paradoja de Borel-Kolmogorov

Para comprender el problema, debemos reconocer que una distribución de una variable aleatoria continua se describe mediante una función de densidad f únicamente con respecto a alguna medida μ . Ambas son importantes para la descripción completa de la distribución de probabilidad. O, equivalentemente, necesitamos definir completamente el espacio en el que queremos definir f .

Sean Φ y Λ dos variables aleatorias que toman valores en Ω ₁ =${\textstyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}$respectivamente Ω ₂ = [− π , π ]. Un evento {Φ  = φ , Λ = λ } da un punto en la esfera S ( r ) con radio r . Definimos la transformación de coordenadas    

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos \varphi \cos \lambda \\y&=r\cos \varphi \sin \lambda \\z&=r\sin \varphi \end{aligned}}}$

para el cual obtenemos el elemento de volumen

${\displaystyle \omega _{r}(\varphi ,\lambda )=\left\|{\partial (x,y,z) \over \partial \varphi }\times {\partial (x,y,z) \over \partial \lambda }\right\|=r^{2}\cos \varphi \ .}$

Además, si φ o λ están fijos, obtenemos los elementos de volumen.

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega _{r}(\lambda )&=\left\|{\partial (x,y,z) \over \partial \varphi }\right\|=r\ ,\quad {\text{respectively}}\\[3pt]\omega _{r}(\varphi )&=\left\|{\partial (x,y,z) \over \partial \lambda }\right\|=r\cos \varphi \ .\end{aligned}}}$

Dejar

${\displaystyle \mu _{\Phi ,\Lambda }(d\varphi ,d\lambda )=f_{\Phi ,\Lambda }(\varphi ,\lambda )\omega _{r}(\varphi ,\lambda )\,d\varphi \,d\lambda }$

denotamos la medida conjunta en${\displaystyle {\mathcal {B}}(\Omega _{1}\times \Omega _{2})}$, que tiene una densidad${\displaystyle f_{\Phi ,\Lambda }}$con respecto a${\displaystyle \omega _{r}(\varphi ,\lambda )\,d\varphi \,d\lambda }$y dejar

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{\Phi }(d\varphi )&=\int _{\lambda \in \Omega _{2}}\mu _{\Phi ,\Lambda }(d\varphi ,d\lambda )\ ,\\\mu _{\Lambda }(d\lambda )&=\int _{\varphi \in \Omega _{1}}\mu _{\Phi ,\Lambda }(d\varphi ,d\lambda )\ .\end{aligned}}}$

Si asumimos que la densidad${\displaystyle f_{\Phi ,\Lambda }}$es uniforme, entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{\Phi \mid \Lambda }(d\varphi \mid \lambda )&={\mu _{\Phi ,\Lambda }(d\varphi ,d\lambda ) \over \mu _{\Lambda }(d\lambda )}={\frac {1}{2r}}\omega _{r}(\varphi )\,d\varphi \ ,\quad {\text{and}}\\[3pt]\mu _{\Lambda \mid \Phi }(d\lambda \mid \varphi )&={\mu _{\Phi ,\Lambda }(d\varphi ,d\lambda ) \over \mu _{\Phi }(d\varphi )}={\frac {1}{2r\pi }}\omega _{r}(\lambda )\,d\lambda \ .\end{aligned}}}$

Por eso,${\displaystyle \mu _{\Phi \mid \Lambda }}$tiene una densidad uniforme con respecto a${\displaystyle \omega _{r}(\varphi )\,d\varphi }$pero no con respecto a la medida de Lebesgue . Por otro lado,${\displaystyle \mu _{\Lambda \mid \Phi }}$tiene una densidad uniforme con respecto a${\displaystyle \omega _{r}(\lambda )\,d\lambda }$y la medida Lebesgue.

Consideremos un vector aleatorio${\displaystyle (X,Y,Z)}$que se distribuye uniformemente en la esfera unitaria${\displaystyle S^{2}}$.

Comenzamos parametrizando la esfera con las coordenadas polares esféricas habituales :

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\cos(\varphi )\cos(\theta )\\y&=\cos(\varphi )\sin(\theta )\\z&=\sin(\varphi )\end{aligned}}}$

dónde${\textstyle -{\frac {\pi }{2}}\leq \varphi \leq {\frac {\pi }{2}}}$y${\displaystyle -\pi \leq \theta \leq \pi }$.

Podemos definir variables aleatorias${\displaystyle \Phi }$,${\displaystyle \Theta }$como los valores de${\displaystyle (X,Y,Z)}$ bajo la inversa de esta parametrización, o más formalmente usando la función arctan2 :

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi &=\arcsin(Z)\\\Theta &=\arctan _{2}\left({\frac {Y}{\sqrt {1-Z^{2}}}},{\frac {X}{\sqrt {1-Z^{2}}}}\right)\end{aligned}}}$

Utilizando las fórmulas para el área de superficie de una calota esférica y una cuña esférica , la superficie de una cuña de calota esférica viene dada por

${\displaystyle \operatorname {Area} (\Theta \leq \theta ,\Phi \leq \varphi )=(1+\sin(\varphi ))(\theta +\pi )}$

Desde${\displaystyle (X,Y,Z)}$Si se distribuye uniformemente, la probabilidad es proporcional al área de la superficie, lo que da como resultado la función de distribución acumulativa conjunta.

