Serie Nacido

La serie de Born ^{[ 1 ]} es la expansión de diferentes cantidades de dispersión en la teoría de dispersión cuántica en potencias del potencial de interacción.${\displaystyle V}$(más precisamente en potencias de${\displaystyle G_{0}V,}$dónde${\displaystyle G_{0}}$es el operador de Green de partícula libre ). Está estrechamente relacionado con la aproximación de Born , que es el término de primer orden de la serie de Born. La serie puede entenderse formalmente como una serie de potencias que introduce la constante de acoplamiento por sustitución.${\displaystyle V\a \lambda V}$La velocidad de convergencia y el radio de convergencia de la serie de Born están relacionados con los valores propios del operador .${\displaystyle G_{0}V}$En general, los primeros términos de la serie de Born son una buena aproximación a la cantidad expandida para la interacción "débil".${\displaystyle V}$ y una gran energía de colisión.

La serie Born para los estados dispersos dice:

${\displaystyle |\psi \rangle =|\phi \rangle +G_{0}(E)V|\phi \rangle +[G_{0}(E)V]^{2}|\phi \rangle +[G_{0}(E)V]^{3}|\phi \rangle +\dots }$

Se puede obtener iterando la ecuación de Lippmann-Schwinger.

${\displaystyle |\psi \rangle =|\phi \rangle +G_{0}(E)V|\psi \rangle .}$

Tenga en cuenta que el operador de Green${\displaystyle G_{0}}$para una partícula libre puede ser retardada/avanzada u operador de onda estacionaria para retardada${\displaystyle |\psi ^{(+)}\rangle }$avanzado${\displaystyle |\psi ^{(-)}\rangle }$o estados de dispersión de ondas estacionarias${\displaystyle |\psi ^{(P)}\rangle }$La primera iteración se obtiene reemplazando la solución de dispersión completa.${\displaystyle |\psi \rangle }$con función de onda de partícula libre${\displaystyle |\phi \rangle }$en el lado derecho de la ecuación de Lippmann-Schwinger y da la primera aproximación de Born . La segunda iteración sustituye la primera aproximación de Born en el lado derecho y el resultado se llama segunda aproximación de Born. En general, la n-ésima aproximación de Born tiene en cuenta n términos de la serie. La segunda aproximación de Born se usa a veces cuando la primera aproximación de Born se anula, pero los términos de orden superior rara vez se usan. La serie de Born se puede sumar formalmente como una serie geométrica con la razón común igual al operador${\displaystyle G_{0}V}$, dando la solución formal a la ecuación de Lippmann-Schwinger en la forma

${\displaystyle |\psi \rangle =[I-G_{0}(E)V]^{-1}|\phi \rangle =[V-VG_{0}(E)V]^{-1}V|\phi \rangle .}$

La serie de Born también se puede escribir para otras cantidades de dispersión como la matriz T , que está estrechamente relacionada con la amplitud de dispersión . Iterando la ecuación de Lippmann-Schwinger para la matriz T obtenemos

${\displaystyle T(E)=V+VG_{0}(E)V+V[G_{0}(E)V]^{2}+V[G_{0}(E)V]^{3}+\dots }$

Para la matriz T${\displaystyle G_{0}}$representa únicamente al operador retrasado de Green${\displaystyle G_{0}^{(+)}(E)}$El operador de Green de onda estacionaria daría la matriz K en su lugar.

La ecuación de Lippmann-Schwinger para el operador de Green se denomina identidad resolvente ,

${\displaystyle G(E)=G_{0}(E)+G_{0}(E)VG(E).}$

Su solución por iteración conduce a la serie Born para el operador Green completo.${\displaystyle G(E)=(E-H+i\epsilon )^{-1}}$

${\displaystyle G(E)=G_{0}(E)+G_{0}(E)VG_{0}(E)+[G_{0}(E)V]^{2}G_{0}(E)+[G_{0}(E)V]^{3}G_{0}(E)+\dots }$

• Joachain, Charles J. (1983). Teoría de colisiones cuánticas . North Holland. ISBN 978-0-7204-0294-0.
• Taylor, John R. (1972). Teoría de la dispersión: La teoría cuántica de las colisiones no relativistas . John Wiley. ISBN 978-0-471-84900-1.
• Newton, Roger G. (2002). Teoría de la dispersión de ondas y partículas . Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-42535-1.