Método de elementos de contorno

El método de elementos de contorno ( BEM ) es un método computacional numérico para resolver ecuaciones diferenciales parciales lineales (EDP) que surgen en ingeniería y modelado matemático . Es similar al método de elementos finitos , más utilizado , ya que descompone el objeto de estudio en una serie de puntos en el espacio y luego aplica cálculos iterativamente en dichos puntos.

El método de elementos finitos (BEM) se diferencia del método de elementos finitos (FEM) (y métodos similares) en que permite calcular los valores en puntos interiores o exteriores mediante un cálculo basado en los valores en un límite definido, a menudo la superficie exterior de un objeto o un contorno similar. Esto se logra reformulando las ecuaciones diferenciales parciales (EDP) como ecuaciones integrales (es decir, en forma de integral de contorno ). Esto reduce el cálculo del volumen mayor a cálculos basados ​​en las soluciones en el contorno, lo que reduce considerablemente la cantidad total de cálculos que deben resolverse. Por ejemplo, para considerar la transmisión del sonido a través de un lago, un FEM requeriría calcular un volumen enorme de puntos, mientras que el BEM puede reducirlo a un cálculo de las condiciones en la superficie exterior del emisor.

El método de elementos de contorno (BEM) se utiliza ampliamente en el análisis de tensiones , la mecánica de fluidos , la acústica y campos similares. También es muy común en el estudio del electromagnetismo , especialmente en el rendimiento de las antenas de radio . En este caso particular, su uso es tan extendido que generalmente se le conoce con otro término: el método de los momentos (MoM). ^{[ 1 ]}

El método de elementos de contorno también es muy adecuado para analizar la mecánica de fractura y las grietas en sólidos, y existen varios enfoques BEM para problemas de grietas. Un ejemplo de este enfoque es formular las condiciones de las grietas en términos de ecuaciones integrales de contorno hipersingulares, véase ( Ang 2013 ) y mecánica de contacto . ^{[ 2 ] [ 3 ]}

La ecuación integral puede considerarse una solución exacta de la ecuación diferencial parcial que rige el sistema. El método de elementos de contorno intenta utilizar las condiciones de contorno dadas para ajustar los valores de contorno a la ecuación integral, en lugar de utilizar valores en todo el espacio definido por una ecuación diferencial parcial. Una vez hecho esto, en la etapa de postprocesamiento, la ecuación integral puede utilizarse nuevamente para calcular numéricamente la solución directamente en cualquier punto deseado dentro del dominio de solución.

El método de elementos de contorno (BEM) es aplicable a problemas para los que se pueden calcular las funciones de Green . Estos suelen involucrar campos en medios homogéneos lineales . Esto impone restricciones considerables al rango y la generalidad de los problemas a los que se pueden aplicar elementos de contorno de manera útil. Se pueden incluir no linealidades en la formulación, aunque generalmente introducen integrales de volumen que requieren la discretización del volumen antes de intentar la solución, eliminando una de las ventajas más citadas del BEM . Una técnica útil para tratar la integral de volumen sin discretizar el volumen es el método de reciprocidad dual . Esta técnica aproxima parte del integrando mediante funciones de base radial (funciones de interpolación local) y convierte la integral de volumen en una integral de contorno después de colocarla en puntos seleccionados distribuidos por todo el dominio del volumen (incluido el contorno). En el BEM de reciprocidad dual, aunque no es necesario discretizar el volumen en mallas, las incógnitas en puntos elegidos dentro del dominio de la solución están involucradas en las ecuaciones algebraicas lineales que aproximan el problema en cuestión.

Los elementos de la función de Green que conectan pares de parches de fuente y campo definidos por la malla forman una matriz, que se resuelve numéricamente. A menos que la función de Green se comporte bien, al menos para pares de parches cercanos entre sí, debe integrarse sobre el parche de fuente o el parche de campo, o ambos. La forma del método en la que las integrales sobre los parches de fuente y campo son iguales se denomina " método de Galerkin ". El método de Galerkin es el enfoque obvio para problemas que son simétricos con respecto al intercambio de puntos de fuente y campo. En electromagnetismo en el dominio de la frecuencia, esto se garantiza mediante la reciprocidad electromagnética . El costo computacional involucrado en las implementaciones ingenuas de Galerkin suele ser bastante elevado. Hay que iterar sobre cada par de elementos (por lo que obtenemos n² ^{interacciones} ) y para cada par de elementos iteramos sobre los puntos de Gauss en los elementos, produciendo un factor multiplicativo proporcional al cuadrado del número de puntos de Gauss. Además, las evaluaciones de funciones requeridas suelen ser bastante costosas, ya que implican llamadas a funciones trigonométricas/hiperbólicas. No obstante, la principal fuente del costo computacional es este doble bucle sobre los elementos que produce una matriz completamente poblada.

Las funciones de Green , o soluciones fundamentales , suelen ser difíciles de integrar, ya que se basan en la solución de las ecuaciones del sistema sujetas a una singularidad (por ejemplo, el campo eléctrico generado por una carga puntual). Integrar campos tan singulares no es sencillo. Para geometrías de elementos simples (por ejemplo, triángulos planos), se puede utilizar la integración analítica. Para elementos más generales, es posible diseñar esquemas puramente numéricos que se adapten a la singularidad, pero con un alto coste computacional. Por supuesto, cuando el punto fuente y el elemento objetivo (donde se realiza la integración) están muy separados, no es necesario cuantificar con exactitud el gradiente local que rodea al punto, lo que facilita la integración debido al decaimiento suave de la solución fundamental. Esta característica es la que se suele emplear en esquemas diseñados para acelerar los cálculos de problemas de elementos de contorno.

