Contenido del conteo de cajas

En matemáticas , el contenido de conteo de cajas es un análogo del contenido de Minkowski .

Dejar${\displaystyle A}$ser un subconjunto acotado de${\displaystyle m}$espacio euclidiano de -dimensiones${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$de tal manera que la dimensión de conteo de cajas${\displaystyle D_{B}}$existe. El contenido de conteo de cajas superior e inferior de${\displaystyle A}$se definen por

${\displaystyle {\mathcal {B}}^{*}(A):=\limsup _{x\rightarrow \infty }{\frac {N_{B}(A,x)}{x^{D_{B}}}}\quad \quad {\text{y}}\quad \quad {\mathcal {B}}_{*}(A):=\liminf _{x\rightarrow \infty }{\frac {N_{B}(A,x)}{x^{D_{B}}}}}$

dónde${\displaystyle N_{B}(A,x)}$es el número máximo de bolas cerradas disjuntas con centros ${\displaystyle a\in A}$y radios${\displaystyle x^{-1}>0}$.

Si${\displaystyle {\mathcal {B}}^{*}(A)={\mathcal {B}}_{*}(A)}$, entonces el valor común, denotado${\displaystyle {\mathcal {B}}(A)}$, se denomina contenido de conteo de cajas de${\displaystyle A}$.

Si${\displaystyle 0<{\mathcal {B}}_{*}(A)<{\mathcal {B}}^{*}(A)<\infty }$, entonces${\displaystyle A}$Se dice que es medible mediante el conteo de cajas .

Dejar${\displaystyle I=[0,1]}$denota el intervalo unitario. Nótese que la dimensión de conteo de cajas${\displaystyle \dim _{B}I}$y la dimensión de Minkowski${\displaystyle \dim _{M}I}$coinciden con un valor común de 1; es decir

${\displaystyle \dim _{B}I=\dim _{M}I=1.}$

Ahora observe que${\displaystyle N_{B}(I,x)=\lfloor x/2\rfloor +1}$, dónde${\displaystyle \lfloor y\rfloor }$denota la parte entera de${\displaystyle y}$. Por eso${\displaystyle I}$¿Es medible el conteo de cajas con${\displaystyle {\mathcal {B}}(I)=1/2}$.

Por el contrario,${\displaystyle I}$¿Es Minkowski medible con${\displaystyle {\mathcal {M}}(I)=1}$.

• Conteo de cajas

• Dettmers, Kristin; Giza, Robert; Morales, Rafael; Rock, John A.; Knox, Christina (enero de 2017). "Una revisión de las dimensiones complejas, la mensurabilidad y la dicotomía reticular/no reticular". Sistemas dinámicos discretos y continuos - Serie S. 10 ( 2): 213–240 . arXiv : 1510.06467 . doi : 10.3934/dcdss.2017011 .