Límite (topología)

En topología y matemáticas en general, la frontera de un subconjunto S de un espacio topológico X es el conjunto de puntos en la clausura de S que no pertenecen al interior de S. Un elemento de la frontera de S se denomina punto frontera de S. El término operación de frontera se refiere a encontrar o tomar la frontera de un conjunto. Las notaciones utilizadas para la frontera de un conjunto S incluyen:${\displaystyle \operatorname {bd} (S),\operatorname {fr} (S),}$ y${\displaystyle \partial S}$.

Algunos autores (por ejemplo, Willard en Topología general ) utilizan el término frontera en lugar de límite para evitar confusiones con una definición diferente empleada en topología algebraica y teoría de variedades . A pesar de la amplia aceptación del significado de los términos límite y frontera, a veces se han utilizado para referirse a otros conjuntos. Por ejemplo, en Espacios métricos de E. T. Copson se utiliza el término límite para referirse al borde de Hausdorff , que se define como la intersección de un conjunto con su borde. ^{[ 1 ]} Hausdorff también introdujo el término residuo , que se define como la intersección de un conjunto con la clausura del borde de su complemento. ^{[ 2 ]}

Existen varias definiciones equivalentes para el límite de un subconjunto.${\displaystyle S\subsetequ X}$de un espacio topológico${\displaystyle X,}$que se denotará por${\displaystyle \partial _{X}S,}$o simplemente${\displaystyle \partial S}$si${\displaystyle X}$se entiende:

1. Es el cierre de${\displaystyle S}$menos el interior de${\displaystyle S}$en${\displaystyle X}$: $${\displaystyle \partial S~:=~{\overline {S}}\setminus \operatorname {int} _{X}S}$$ dónde${\displaystyle {\overline {S}}=\operatorname {cl} _{X}S}$denota el cierre de${\displaystyle S}$en${\displaystyle X}$y${\displaystyle \operatorname {int} _{X}S}$denota el interior topológico de${\displaystyle S}$en${\displaystyle X.}$
2. Es la intersección del cierre de${\displaystyle S}$con el cierre de su complemento :$${\displaystyle \partial S~:=~{\overline {S}}\cap {\overline {(X\setminus S)}}}$$
3. Es el conjunto de puntos${\displaystyle p\in X}$de tal manera que cada vecindario de${\displaystyle p}$contiene al menos un punto de${\displaystyle S}$y al menos un punto no de${\displaystyle S}$:$${\displaystyle \partial S~:=~\{p\in X:{\text{ para cada entorno }}O{\text{ de }}p,\ O\cap S\neq \varnothing \,{\text{ y }}\,O\cap (X\setminus S)\neq \varnothing \}.}$$
4. Son todos puntos en${\displaystyle X}$que no se encuentran ni en el interior ni en el exterior de${\displaystyle S}$: $${\displaystyle \partial S~:=~X\setminus \left(\operatorname {int} _{X}S\cup \operatorname {ext} _{X}S\right)}$$ dónde${\displaystyle \operatorname {int} _{X}S}$denota el interior de${\displaystyle S}$en${\displaystyle X}$y${\displaystyle \operatorname {ext} _{X}S}$denota el exterior de${\displaystyle S}$en${\displaystyle X.}$

Un punto frontera de un conjunto es cualquier elemento de la frontera de ese conjunto. La frontera${\displaystyle \partial _{X}S}$La definición anterior se denomina a veces frontera topológica del conjunto para distinguirla de otras nociones con nombres similares, como la frontera de una variedad con frontera o la frontera de una variedad con esquinas , por nombrar solo algunos ejemplos.

Un componente conectado del límite de S se denomina componente de límite de S.

