espacio polaco

En la disciplina matemática de la topología general , un espacio polaco es un espacio topológico separable completamente metrizable ; es decir, un espacio homeomorfo a un espacio métrico completo que posee un subconjunto denso numerable . Los espacios polacos reciben este nombre porque fueron estudiados extensamente por primera vez por topólogos y lógicos polacos, como Sierpiński , Kuratowski , Tarski y otros. Sin embargo, hoy en día se estudian principalmente porque constituyen el marco principal de la teoría descriptiva de conjuntos , incluyendo el estudio de las relaciones de equivalencia de Borel . Los espacios polacos también son un marco conveniente para la teoría de la medida más avanzada , en particular en la teoría de la probabilidad .

Ejemplos comunes de espacios polacos son la recta real , cualquier espacio de Banach separable , el espacio de Cantor y el espacio de Baire . Además, algunos espacios que no son espacios métricos completos en la métrica usual pueden ser polacos; por ejemplo, el intervalo abierto (0, 1) es polaco.

Entre cualesquiera dos espacios polacos no numerables , existe un isomorfismo de Borel ; es decir, una biyección que preserva la estructura de Borel. En particular, todo espacio polaco no numerable tiene la cardinalidad del continuo .

Los espacios de Lusin , los espacios de Suslin y los espacios de Radon son generalizaciones de los espacios polacos.

1. Cada espacio polaco es contable en segundo lugar (en virtud de ser separable y metrizable). ^{[ 1 ]}
2. Un subespacio Q de un espacio polaco P es polaco (bajo la topología inducida) si y solo si Q es la intersección de una secuencia de subconjuntos abiertos de P (es decir, Q es un G _δ -conjunto). ^{[ 2 ]}
3. ( Teorema de Cantor-Bendixson ) Si X es un espacio polaco, cualquier subconjunto cerrado de X puede escribirse como la unión disjunta de un conjunto perfecto y un conjunto numerable. Además, si el espacio polaco X es incontable, puede escribirse como la unión disjunta de un conjunto perfecto y un conjunto abierto numerable.
4. Todo espacio polaco es homeomorfo a un subconjunto G _δ del cubo de Hilbert (es decir, de I ^N , donde I es el intervalo unitario y N es el conjunto de los números naturales). ^{[ 3 ]}

Los siguientes espacios son polacos:

• subconjuntos cerrados de un espacio polaco,
• subconjuntos abiertos de un espacio polaco,
• productos y uniones disjuntas de familias contables de espacios polacos,
• espacios localmente compactos que son metrizables y contables en el infinito ,
• intersecciones numerables de subespacios polacos de un espacio topológico de Hausdorff,
• el conjunto de números irracionales con la topología inducida por la topología estándar de la recta real.

Existen numerosas caracterizaciones que indican cuándo un espacio topológico con número segundo numerable es metrizable, como el teorema de metrización de Urysohn . El problema de determinar si un espacio metrizable es completamente metrizable es más complejo. Los espacios topológicos, como el intervalo unitario abierto (0,1), pueden tener métricas completas e incompletas que generan su topología.

Existe una caracterización de los espacios métricos separables completos en términos de un juego conocido como el juego de Choquet fuerte . Un espacio métrico separable es completamente metrizable si y solo si el segundo jugador tiene una estrategia ganadora en este juego.

Una segunda caracterización se deriva del teorema de Alexandrov. Afirma que un espacio métrico separable es completamente metrizable si y solo si es un${\displaystyle G_{\delta }}$subconjunto de su completitud en la métrica original.

Aunque los espacios polacos son metrizables, no son espacios métricos en sí mismos ; cada espacio polaco admite muchas métricas completas que dan lugar a la misma topología, pero ninguna de ellas se distingue. Un espacio polaco con una métrica completa distinguida se denomina espacio métrico polaco . Un enfoque alternativo, equivalente al aquí presentado, consiste en definir primero «espacio métrico polaco» como «espacio métrico separable completo» y, a continuación, definir un «espacio polaco» como el espacio topológico obtenido a partir de un espacio métrico polaco sin tener en cuenta la métrica.

Un grupo polaco es un grupo topológico G que también es un espacio polaco, es decir, homeomorfo a un espacio métrico completo separable. Hay varios resultados clásicos de Banach , Freudenthal y Kuratowski sobre homomorfismos entre grupos polacos. ^{[ 10 ]} En primer lugar, el argumento de Banach ^{[ 11 ]} se aplica mutatis mutandis a grupos polacos no abelianos: si G y H son espacios métricos separables con G polaco, entonces cualquier homomorfismo de Borel de G a H es continuo. ^{[ 12 ]} En segundo lugar, hay una versión del teorema de la aplicación abierta o del teorema del grafo cerrado debido a Kuratowski: ^{[ 13 ]} un homomorfismo sobreyectivo continuo de un grupo polaco G sobre otro grupo polaco H es una aplicación abierta; un homomorfismo entre grupos polacos es continuo si y solo si su grafo es cerrado. Como resultado, es un hecho notable acerca de los grupos polacos que las aplicaciones medibles de Baire (es decir, para las cuales la preimagen de cualquier conjunto abierto tiene la propiedad de Baire ) que son homomorfismos entre ellos son automáticamente continuas. ^{[ 14 ]} El grupo de homeomorfismos del cubo de Hilbert [0,1] ^N es un grupo polaco universal, en el sentido de que todo grupo polaco es isomorfo a un subgrupo cerrado del mismo.

Ejemplos:

• Todos los grupos de Lie de dimensión finita con un número contable de componentes son grupos polacos.
• El grupo unitario de un espacio de Hilbert separable (con la topología de operador fuerte ) es un grupo polaco.
• El grupo de homeomorfismos de un espacio métrico compacto es un grupo polaco.
• El producto de un número contable de grupos polacos es un grupo polaco.
• El grupo de isometrías de un espacio métrico completo separable es un grupo polaco.

• Espacio estándar de Borel

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