Teorema de Border

Las subastas son un mecanismo diseñado para asignar un bien indivisible entre${\displaystyle N}$postores con valoración privada del bien, es decir, cuando el subastador tiene información incompleta sobre la valoración real de los postores y cada postor conoce solo su propia valoración.

Formalmente, esta incertidumbre está representada por una familia de espacios de probabilidad.${\displaystyle (T_{i},{\mathcal {T}}_{i},\lambda _{i})}$por cada postor${\displaystyle i=1,...,N}$, en el que cada${\displaystyle t_{i}\in T_{i}}$representa un posible tipo (valoración) para el licitador${\displaystyle i}$tener, ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{i}}$denota un σ-álgebra en${\displaystyle T_{i}}$, y${\displaystyle \lambda _{i}}$una distribución de probabilidad de conocimiento previo y común sobre${\displaystyle T_{i}}$, que asigna la probabilidad${\displaystyle \lambda _{i}(t_{i})}$que un postor${\displaystyle i}$es de tipo${\displaystyle t_{i}}$. Finalmente, definimos${\displaystyle {\boldsymbol {T}}=\prod _{i=1}^{N}T_{i}}$como el conjunto de perfiles de tipo, y${\displaystyle {\boldsymbol {T}}_{-i}=\prod _{j\neq i}T_{i}}$el conjunto de perfiles${\displaystyle t_{-i}=(t_{1},...,t_{i-1},t_{i+1},...,t_{N})}$.

Los postores informan simultáneamente su valoración del bien ^{[ nb 1 ]} , y una subasta asigna una probabilidad de que lo reciban. En este contexto, una subasta es, por lo tanto, una función${\displaystyle q:{\boldsymbol {T}}\rightarrow [0,1]^{N}}$Satisfactorio, para cada tipo de perfil${\displaystyle t\in {\boldsymbol {T}}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}q_{i}(t)\leq 1}$

dónde${\displaystyle q_{i}}$es el${\displaystyle i}$-ésimo componente de${\displaystyle q=(q_{1},q_{2},...,q_{N})}$Intuitivamente, esto solo significa que la probabilidad de que algún postor reciba el bien no es mayor que 1.

Desde el punto de vista de cada postor${\displaystyle i}$, cada subasta${\displaystyle q}$induce cierta probabilidad esperada de que ganen el bien dado su tipo, que podemos calcular como

${\displaystyle Q_{i}(t_{i})=\int _{T_{-i}}q_{i}(t)d\lambda _{i}(t_{-i}|t_{i})}$

dónde${\displaystyle \lambda _{i}(t_{-i}|t_{i})}$es la probabilidad condicional de que otros postores tengan un perfil de tipo${\displaystyle t_{-i}}$dado que el postor${\displaystyle i}$es de tipo${\displaystyle t_{i}}$Nos referimos a tales probabilidades${\displaystyle Q_{i}}$como reglas de asignación provisional , ya que dan la probabilidad de ganar la subasta en el período intermedio : después de que cada jugador conozca su propio tipo, pero antes de conocer el tipo de los otros postores.

La función${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}:{\boldsymbol {T}}\rightarrow [0,1]^{N}}$definido por${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}(t)=(Q_{1}(t_{1}),...,Q_{N}(t_{N}))}$A menudo se la denomina subasta de forma reducida . Trabajar con subastas de forma reducida suele ser mucho más manejable analíticamente para la maximización de ingresos. ^{[ 3 ]}

Considerada de forma aislada, una regla de asignación${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}:T\rightarrow [0,1]^{N}}$Se considera implementable si existe una subasta.${\displaystyle q:{\boldsymbol {T}}\rightarrow [0,1]^{N}}$de tal manera que

${\displaystyle Q_{i}(t_{i})=\int _{T_{-i}}q_{i}(t)d\lambda _{i}(t_{-i}|t_{i})}$

por cada postor${\displaystyle i}$y tipo${\displaystyle t_{i}\in T_{i}}$.

El entorno de subasta es i.i.d. si los espacios de probabilidad${\displaystyle (T_{i},{\mathcal {T}}_{i},\lambda _{i})=(T,{\mathcal {T}},\lambda )}$son los mismos para todos los postores${\displaystyle i}$y tipos${\displaystyle t_{i}}$son independientes. En este caso, solo es necesario considerar subastas simétricas ^{[ nb 2 ]} , ^{[ 3 ]} y por lo tanto${\displaystyle Q_{i}=Q}$también se vuelve igual para cada${\displaystyle i}$El teorema de Border en este contexto establece, por lo tanto: ^{[ 1 ]}

Proposición: Una regla de asignación provisional${\displaystyle Q:T\rightarrow [0,1]}$es implementable mediante una subasta simétrica si y solo si para cada conjunto medible de tipos${\displaystyle A\in {\mathcal {T}}}$, uno tiene la desigualdad

${\displaystyle N\int _{A}Q(t)d\lambda (t)\leq 1-\lambda (A^{c})^{N}}$

Intuitivamente, el lado izquierdo representa la probabilidad de que el ganador de la subasta sea de algún tipo.${\displaystyle t\in A}$y el lado derecho representa la probabilidad de que exista algún postor con tipo${\displaystyle t\in A}$El hecho de que la desigualdad sea necesaria para la implementabilidad es intuitivo; el hecho de que sea suficiente significa que esta desigualdad caracteriza completamente las subastas implementables y representa la fuerza del teorema.

Si todos los conjuntos${\displaystyle T_{i}}$son finitos, la restricción al caso iid puede eliminarse. En el entorno más general desarrollado anteriormente, Border demostró así: ^{[ 4 ] [ 5 ]}

Proposición: Una regla de asignación provisional${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}:{\boldsymbol {T}}\rightarrow [0,1]^{N}}$es implementable mediante una subasta si y solo si para cada conjunto medible de tipos${\displaystyle A_{1}\in {\mathcal {T}}_{1},A_{2}\in {\mathcal {T}}_{2},...,A_{N}\in {\mathcal {T}}_{N}}$, uno tiene la desigualdad

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\int _{A_{i}}Q_{i}(t_{i})d\lambda _{i}(t_{i})\leq 1-\prod _{i=1}^{N}\left(1-\sum _{t_{i}\in A_{i}}\lambda _{i}(t_{i})\right)}$

La intuición del caso i.i.d. se mantiene: el lado izquierdo representa la probabilidad de que el ganador de la subasta sea algún postor.${\displaystyle i}$con tipo${\displaystyle t_{i}\in A_{i}}$y el lado derecho representa la probabilidad de que exista algún postor.${\displaystyle i}$con tipo${\displaystyle t_{i}\in A_{i}}$Una vez más, la solidez del resultado radica en que es suficiente para caracterizar reglas de asignación provisionales implementables.