Consideremos la línea real${\displaystyle \mathbb {R} }$con la topología usual (es decir, la topología cuyos conjuntos base son intervalos abiertos ) y${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$el subconjunto de números racionales (cuyo interior topológico en${\displaystyle \mathbb {R} }$está vacío). Luego en${\displaystyle \mathbb {R} }$tenemos

• ${\displaystyle \partial (0,5)=\partial [0,5)=\partial (0,5]=\partial [0,5]=\{0,5\}}$
• ${\displaystyle \partial \varnothing =\varnothing }$
• ${\displaystyle \partial \mathbb {Q} =\mathbb {R} }$
• ${\displaystyle \partial (\mathbb {Q} \cap [0,1])=[0,1]}$

Estos dos últimos ejemplos ilustran el hecho de que la frontera de un conjunto denso con interior vacío es su clausura. También muestran que es posible que la frontera${\displaystyle \partial S}$de un subconjunto${\displaystyle S}$contener un subconjunto abierto no vacío de${\displaystyle X:=\mathbb {R} }$; es decir, para el interior de${\displaystyle \partial S}$en${\displaystyle X}$no estar vacío. Sin embargo, el límite de un subconjunto cerrado siempre tiene un interior vacío.

La notación${\displaystyle \partial _{X}S}$se utiliza porque el límite de un conjunto${\displaystyle S}$depende fundamentalmente del espacio topológico circundante${\displaystyle X}$Eso se tiene en cuenta. Tomemos como ejemplo el conjunto${\displaystyle S=\{r\in \mathbb {Q} \mid 0<r<{\sqrt {2}}\}}$. Considerado como un subconjunto de${\displaystyle \mathbb {R} }$, su límite es el intervalo cerrado${\displaystyle [0,{\sqrt {2}}]}$; considerado como un subconjunto de${\displaystyle \mathbb {Q} }$(dónde${\displaystyle \mathbb {Q} }$se le da su topología habitual, la topología de subespacio heredada de${\displaystyle \mathbb {R} }$), el límite de${\displaystyle S}$es${\displaystyle \{0\}}$; y considerado como un subconjunto de${\displaystyle X=S}$En sí mismo, su frontera está vacía.

Dada la topología habitual en${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$el límite de un disco cerrado${\displaystyle \Omega =\left\{(x,y):x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}}$es el círculo que rodea al disco:${\displaystyle \partial \Omega =\left\{(x,y):x^{2}+y^{2}=1\right\}.}$ Si el disco se considera en cambio como un conjunto en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$con su propia topología habitual, es decir,${\displaystyle \Omega =\left\{(x,y,0):x^{2}+y^{2}\leq 1\right\},}$Entonces, el límite del disco es el propio disco:${\displaystyle \partial \Omega =\Omega .}$

El límite de un conjunto es cerrado ; ^{[ 3 ]} esto se deduce de la fórmula${\displaystyle \partial _{X}S~=~{\overline {S}}\cap {\overline {(X\setminus S)}},}$que expresa${\displaystyle \partial _{X}S}$como la intersección de dos subconjuntos cerrados de${\displaystyle X.}$

Un conjunto es cerrado si y solo si contiene su frontera, y abierto si y solo si es disjunto de su frontera.

El cierre de un conjunto${\displaystyle S}$es igual a la unión del conjunto con su frontera:$${\displaystyle {\overline {S}}=S\cup \partial S.}$$("Tricotomiosis")Dado cualquier subconjunto${\displaystyle S\subseteq X,}$cada punto de${\displaystyle X}$se encuentra exactamente en uno de los tres conjuntos${\displaystyle \operatorname {int} _{X}S,\partial _{X}S,}$y${\displaystyle \operatorname {int} _{X}(X\setminus S).}$ Dicho de otra manera,$${\displaystyle X~=~\left(\operatorname {int} _{X}S\right)\;\cup \;\left(\partial _{X}S\right)\;\cup \;\left(\operatorname {int} _{X}(X\setminus S)\right)}$$y estos tres conjuntos son disjuntos dos a dos .

Un punto${\displaystyle p\in X}$es un punto límite de un conjunto si y solo si cada entorno de${\displaystyle p}$Un conjunto contiene al menos un punto que pertenece al conjunto y al menos un punto que no pertenece al conjunto. Tanto el límite interior como el límite de la clausura de un conjunto están contenidos en el límite del conjunto.

