgrupo con álgebra de Lie k , entonces G / K es un espacio simétrico .

Por el contrario, dada un álgebra de Lie g con una descomposición simétrica (es decir, es el álgebra de Lie de un espacio simétrico), el triple corchete [[ u , v ], w ] convierte a m en un sistema triple de Lie.

Se dice que un sistema triple es un sistema triple de Jordan si la función trilineal, denotada {.,.,.}, satisface las siguientes identidades:

${\displaystyle \{u,v,w\}=\{u,w,v\}}$

${\displaystyle \{u,v,\{w,x,y\}\}=\{w,x,\{u,v,y\}\}+\{w,\{u,v,x\},y\}-\{\{v,u,w\},x,y\}.}$

La primera identidad abstrae la simetría del triple anticonmutador, mientras que la segunda identidad significa que si L _{u , v} : V → V está definida por L _{u , v} ( y ) = { u , v , y } entonces

${\displaystyle [L_{u,v},L_{w,x}]:=L_{u,v}\circ L_{w,x}-L_{w,x}\circ L_{u,v}=L_{w,\{u,v,x\}}-L_{\{v,u,w\},x}}$

de modo que el espacio de aplicaciones lineales abarca {L _{u , v} : u , v ∈ V } está cerrado bajo el corchete del conmutador y, por lo tanto, es un álgebra de Lie g ₀ .

Cualquier sistema triple de Jordan es un sistema triple de Lie con respecto al producto

${\displaystyle [u,v,w]=\{u,v,w\}-\{v,u,w\}.}$

Se dice que un sistema triple de Jordan es definido positivo (resp. no degenerado ) si la forma bilineal en V definida por la traza de L _{u , v} es definida positiva (resp. no degenerada). En cualquier caso, hay una identificación de V con su espacio dual y una involución correspondiente en g ₀ . Inducen una involución de

${\displaystyle V\oplus {\mathfrak {g}}_{0}\oplus V^{*}}$

que en el caso definido positivo es una involución de Cartan. El espacio simétrico correspondiente es un R-espacio simétrico . Tiene un dual no compacto dado al reemplazar la involución de Cartan por su compuesto con la involución igual a +1 en g ₀ y −1 en V y V ^* . Un caso especial de esta construcción surge cuando g ₀ conserva una estructura compleja en V . En este caso obtenemos espacios simétricos hermíticos duales de tipo compacto y no compacto (siendo estos últimos dominios simétricos acotados ).

Un par de Jordan es una generalización de un sistema triple de Jordan que involucra dos espacios vectoriales V ₊ y V− . La función trilineal se reemplaza luego por un par de funciones trilineales _.

${\displaystyle \{\cdot ,\cdot ,\cdot \}_{+}\colon V_{-}\times S^{2}V_{+}\to V_{+}}$

${\displaystyle \{\cdot ,\cdot ,\cdot \}_{-}\colon V_{+}\times S^{2}V_{-}\to V_{-}}$

que a menudo se consideran como aplicaciones cuadráticas V ₊ → Hom( V ₋ , V ₊ ) y V ₋ → Hom( V ₊ , V ₋ ). El otro axioma de Jordan (aparte de la simetría) también se reemplaza por dos axiomas, uno de los cuales es

${\displaystyle \{u,v,\{w,x,y\}_{+}\}_{+}=\{w,x,\{u,v,y\}_{+}\}_{+}+\{w,\{u,v,x\}_{+},y\}_{+}-\{\{v,u,w\}_{-},x,y\}_{+}}$

y el otro es el análogo con los subíndices + y − intercambiados.

Como en el caso de los sistemas triples de Jordan, se puede definir, para u en V ₋ y v en V ₊ , una función lineal

${\displaystyle L_{u,v}^{+}:V_{+}\to V_{+}\quad {\text{por}}\quad L_{u,v}^{+}(y)=\{u,v,y\}_{+}}$

y de manera similar L ⁻ . Los axiomas de Jordan (aparte de la simetría) pueden entonces escribirse

${\displaystyle [L_{u,v}^{\pm },L_{w,x}^{\pm }]=L_{w,\{u,v,x\}_{\pm }}^{\pm }-L_{\{v,u,w\}_{\mp },x}^{\pm }}$

lo que implica que las imágenes de L ⁺ y L− ^{están cerradas} _bajo corchetes conmutadores en End( V ₊ ) y End( V− ). Juntas determinan una función lineal

${\displaystyle V_{+}\otimes V_{-}\to {\mathfrak {gl}}(V_{+})\oplus {\mathfrak {gl}}(V_{-})}$

cuya imagen es una subálgebra de Lie , y las identidades de Jordan se convierten en identidades de Jacobi para un soporte de Lie graduado en ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$

${\displaystyle V_{+}\oplus {\mathfrak {g}}_{0}\oplus V_{-},}$

De modo que, por el contrario, si

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{+1}\oplus {\mathfrak {g}}_{0}\oplus {\mathfrak {g}}_{-1}}$

es un álgebra de Lie graduada, entonces el par es un par de Jordan, con corchetes ${\displaystyle ({\mathfrak {g}}_{+1},{\mathfrak {g}}_{-1})}$

${\displaystyle \{X_{\mp },Y_{\pm },Z_{\pm }\}_{\pm }:=[[X_{\mp },Y_{\pm }],Z_{\pm }].}$

Los sistemas triples de Jordan son pares de Jordan con V ₊ = V ₋ y funciones trilineales iguales. Otro caso importante ocurre cuando V ₊ y V ₋ son duales entre sí, con funciones trilineales duales determinadas por un elemento de

${\displaystyle \mathrm {End} (S^{2}V_{+})\cong S^{2}V_{+}^{*}\otimes S^{2}V_{-}^{*}\cong \mathrm {End} (S^{2}V_{-}).}$

Estos surgen en particular cuando lo anterior es semisimple, cuando la forma Killing proporciona una dualidad entre y . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{+1}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{-1}}$

• Asociador
• Álgebra de Jordan cuadrática

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• Loos, Ottmar (2006) [1975], Pares de Jordan, Apuntes de clase en matemáticas, vol. 460, Springer, ISBN 978-3-540-37499-2
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