Teorema de la gráfica de Borel

En análisis funcional , el teorema del grafo de Borel es una generalización del teorema del grafo cerrado que fue demostrado por L. Schwartz. ^{[ 1 ]}

El teorema de grafos de Borel muestra que el teorema de grafos cerrados es válido para aplicaciones lineales definidas y valoradas en la mayoría de los espacios que se encuentran en el análisis. ^{[ 1 ]}

Un espacio topológico se llama espacio polaco si es un espacio metrizable completo separable y un espacio de Souslin es la imagen continua de un espacio polaco. El dual débil de un espacio de Fréchet separable y el dual fuerte de un espacio de Fréchet-Montel separable son espacios de Souslin. Además, el espacio de distribuciones y todos los espacios Lp sobre subconjuntos abiertos del espacio euclidiano, así como muchos otros espacios que aparecen en el análisis, son espacios de Souslin. El teorema del grafo de Borel establece: ^{[ 1 ]}

Dejar${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$sean espacios localmente convexos de Hausdorff y sea${\displaystyle u:X\to Y}$ser lineal. Si${\displaystyle X}$es el límite inductivo de una familia arbitraria de espacios de Banach , si${\displaystyle Y}$es un espacio de Souslin, y si el gráfico de${\displaystyle u}$es un conjunto de Borel en${\displaystyle X\times Y,}$entonces${\displaystyle u}$es continuo.

Una mejora de este teorema, demostrada por A. Martineau, utiliza espacios K-analíticos. Un espacio topológico${\displaystyle X}$se llama un${\displaystyle K_{\sigma \delta }}$si es la intersección numerable de uniones numerables de conjuntos compactos . Un espacio topológico de Hausdorff${\displaystyle Y}$se llamaK-analítico si es la imagen continua de un${\displaystyle K_{\sigma \delta }}$espacio (es decir, si hay un${\displaystyle K_{\sigma \delta }}$espacio${\displaystyle X}$y un mapa continuo de${\displaystyle X}$sobre${\displaystyle Y}$). Todo conjunto compacto es K-analítico, por lo que existen espacios K-analíticos no separables. Además, todo espacio polaco, de Souslin y de Fréchet reflexivo es K-analítico, al igual que el dual débil de un espacio de Fréchet. El teorema generalizado establece: ^{[ 2 ]}

Dejar${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$sean espacios de Hausdorff localmente convexos y sea${\displaystyle u:X\to Y}$ser lineal. Si${\displaystyle X}$es el límite inductivo de una familia arbitraria de espacios de Banach, si${\displaystyle Y}$es un espacio K-analítico, y si la gráfica de${\displaystyle u}$está cerrado en${\displaystyle X\times Y,}$entonces${\displaystyle u}$es continuo.

• Propiedad de grafo cerrado : propiedad de las funciones en topología. 
• Teorema del grafo cerrado : Teorema que relaciona la continuidad con los grafos. 
• Teorema del grafo cerrado (análisis funcional) : Teoremas que relacionan la continuidad con el cierre de grafos. 
• Gráfica de una función : representación de una función matemática. 

• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1OCLC 853623322 .​