Un conjunto y su complemento tienen el mismo límite: $${\displaystyle \partial _{X}S=\partial _{X}(X\setminus S).}$$Un conjunto${\displaystyle U}$es un subconjunto abierto denso de${\displaystyle X}$si y solo si${\displaystyle \partial _{X}U=X\setminus U.}$

El interior de la frontera de un conjunto cerrado está vacío. ^{[ 4 ]} En consecuencia, el interior de la frontera de la clausura de un conjunto está vacío. El interior de la frontera de un conjunto abierto también está vacío. ^{[ 5 ]} En consecuencia, el interior de la frontera del interior de un conjunto está vacío. En particular, si${\displaystyle S\subsetequ X}$es un subconjunto cerrado o abierto de${\displaystyle X}$entonces no existe ningún subconjunto no vacío${\displaystyle U\subseteq \partial _{X}S}$de tal manera que${\displaystyle U}$está abierto en${\displaystyle X.}$ Este hecho es importante para la definición y el uso de subconjuntos densos en ninguna parte , subconjuntos escasos y espacios de Baire .

Un conjunto es la frontera de algún conjunto abierto si y solo si es cerrado y no tiene densidad en ningún punto . La frontera de un conjunto es vacía si y solo si el conjunto es a la vez cerrado y abierto (es decir, un conjunto clopen ).

Para cualquier conjunto${\displaystyle S,\partial S\supseteq \partial \partial S,}$dónde${\displaystyle \,\supseteq \,}$denota el superconjunto con igualdad que se cumple si y solo si el límite de${\displaystyle S}$no tiene puntos interiores, lo cual ocurrirá, por ejemplo, si${\displaystyle S}$es cerrado o abierto. Dado que el límite de un conjunto es cerrado,${\displaystyle \partial \partial S=\partial \partial \partial S}$para cualquier conjunto${\displaystyle S.}$ El operador de frontera satisface así un tipo debilitado de idempotencia .

Al hablar de los límites de variedades o símplices y sus complejos simpliciales , a menudo se afirma que el límite del límite siempre está vacío. De hecho, la construcción de la homología singular se basa fundamentalmente en este hecho. La explicación de esta aparente incongruencia reside en que el límite topológico (tema de este artículo) es un concepto ligeramente diferente al del límite de una variedad o de un complejo simplicial. Por ejemplo, el límite de un disco abierto, visto como una variedad, está vacío, al igual que su límite topológico, visto como un subconjunto de sí mismo, mientras que su límite topológico, visto como un subconjunto del plano real, es el círculo que rodea al disco. Por el contrario, el límite de un disco cerrado, visto como una variedad, es el círculo que lo delimita, al igual que su límite topológico, visto como un subconjunto del plano real, mientras que su límite topológico, visto como un subconjunto de sí mismo, está vacío. En particular, el límite topológico depende del espacio ambiente, mientras que el límite de una variedad es invariante.

• Consulte la sección sobre límites en variedades topológicas para obtener más detalles.
• Frontera de una variedad : espacio topológico que localmente se asemeja al espacio euclidiano. Páginas que muestran breves descripciones de destinos de redireccionamiento. 
• Punto límite : concepto matemático relacionado con subconjuntos de espacios vectoriales. 
• Cierre (topología) : Todos los puntos y puntos límite en un subconjunto de un espacio topológico. 
• Exterior (topología) – El conjunto abierto más grande disjunto de un conjunto dado
• Interior (topología) – El subconjunto abierto más grande de un conjunto dado 
• Conjunto denso en ninguna parte : conjunto matemático cuya clausura tiene interior vacío. 
• Teorema de densidad de Lebesgue – Teorema en análisis , para la caracterización teórica de la medida y las propiedades de la frontera 
• Superficie (topología) – Variedad bidimensional 

• Munkres, JR (2000). Topología . Prentice-Hall. ISBN 0-13-181629-2.
• Willard, S. (1970). Topología general . Addison-Wesley. ISBN 0-201-08707-3.
• van den Dries, L. (1998). Tame Topology . Cambridge University Press. ISBN 978-0521598385.