La derivación de funciones de Green en forma cerrada es de particular interés en el método de elementos de contorno, especialmente en electromagnetismo. Específicamente en el análisis de medios estratificados, la derivación de la función de Green en el dominio espacial requiere la inversión de la función de Green en el dominio espectral, que se puede derivar analíticamente, mediante la integral de trayectoria de Sommerfeld. Esta integral no se puede evaluar analíticamente y su integración numérica es costosa debido a su comportamiento oscilatorio y de lenta convergencia. Para un análisis robusto, las funciones de Green espaciales se aproximan como exponenciales complejas con métodos como el método de Prony o el haz generalizado de funciones , y la integral se evalúa con la identidad de Sommerfeld . ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]} Este método se conoce como método de imagen compleja discreta. ^{[ 6 ] [ 7 ]}

El método de elementos de contorno suele ser más eficiente que otros métodos, incluidos los elementos finitos, en términos de recursos computacionales para problemas con una pequeña relación superficie/volumen. ^{[ 8 ]} Conceptualmente, funciona construyendo una " malla " sobre la superficie modelada. Sin embargo, para muchos problemas, los métodos de elementos de contorno son significativamente menos eficientes que los métodos de discretización de volumen ( método de elementos finitos , método de diferencias finitas , método de volumen finito ). Un buen ejemplo de aplicación del método de elementos de contorno es el cálculo eficiente de las frecuencias naturales del chapoteo de líquidos en tanques. ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]} El método de elementos de contorno es uno de los métodos más efectivos para la simulación numérica de problemas de contacto, ^{[ 12 ]} en particular para la simulación de contactos adhesivos. ^{[ 13 ]}

Las formulaciones de elementos de contorno suelen generar matrices completamente pobladas. Esto implica que los requisitos de almacenamiento y el tiempo de cálculo tienden a aumentar con el cuadrado del tamaño del problema. Por el contrario, las matrices de elementos finitos suelen ser de banda (los elementos solo están conectados localmente) y los requisitos de almacenamiento para las matrices del sistema suelen crecer de forma bastante lineal con el tamaño del problema. Se pueden utilizar técnicas de compresión (por ejemplo, expansiones multipolares o matrices jerárquicas /de aproximación cruzada adaptativa ) para mitigar estos problemas, aunque a costa de una mayor complejidad y con una tasa de éxito que depende en gran medida de la naturaleza del problema a resolver y de la geometría involucrada.

• Método de elementos analíticos
• Electromagnetismo computacional
• Métodos sin malla
• Método de contorno inmerso
• Método de cuadrícula estirada
• Método de integración radial modificado ^{[ 14 ] [ 15 ]}

• Ang, Whye-Teong (2007), Curso para principiantes en métodos de elementos de contorno , Boca Raton, Fl: Universal Publishers , ISBN 978-1-58112-974-8.
• Ang, Whye-Teong (2013), Ecuaciones integrales hipersingulares en el análisis de fracturas , Oxford: Woodhead Publishing , ISBN 978-0-85709-479-7.
• Banerjee, Prasanta Kumar (1994), Métodos de elementos de contorno en ingeniería (2.ª  ed.), Londres, etc.: McGraw-Hill , ISBN 978-0-07-707769-3.
• Beer, Gernot; Smith, Ian; Duenser, Christian (8 de abril de 2008), El método de elementos de contorno con programación: para ingenieros y científicos , Berlín – Heidelberg – Nueva York: Springer-Verlag , pp.  XIV+494, ISBN 978-3-211-71574-1
• Cheng, Alexander H.-D.; Cheng, Daisy T. (2005), "Patrimonio e historia temprana del método de elementos de contorno", Engineering Analysis with Boundary Elements , 29 (3): 268–302 , doi : 10.1016/j.enganabound.2004.12.001 , Zbl 1182.65005 , también disponible aquí .
• Gibson, Walton C (2008), El método de los momentos en electromagnetismo , Boca Raton, Florida: Chapman & Hall / CRC Press , pp.  xv+272, ISBN 978-1-4200-6145-1, MR 2503144 , Zbl 1175.78002  .
• Katsikadelis, John T. (2002), Teoría y aplicaciones de los elementos de contorno , Ámsterdam: Elsevier , págs.  XIV+336, ISBN 978-0-080-44107-8.
• Wrobel, LC; Aliabadi, MH (2002), El método de los elementos de contorno , Nueva York: John Wiley & Sons , pág.  1066, ISBN 978-0-470-84139-6(en dos volúmenes).

• Constanda, Christian; Doty, Dale; Hamill, William (2016). Métodos de ecuaciones integrales de contorno y soluciones numéricas: placas delgadas sobre una base elástica . Nueva York: Springer. ISBN 978-3-319-26307-6.

• Un recurso en línea para elementos de contorno
• ¿Qué se esconde bajo la superficie? Una guía del método de elementos de contorno y las funciones de Green para estudiantes y profesionales.
• Un curso introductorio de BEM (con un capítulo sobre las funciones de Green).
• Elementos de contorno para problemas de grietas planas
• Sitio web de modelado electromagnético de la Universidad de Clemson (incluye una lista del software disponible actualmente).
• Software de análisis de elementos de contorno Concept Analyst
• Klimpke, Bruce, A Hybrid Magnetic Field Solver Using a Combined Finite Element/Boundary Element Field Solver , UK Magnetics Society Conference, 2003, que compara los métodos FEM y BEM, así como los enfoques híbridos.