${\displaystyle F_{\Phi ,\Theta }(\varphi ,\theta )=P(\Theta \leq \theta ,\Phi \leq \varphi )={\frac {1}{4\pi }}(1+\sin(\varphi ))(\theta +\pi )}$

La función de densidad de probabilidad conjunta viene dada por

${\displaystyle f_{\Phi ,\Theta }(\varphi ,\theta )={\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi \partial \theta }}F_{\Phi ,\Theta }(\varphi ,\theta )={\frac {1}{4\pi }}\cos(\varphi )}$

Tenga en cuenta que${\displaystyle \Phi }$y${\displaystyle \Theta }$son variables aleatorias independientes.

Para simplificar, no calcularemos la distribución condicional completa en un círculo máximo, sino solo la probabilidad de que el vector aleatorio se encuentre en el primer octante. Es decir, intentaremos calcular la probabilidad condicional.${\displaystyle \mathbb {P} (A|B)}$con

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\left\{0<\Theta <{\frac {\pi }{4}}\right\}&&=\{0<X<1,0<Y<X\}\\B&=\{\Phi =0\}&&=\{Z=0\}\end{aligned}}}$

Intentamos evaluar la probabilidad condicional como un límite de condicionamiento en los eventos.

${\displaystyle B_{\varepsilon }=\{|\Phi |<\varepsilon \}}$

Como${\displaystyle \Phi }$y${\displaystyle \Theta }$son independientes, al igual que los eventos.${\displaystyle A}$y${\displaystyle B_{\varepsilon }}$, por lo tanto

${\displaystyle P(A\mid B)\mathrel {\stackrel {?}{=}} \lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {P(A\cap B_{\varepsilon })}{P(B_{\varepsilon })}}=\lim _{\varepsilon \to 0}P(A)=P\left(0<\Theta <{\frac {\pi }{4}}\right)={\frac {1}{8}}.}$

Ahora repetimos el proceso con una parametrización diferente de la esfera:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\sin(\varphi )\\y&=\cos(\varphi )\sin(\theta )\\z&=-\cos(\varphi )\cos(\theta )\end{aligned}}}$

Esto es equivalente a la parametrización anterior rotada 90 grados alrededor del eje y .

Definir nuevas variables aleatorias

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi '&=\arcsin(X)\\\Theta '&=\arctan _{2}\left({\frac {Y}{\sqrt {1-X^{2}}}},{\frac {-Z}{\sqrt {1-X^{2}}}}\right).\end{aligned}}}$

La rotación conserva la medida, por lo que la densidad de${\displaystyle \Phi '}$y ${\displaystyle \Theta '}$es lo mismo:

${\displaystyle f_{\Phi ',\Theta '}(\varphi ,\theta )={\frac {1}{4\pi }}\cos(\varphi )}$.

Las expresiones para A y B son:

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\left\{0<\Theta <{\frac {\pi }{4}}\right\}&&=\{0<X<1,\ 0<Y<X\}&&=\left\{0<\Theta '<\pi ,\ 0<\Phi '<{\frac {\pi }{2}},\ \sin(\Theta ')<\tan(\Phi ')\right\}\\B&=\{\Phi =0\}&&=\{Z=0\}&&=\left\{\Theta '=-{\frac {\pi }{2}}\right\}\cup \left\{\Theta '={\frac {\pi }{2}}\right\}.\end{aligned}}}$

Intentando nuevamente evaluar la probabilidad condicional como un límite de condicionamiento en los eventos

${\displaystyle B_{\varepsilon }^{\prime }=\left\{\left|\Theta '+{\frac {\pi }{2}}\right|<\varepsilon \right\}\cup \left\{\left|\Theta '-{\frac {\pi }{2}}\right|<\varepsilon \right\}.}$

Utilizando la regla de L'Hôpital y la diferenciación bajo el signo integral :

${\displaystyle {\begin{aligned}P(A\mid B)&\mathrel {\stackrel {?}{=}} \lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {P(A\cap B_{\varepsilon }^{\prime })}{P(B_{\varepsilon }^{\prime })}}\\&=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {1}{\frac {4\varepsilon }{2\pi }}}P\left({\frac {\pi }{2}}-\varepsilon <\Theta '<{\frac {\pi }{2}}+\varepsilon ,\ 0<\Phi '<{\frac {\pi }{2}},\ \sin(\Theta ')<\tan(\Phi ')\right)\\&={\frac {\pi }{2}}\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\partial }{\partial \varepsilon }}\int _{{\pi }/{2}-\epsilon }^{{\pi }/{2}+\epsilon }\int _{0}^{{\pi }/{2}}1_{\sin(\theta )<\tan(\varphi )}f_{\Phi ',\Theta '}(\varphi ,\theta )\mathrm {d} \varphi \mathrm {d} \theta \\&=\pi \int _{0}^{{\pi }/{2}}1_{1<\tan(\varphi )}f_{\Phi ',\Theta '}\left(\varphi ,{\frac {\pi }{2}}\right)\mathrm {d} \varphi \\&=\pi \int _{\pi /4}^{\pi /2}{\frac {1}{4\pi }}\cos(\varphi )\mathrm {d} \varphi \\&={\frac {1}{4}}\left(1-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)\neq {\frac {1}{8}}\end{aligned}}}$

Esto demuestra que la densidad condicional no puede tratarse como condicionada a un evento de probabilidad cero, como se explica en Probabilidad condicional#Condicionamiento a un evento de probabilidad cero .